海淀区高三年级第二学期期中练习
2019.4 数学(理科)
本试卷共4页,150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上,在试卷上作答无效。
考试结束后,将本试卷和答题纸一并交回
第一部分(选择题共40分)
一、选择题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题列出的四个选项中,选出符合题要求的一项
(1)已知集合}20|{≤≤=x x P ，且P M ⊆，则M 可以是( )
(A)}1,0{ (B) }3,1{ (C)}1,1{- (D)}5,0{
(2) 若角α的终边在第二象限,则下列三角函数值中大于零的是( ) (A))2sin(π
α+ (B) )2cos(π
α+ (C) )sin(απ+ (D) )cos(απ+
(3) 已知等差数列满足，则中一定为零的是
(A)6a (B)8a (C)10a (D)12a
(4)已知y x >,则下列各式中一定成立的是( ) (A)y x 11< (B) 21>+y
x (C)y
x )21
()21
(> (D)222>+-y x (5) 执行如图所示的程序框图,则输出的m 值为( ) (A)
8
1 (B)6
1 (C)16
5 (D)31 (6)已知复数)(R a i a z ∈+=，则下面结论正确的是( ) (A)i a z +-= (B)1||≥z
(C)z 一定不是纯虚数 (D)在复平面上，z 对应的点可能在第三象限
(7) 椭圆C 1:1422=+y x 与双曲线C 2:12222=-b
y a x 的离心率之积为1，则双曲线C 2 的两条渐近线的倾斜角分别为( )
(A) 6π，6π- (B) 3π，3π- (C) 6π，65π (D) 3π，32π
(8)某校实行选科走班制度,张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科,且物理在A 层班级，生物在B 层班级,该校周一上午选科走班的课程安排如下表所示,张毅选择三个科目的课各上
(A) 种 (B) 种 (C) 种 (D)14 种
第二部分(非选择题共110分)
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
(9)已知c a ,4,成等比数列，且0>a ，则=+c a 22log log ___________.
(10)在△ABC 中,8
1cos ,5,4===C b a ,则=c _______，=∆ABC S ____________ (11)已知向量)2,1(-=，同时满足条件①a ∥b ,②||||<+的一个向量b 的坐标为________
(12)在极坐标系中，若圆θρc o s
2a =关于直线01si n 3c o s =++θθρ对称，则
=a _________ (13)设关于y x ,的不等式组⎪⎩
⎪⎨⎧+≥≥≥100kx y y x .表示的平面区域为Ω.记区域Ω上的点与点A(0,－1)
距离的最小值为d(k),则
(I)当k=1时,d(1)= __________.
(Ⅱ)若d(k)≥2,则k 的取值范围是__________.
(14)已知函数x ax x g x x f -==2)(,)(，其中0>a ，若]2,1[],2,1[21∈∃∈∀x x ，使得)()()()(2121x g x g x f x f =成立，则=a _________
三、解答题共6小题,共80分。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程
(15)(本小题满分13分)
已知函数a x x x f +-=cos )4cos(22)(π
的最大值为2 (I)求a 的值
(Ⅱ)求图中0x 的值,并直接写出函数)(x f 的单调递增区间
(16)(本小题满分13分)
据《人民网》报道,“美国国家航空航天局(NASA发文称,相比20年前世界变得更绿色了,卫星资料显示中国和印度的行动主导了地球变绿.”据统计,中国新增绿化面积的420/0来自于植树造林,下表是中国十个地区在2017年植树造林的相关数据。
(造林总面积为人工造林、飞播造林、新封山育林、退化林修复、人工更新的面积之和)
(I)请根据上述数据分别写出在这十个地区中人工造林面积与造林总面积的比值最大和最小的地区
(Ⅱ)在这十个地区中,任选一个地区,求该地区人工造林面积占造林总面积的比值超过50%的概率是多少?
(Ⅲ)在这十个地区中,从新封山育林面积超过五万公顷的地区中,任选两个地区,记X为这两个地区中退化林修复面积超过六万公顷的地区的个数,求X的分布列及数学期望
如图,在直三棱柱ABC-A
1B 1C 1中,AC ⊥BC,AC=BC=CC 1=2,
点D,E,F 分别棱A 1C 1,B 1C 1,BB 1的中点
(I)求证:AC 1∥平面DEF
(Ⅱ)求证:平面ACB 1⊥平面DEF
(Ⅲ)在线段AA 1上是否存在一点P,使得直线DP 与平面ACB 1
所成的角为30°?如果存在，求出线段AP 的长;如果不存在,说明理由
(18)(本小题满分14分)
已知函数2)1ln()(ax x x x f -+=
（I ）求曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程
(Ⅱ)当0<a 时,求证:函数)(x f 存在极小值
(Ⅲ)请直接写出函数)(x f 的零点个数
已知抛物线G:px y 22=,其中0>p .点M(2,0)在G 的焦点F 的右侧,且M 到G 的准线的距离是M 与F 距离的3倍.经过点M 的直线与抛物线G 交于不同的A,B 两点直线OA 与直线2-=x 交于点P,经过点B 且与直线OA 垂直的直线l 交x 轴于点Q
（I ）求抛物线的方程和F 的坐标；
(Ⅱ)判断直线PQ 与直线AB 的位置关系,并说明理由.
(20)(本小题满分13分)
首项为0的无穷数列{n a }同时满足下面两个条件： ①n a a n n =-+||1
②21-≤n a n (I)请直接写出4a 的所有可能值
(Ⅱ)记n n a b 2=,若1+<n n b b 对任意n ∈*
N 成立,求{n b }的通项公式;
(Ⅲ)对于给定的正整数k ,求k a a a +++ 21的最大值
参考答案
1. A
2. D
3. A
4. D
5. B
6. B
7. C
8. B
9. 4
10.6，4
715 11.)2,1(-(答案不唯一) 12. 1-
13.2，),1[+∞- 14.2
3 15.（1）1-=a （2）增区间：Z k k k ∈+-),8
1,83
(ππππ 16. （1）甘肃，青海
（2）10
7
=
EX 76 17.（1）略
（2）略
（3）点P 存在，即AA 1的中点，AP=1
18. （1）0=y （2）略
（3）0≤a 或1=a 有一个零点 0>a 且1≠a 有两个零点
19.（1）x y 42
= F （1,0）
（2）位置关系为：平行
20.（1）4a 可取6,0,2--
（2）2-=n b n
（3）k 为奇数，最大值为0
k 为偶数，最大值为2k -。