基本不等式在实际中的应用
1．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 （ ）
A ．80元
B ．120元
C ．160元
D ．240元
2．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b （a ＜b ），其全程的平均时速为v ，则 （ ）
A ．a v <<
B ．v
C 2a b v +<
D ．2
a b v +=
3．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为8
x 天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 （ ）
A ．60件
B ．80件
C ．100件
D ．120件
4．如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程221(1)(0)20
y kx k x k =-+>表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
（1）求炮的最大射程；
（2）设在第一象有限一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
5．某工厂生产某种产品，每日的成本C （单位：万元）与日产量x （单位：吨）满足函数关系式C ＝3+x ，每日的销售额S （单位：万元）与日产量x 满足函数关系式
35(06)814(6)k x x S x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪≥⎩，．
已知每日的利润L ＝S -C ，且当x ＝2时，L ＝3．
（1）求k 的值；
（2）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大？并求出最大值．
6.某厂家拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用m 万元（m ≥0）满足31
k x m =-+（k 为常数），如果不搞促销活动，该产品的年销售量只能是1万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为年平均每件产品成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）．
（1）将该产品的年利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；
（2）该厂家的年促销费用投入为多少万元时，厂家的年利润最大？最大年利润是多少万元？
7.已知直角三角形的周长l （定值）．问：直角三角形满足什么条件时，可使其面积最大？
参考答案:
1.答案：C 设底面矩形的长和宽分别为a m 、b m ，则ab ＝4
．容器的总造价为202()108020()80160()ab a b a b ++⨯=++≥+=元（当且仅当a ＝b 时等号成立）．故选C ．
2. 答案：A 设甲、乙两地的距离为s ，
则2211s
v s s a b a b ==++．
由于a ＜b
，∴
11a b +>v ＞a ，
又11a b +>
v ．
故a v <<，选A ．
3.答案：B 每批生产x 件，则平均每件产品的生产准备费用是
800x 元，每件产品的仓储费用是8x
元，则800208x x +≥=，当且仅当8008
x x =，即x ＝80时“＝”成立， ∴每批应生产产品80件，故选B ．
4.解析 （1）令y ＝0，得221(1)020kx k x -
+=，由实际意义和题设条件知x ＞0，k ＞0， 故220202010112
k x k k k
==≤=++，当仅当k ＝1时取等号． 所以炮的最大射程为10千米．
（2）因为a ＞0，所以炮弹可击中目标⇔存在k ＞0，使2213.2(1)20
ka k a =-+成立 ⇔关于k 的方程a 2k 2-20ak +a 2+64＝0有正根
⇔判别式Δ＝（-20a ）2-4a 2（a 2+64）≥0
⇔a ≤6．
所以a 不超过6（千米）时，可击中目标．
5.解析 由题意得，每日的利润L 与日产量x 的函数关系式为
22(06)811(6).
k x x L x x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪-≥⎩， （1）当x ＝2时，L ＝3，即322228
k =⨯++-，得k ＝18． （2）当x ≥6时，L ＝11-x 为单调递减函数，故当x ＝6时，L max ＝5． 当0＜x ＜6时，1818222(8)18688L x x x x =+
+=-++≤--， 当且仅当182(8)(06)8
x x x -=<<-，即x ＝5时等号成立，即L max ＝6． 综上，当日产量为5吨时，每日的利润可以达到最大，最大值为6万元．
6. 解析 （1）依题意得m ＝0时，x ＝1，代入31k x m =-
+，得k ＝2，即231
x m =-+． 年成本为28168163()1x m ⎛⎫+=+- ⎪+⎝⎭万元， 所以2(1.51)81631y m m ⎡⎤⎛⎫=-+-- ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣
⎦ 1628(0)1
m m m =--≥+． （2）由（1
）得1629(1)29211y m m ⎡⎤=-++≤-⎢⎥+⎣⎦
． 当且仅当1611
m m +=+，即m ＝3时，厂家的年利润最大，为21万元．
7.解析:设直角三角形的三边分别为,,a b c ，其中c 为斜边，则
法1：
222a b c +=，a b c l ++=， 面积为()()()()222222*********ab a b a b l c c l cl ⎡⎤⎡⎤=+-+=--=-⎣
⎦⎣⎦ 而22222a b a b ++⎛⎫ ⎪⎝⎭≥，∴2222c l c -⎛⎫ ⎪⎝⎭≥，()222c l l +≥
，于是)
1c l ≥．
因此面积的最大值为
)
222132144
l l -⎡⎤-=⎣⎦，当且仅当a b =，也即直角三角形为等腰直角三角形时，取得最大值．
法2：
∵a b +
∴a b l ++
(2
2l =，即2ab ．。