不等式恒成立问题的处理恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：①一次函数型；②二次函数型；③ 其他类不等式恒成立一、一次函数型给定一次函数y=f(x)=ax+b(a ≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0，则有⎨⎧>>0)0)(m f ⎩⎨⎧<<0)(0)(n f m f 例1．对任意，不等式恒成立，求的取值范围。

]1,1[-∈a )4(2-+x a x 分析：题中的不等式是关于的一元二次不等式，但若把看成主元，则问题可转化x a 为一次不等式在上恒成立的问题。

044)2(2>+-+-x x a x ]1,1[-∈a 解：令，则原问题转化为恒成立（44)2()(2+-+-=x x a x a f 0)(>a f ）。

]1,1[-∈a 当时，可得，不合题意。

2=x 0)(=a f 当时，应有解之得。

2≠x ⎩⎨⎧>->0)1(0)1(f f 31><x x 或故的取值范围为。

x ),3()1,(+∞-∞ 注：一般地，一次函数在上恒有的充要条件)0()(≠+=k b kx x f ],[βα0)(>x f 为。

⎩⎨⎧>>0)(0)(βαf f 练习：对于满足|a|2的所有实数a,求使不等式x 2+ax+1>2a+x 恒成立的x 的取值范围。

≤解：原不等式转化为(x-1)a+x 2-2x+1>0,设f(a)= (x-1)a+x 2-2x+1,则f(a)在[-2,2]上恒大于0，故有：即解得：⎩⎨⎧>>-)2(0)2(f f ⎪⎩⎪⎨⎧>->+-0103422x x x ⎩⎨⎧-<><>1113x x x x 或或∴x<-1或x>3.例2. 已知（其中a 为正常数），若P x b x b x a a =--++(log )(log )log log log 2222161·当x 在区间［1，2］内任意取值时，P 的值恒为正，求b 的取值范围。

解：P 变形为[]P b b x b a a a =-+-+(log )log log (log )222611设∴[]t x t =∈log 201，则，[]P f t b b t b a a a ==-+-+()(log )log (log )22611因此，原题变为当t 在区间［0，1］内任意取值时，f （t ）恒为正，求b 的取值范围。

由充要条件，当（1） 或 （2）(log )log (log )a a a b b b 2261010-+=-+>⎧⎨⎪⎩⎪f b f b a a ()(log )()log 01016202=-+>=-+>⎧⎨⎩解（1）得-<=-=+<1322132213log a b 解（2）得-<<113log a b 故，当时，当a >113ab a <<0113<<<<a ab a时，例3 设，若当时，P>0恒成立，求x 的变P x a x a =+--+(log )()log 22221[]a ∈-22，化范围。

解：设P f a x a x x ==-+-+()(log )log log 2221221当时的图像是一条线段，所以a 在上变动时，P 恒为正值的充要条件[]a ∈-22，[]-22,是即 解得f f ()()->>⎧⎨⎩2020log log log 2222243010x x x -+>->⎧⎨⎪⎩⎪log log 2231x x ><-或即x 的取值范围是()0128，，⎛⎝ ⎫⎭⎪+∞ 二、二次函数型（1）当二次函数的定义域为R 时： 若二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)大于0恒成立，则有⎩⎨⎧<∆>00a 若二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)小于0恒成立，则有⎩⎨⎧<∆<0a 例1.若函数在R 上恒成立，求m 的取值范围。

y =略解：要使在R 上恒成立，即在R 上恒y =2680mx mx m +++≥成立。

时， 成立10m =80≥0m ∴= 时，，20m ≠()()236483210m m m m m >⎧⎪⎨∆=-+=-≤⎪⎩01m ∴<≤由，可知，1 201m ≤≤例2．已知函数的定义域为R ，求实数的取值范围。

])1(lg[22a x a x y +-+=a 解：由题设可将问题转化为不等式对恒成立，即有0)1(22>+-+a x a x R x ∈解得。

04)1(22<--=∆a a 311>-<a a 或所以实数的取值范围为。

a ),31()1,(+∞--∞ 练习1：.已知函数，在R 上恒成立，求的取值范围。

2()3f x x ax a =++-()0f x ≥a （2）当二次函数的定义域不是R 时，即二次函数在指定区间上的恒成立问题，可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解；有时也可以转化为求最值。

例1：若时，恒成立，求的取值范围。

[]2,2x ∈-03)(2≥-++=a ax x x f a 解：，令在上的最小值为。

22()324a a f x x a ⎛⎫=+--+ ⎪⎝⎭()f x []2,2-()g a ⑴当，即时， 又 22a -<-4a >()(2)730g a f a =-=-≥73a ∴≤4a > 不存在。

a ∴⑵当，即时， 又222a-≤-≤44a -≤≤2()()3024a a g a f a ==--+≥62a ∴-≤≤ 44a -≤≤ 42a ∴-≤≤⑶当，即时，又22a->4a <-()(2)70g a f a ==+≥7a ∴≥-4a <- 74a ∴-≤<-总上所述，。

72a -≤≤变式2：若时，恒成立，求的取值范围。

[]2,2x ∈-()2f x ≥a 解法一：分析：题目中要证明在上恒成立，若把移到等号的左边，a x f ≥)([]2,2-a 则把原题转化成左边二次函数在区间时恒大于等于0的问题。

[]2,2-i a略解：，即在上成立。

2()320f x x ax a =++--≥2()10f x x ax a =++-≥[]2,2-⑴ ()2410a a ∆=--≤22a ∴--≤≤-+⑵24(1)0(2)0(2)02222a a f f a a ⎧∆=-->⎪≥⎪⎪⎨-≥⎪⎪-≥-≤-⎪⎩或2225--≤≤-∴a 综上所述，。

2225-≤≤-a 解法二：（利用根的分布情况知识）⑴当，即时， 不存在。

22a -<-4a >()(2)732g a f a =-=-≥()54,3a ∴≤∉+∞a ∴⑵当，即时，，222a-≤-≤44a -≤≤2()()3224a a g a f a ==--+≥222222-≤≤-a －2224-≤≤-∴a ⑶当，即时，， 22a->4a <-()(2)72g a f a ==+≥5a ∴≥-54a ∴-≤<-综上所述。

2225-≤≤-a 例2.已知函数在其定义域内恒为非负，求方程f x x m x m ()()()=-+++2525的根的取值范围。

2121xm m +=-+||解：因为f （x ）恒为非负，则解得，方程化为∆=+-+≤()()m m 58502-≤≤53m 2121x m m =+-+()(||)当时，则 所以-≤≤52m 2121x m m =+-+()()2231422x m m m =-++=--+()所以当时，则242x x ≤≤，23<≤m 211131822x m m m m =+-=-<-≤()()，所以所以方程的根的取值范围是log 233<≤x (]-∞，3例2．设，当时，恒成立，求实数的取值22)(2+-=mx x x f ),1[+∞-∈x m x f ≥)(m 范围。

解：设，则当时，恒成立m mx x x F -+-=22)(2),1[+∞-∈x 0)(≥x F 当时，显然成立；120)2)(1(4<<-<+-=∆m m m 即0)(>x F 当时，如图，恒成立的充要条件为：0≥∆0)(≥x F 解得。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤--≥-≥∆1220)1(0m F 23-≤≤-m 综上可得实数的取值范围为。

m )1,3[-三、其他类不等式恒成立问题一般转化为求最值将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：1）恒成立a x f >)(min )(x f a <⇔2）恒成立a x f <)(max)(x f a >⇔例1．已知，当时，x x x x g a x x x f 4042)(,287)(232-+=--=]3,3[-∈x 恒成立，求实数的取值范围。

)()(x g x f ≤a 解：设，c x x x x g x f x F -++-=-=1232)()()(23则由题可知对任意恒成立0)(≤x F ]3,3[-∈x 令，得01266)(2'=++-=x x x F 21=-=x x 或而,20)2(,7)1(a F a F -=-=-,9)3(,45)3(a F a F -=-=-∴045)(max ≤-=a x F ∴即实数的取值范围为。

45≥a a ),45[+∞例2．函数，若对任意，恒成立，求),1[,2)(2+∞∈++=x xax x x f ),1[+∞∈x 0)(>x f 实数的取值范围。

a解：若对任意，恒成立，),1[+∞∈x 0)(>x f 即对，恒成立，),1[+∞∈x 02)(2>++=xax x x f 考虑到不等式的分母，只需在时恒成立而得),1[+∞∈x 022>++a x x ),1[+∞∈x 而抛物线在的最小值得a x x x g ++=2)(2),1[+∞∈x 03)1()(min >+==a g x g 3->a 注：本题还可将变形为，讨论其单调性从而求出最小值。

)(x f 2)(++=xax x f )(x f 分离变量法若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。

这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。

一般地有：1）恒成立为参数）a a g x f )(()(<max )()(x f a g >⇔2）恒成立为参数）a a g x f )(()(>max )()(x f a g <⇔实际上，上题就可利用此法解决。