不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用一、不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值：（1）若不等式A x f >)(在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上A x f >min )(，即)(x f 的下界大于A（2）若不等式B x f <)(在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上B x f <max )(,即)(x f 的上界小于B例1．设22)(2+-=ax x x f ,当[)+∞-∈,1x 时，都有a x f ≥)(恒成立，求a 的取值范围．例2．已知xax x x f ++=2)(2对任意[)+∞∈,1x ，0)(≥x f 恒成立,试求实数a 的取值范围．例3．R 上的函数)(x f 既是奇函数，又是减函数，且当)2,0(πθ∈时，有0)22()sin 2(cos 2>--++m f m f θθ恒成立，求实数m 的取值范围.例4．已知函数)0(ln )(44>-+=x c bx x ax x f 在1=x 处取得极值c --3，其中b a 、为常数.（1）试确定b a 、的值；（2）讨论函数)(x f 的单调区间；（3）若对任意0>x ，不等式22-)(c x f ≥恒成立，求c 的取值范围.2、主参换位法例5.若不等式01<-ax 对[]2,1∈x 恒成立，求实数a 的取值范围.例6.若对于任意1≤a ，不等式024)4(2>-+-+a x a x 恒成立，求实数x 的取值范围.例7.已知函数1)1(233)(23+++-=x a x x a x f ，其中a 为实数．若不等式1)('2+-->a x x x f 对任意),0(+∞∈a 都成立，求实数x 的取值范围．3、分离参数法（1）将参数与变量分离，即化为)()(x f g ≥λ（或)()(x f g ≤λ）恒成立的形式； （2）求)(x f 在D x ∈上的最大（或最小）值；（3）解不等式max )()(x f g ≥λ(或min )()(x f g ≤λ)，得λ的取值范围． 适用题型：（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出。

例8．当)2,1(∈x 时，不等式042<++mx x 恒成立，求m 的取值范围.例9．已知函数331)(23+++=x bx ax x f ,其中0≠a ． （1）当b a 、满足什么条件时,)(x f 取得极值?（2）已知0>a ,且)(x f 在区间(]1,0上单调递增,试用a 表示出b 的取值范围.4、数形结合例10．若对任意R x ∈,不等式ax x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是________．例11．当)2,1(∈x 时，不等式x x a log )1(2<-恒成立，求a 的取值范围．二、不等式能成立问题的处理方法若在区间D 上存在实数x 使不等式A x f >)(成立,则等价于在区间D 上A x f >max )(； 若在区间D 上存在实数x 使不等式B x f <)(成立,则等价于在区间D 上的B x f <min )(. 例12．已知不等式a x x <-+-34在实数集R 上的解集不是空集，求实数a 的取值范围．例13．若关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集，求实数a 的取值范围．例14．已知函数x ax x x f 221ln )(2--=（0≠a ）存在单调递减区间，求a 的取值范围．三、不等式恰好成立问题的处理方法例15．不等式012>++bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-311x x 则=ab ___________．例16．已知xax x x f ++=2)(2当[)+∞∈,1x ，)(x f 的值域是[)+∞,0,试求实数a 的值.例17．已知两函数k x x x f -+=168)(2，x x x x g 452)(23++=，其中k 为实数． （1）对任意[]3,3-∈x ，都有)()(x g x f ≤成立，求k 的取值范围； （2）存在[]3,3-∈x ，使)()(x g x f ≤成立，求k 的取值范围； （3）对任意[]3,3,21-∈x x ，都有)()(21x g x f ≤，求k 的取值范围．不等式恒成立、能成立、恰成立问题专项练习1．若不等式0)1(3)1()1(2<-+--+m x m x m 对任意实数x 恒成立，求实数m 取值范围．2．已知不等式22622>++++x x kx kx 对任意的R x ∈恒成立，求实数k 的取值范围．3．设函数a x x x x f -+-=629)(23．对于任意实数x ，m x f ≥)('恒成立，求m 的最大值．4．对于满足2≤a 的所有实数a ,求使不等式x a ax x 212+>++恒成立的x 的取值范围．5．已知不等式022>+-a x x 对任意实数[]3,2∈x 恒成立，求实数a 的取值范围．6．对任意的[]2,2-∈a ，函数a x a x x f 24)4()(2-+-+=的值总是正数，求x 的取值范围．7．若不等式0log 2<-x x m 在)21,0(内恒成立，则实数m 的取值范围________________．8．不等式)4(x x ax -≤在[]3,0∈x 内恒成立，求实数a 的取值范围．9．不等式022<-+k kx 有解，求k 的取值范围．10．对于不等式a x x <++-12，存在实数x ，使此不等式成立的实数a 的集合是M ；对于任意[]5,0∈x ，使此不等式恒成立的实数a 的集合为N ，求集合M ，N ．11．①对一切实数x ,不等式a x x >+--23恒成立，求实数a 的范围． ②若不等式a x x >+--23有解，求实数a 的范围． ③若方程a x x =+--23有解，求实数a 的范围．12．①若y x ,满足方程1)1(22=-+y x ，不等式0≥++c y x 恒成立，求实数c 的范围． ②若y x ,满足方程1)1(22=-+y x ，0=++c y x ，求实数c 的范围．13．设函数b x ax x x f +++=2342)(，（R x ∈），其中R b a ∈,．若对于任意的[]2,2-∈a ，不等式1)(≤x f 在[]1,1-∈x 上恒成立，求b 的取值范围．14．设函数a ax x a x x f 244)1(31)(23+++-=，其中常数1>a ，若当0≥x 时，0)(>x f 恒成立，求a 的取值范围．15．已知向量),1(),1,(2t x b x x a -=+=。

若函数b a x f ⋅=)(在区间)1,1(-上是增函数，求t 的取值范围．不等式恒成立、能成立、恰成立问题 参考答案例1、解：a 的取值范围为[-3，1]例2、解：等价于()022≥++=a x x x ϕ对任意[)+∞∈,1x 恒成立,又等价于1≥x 时,()x ϕ的最小值0≥成立.由于()()112-++=a x x ϕ在[)+∞,1上为增函数, 则()()31min +==a x ϕϕ,所以 3,03-≥≥+a a例3、解：由()()022sin 2cos2>--++m f m f θθ得到：()()22sin 2cos 2--->+m f m f θθ因为()x f 为奇函数，故有()()22sin 2cos 2+>+m f m f θθ恒成立， 又因为()x f 为R 减函数，从而有22sin 2cos 2+<+m m θθ对⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πθ恒成立设t =θsin ，则01222>++-m mt t 对于()1,0∈t 恒成立，在设函数()1222++-=m mt t t g ,对称轴为m t =. ①当0<=m t 时，()0120≥+=m g ，即21-≥m ，又0<m ∴021<≤-m (如图1)②当[]1,0∈=m t ，即10≤≤m 时,()012442<+-=∆m m m ,即0122<--m m ,∴2121+<<-m ,又[]1,0∈m ,∴10≤≤m (如图2)③当1>=m t 时，()0212211>=++-=m m g 恒成立.∴1>m (如图3)故由①②③可知：21-≥m .例4、解：（1）（2）略（3）由（2）知，)(x f 在1=x 处取得极小值c f --=3)1(，此极小t g(t)o·1图1t=m tg(t) o· 1图2t=mtg(t) o·1图3t=m值也是最小值.要使)0(2)(2>-≥x c x f 恒成立，只需223c c -≥--.即0322≥--c c ， 从而0)1)(32(≥+-c c . 解得23≥c 或1-≤c . ∴c 的取值范围为),23[]1,(+∞--∞ .例5、解：12a <例6、解：(,1)(3,)x ∈-∞⋃+∞例7、解析：由题设知“223(1)1ax x a x x a -++>--+对∀(0)a ∈+∞，都成立，即22(2)20a x x x +-->对∀(0)a ∈+∞，都成立。

设22()(2)2g a x a x x =+--（a R ∈），则()g a 是一个以a 为自变量的一次函数。

220x +> 恒成立，则对∀x R ∈，()g a 为R 上的单调递增函数。

所以对∀(0)a ∈+∞，，()0g a >恒成立的充分必要条件是(0)0g ≥，220x x --≥，∴20x -≤≤，于是x 的取值范围是{|20}x x -≤≤。

例8、解析: 当(1,2)x ∈时，由240x mx ++<得24x m x +<-.令244()x f x x x x +==+，则易知()f x 在(1,2)上是减函数，所以[1,2]x ∈时()(1)5maxf x f ==，则2m i n 4()5x x+->-∴5m ≤-.例9、解析：（1）2a b >（2）)(x f 在区间(0,1]上单调递增⇔2'()210f x ax bx =++≥在(0,1]上恒成立⇔1,(0,1]22ax b x x ≥--∈恒成立⇔max 1()22ax b x ≥--，(0,1]x ∈。

设1()22ax g x x =--，2221()1'()222a x a a g x x x -=-+=-， 令'()0g x =得1x a =或1x a =-(舍去)，当1>a 时,101a <<，当1(0,)x a ∈时'()0g x >，1()22ax g x x =--单调增函数； 当1(,1]x a ∈时'()0g x <，1()22ax g x x =--单调减函数,∴max ()g x =1()g a a =-。