课堂小结
本节课复习了基本不等式的应用，要注意基本不等式 的三个条件: （一）不具备“正值”条件时，需将其转化为正值； （二）不具备“定值”条件时，需将其构造成定值条
件；（构造：积为定值或和为定值）
（三）不具备“相等”条件时，需进行适当变形或利
用函数单调性求值域；同时要灵活运用“1”的代换。
9 log a x 6 log a x f ( x) 4
即f(x)的最大值是-4。
解题反思：把握条件， 从检验是否正数开始。ຫໍສະໝຸດ 【题型2.不具备“定值”】
1 例2.若 0 x ，求 y x 1 2 x 的最大值。 2 1 ( x 1) 的最大值。 变式：求 y x x 1 1 解： 0 x ,1 2 x 0 2 2 1 1 2 x 1 2 x 1 因为 y 2 x(1 2 x) 2 2 2 8
基本不等式及其应用
复习导入
1. a、b R，a 2 b2 2ab (当且仅当a b时取等号） a 2 b2 （当且仅当a=b时取等号） a, b R, ab 2 2 2 2 a, b R, a b 2(a b ) （当且仅当a=b时取等号）
ab 2. a、b R , ab (当且仅当a b时取等号） 2


1 9 2:已知 (0, ) ，求 y 的最小值。 2 2 sin cos 2 9 1 3：求 f ( x) (0 x )的最小值，并指 x 1 2x 2 出取最小值时x的值。 1 解： 0 x , 2 x 0,1 2 x 0 2 4 9 9 4 f x 2x 1 2x 2x 1 2x 2x 1 2x 9 2 x 4 1 2 x 13 13 2 36 25 1 2x 2x 1 9 2 x 4 1 2 x 当且仅当 即 x 时取等号。 5 1 2x 2x
4、 利用基本不等式求函数的最值：
和最小
（1）已知x，y∈R+，如果积xy是定值P，那么当且 仅当 x=y 时，和x+y有最 小 值是 2 P ； （2）已知x，y∈R+，如果和x+y是定值S，那么当 S2 且仅当 x=y 时，积xy有最大 值是 ；
4
（3）利用基本不等式求函数的最值的条件
正 定 相等 ①______②______③_____

a, b R , a b 2 ab（当且仅当a=b时取等号） ab 2 a, b R , ab ( )（当且仅当a=b时取等号） 2

a b 3. 若ab 0, 则 2 (当且仅当a b时取等号） b a 1 特别的，a 0时, 则a 2 (当且仅当a 1时取等号） a 即：积定
变式1：已知x,y为正实数，若 x y 4 ，则
1 4 m 恒成立的实数m取值范围是 。 x y 1 4 11 4 1 4x y 解： x y 5 x y 4 x y 4 y x 1 9 5 2 4 4 4 4 x y 4 x 3 当且仅当 4 x y 即 时，取等号 y x y 8 3 9 m 4
1 1 所以y的最大值是 。当且仅当x=1-2x时，即x= 3 8
取等号
解题反思：根据需要配凑“和”或“积”为 定值。
【题型3.不具备“相等”的条件】
1 例3.若 x 2 时，求 y x 的最小值。 x
4 , 0, 的最小值。 变式：求函数 f ( ) sin sin 2
即：和定 积最大
【题型1.不具备“正数”】
1 例1、若x<1，求 y ( x 1) x 1 的最大值。
变式：求 f ( x) 2 log a x
9 的最大值。a 1,0 x 1 log a x
解： a 1,0 x 1 log a x 0, log a x 0 9 log a x 2 9 6 （当且仅当 log a x 3 时取等号） log a x
解题反思：要注意不能忽略取等号的条件。
【题型4.含两个变量或多个变量的最值问题】 例4、已知x，y为正实数，且x+2y=1，
（1）求xy的最大值，及取得最大值时的x，y的值；
1 1 （2）求 的最小值。 x y
1 解：（1） 1 x 2 y 2 2 xy , xy 8 1 x 2 x 2 y 1 当且仅当 即 时， xymax 8 x 2 y 1 y 1 4 1 1 1 1 x 2y (2) ( )( x 2 y ) 3 3 2 2 x y x y y x 2 x 2y x 2 2 时， x 当且仅当 y ,即 x 2 y 1 y 1 2 2 1 1 3 2 2 x y min