2 xdx,
ln y x2 C1
y Ce x2为所求通解.
二、齐次方程
1.定义 形如 dy f ( y ) 的微分方程称为齐次方程. dx x
2.解法 作变量代换 u y , 即 y xu, x
dy u x du ,
dx
dx
代入原式
u x du f (u), dx
g( y)dy f ( x)dx
分离变量法
设函数G( y)和F ( x)是依次为g( y) 和 f ( x) 的原函
数, G( y) F ( x) C 为微分方程的解.
例1 求解微分方程 dy 2xy 的通解. dx
解 分离变量 dy 2xdx, y
两端积分

dy y

u

xu

2u2 1 u

u u2
,
[1 ( 1 1) 2 1 ]du பைடு நூலகம் dx ,
2 u2 u u2 u1
x
ln(u 1) 3 ln(u 2) 1 ln u ln x lnC,
2
2
u 1 3 Cx. u(u 2)2
微分方程的解为 ( y x)2 Cy( y 2x)3 .
Q(
x
)e

P
(
x
)dx
dx
对应齐次
非齐次方程特解
方程通解
例8 求方程 y 1 y sin x 的通解. xx
解 P( x) 1 , Q( x) sin x ,
x
x
y


e

1 x
dx


sin x
x


e
1 x
dx
dx

C


e
ln
x


sin x
x

eln
代回原方程 , 得齐次方程的解 y u0 x.
例 5 求解微分方程
( x y cos y)dx x cos y dy 0.
x
x
解 令u y， 则 dy xdu udx， x
( x ux cos u)dx x cos u(udx xdu) 0,
cos udu dx , sin u ln x C, x
dx
dt
yy 2xy 3, y cos y 1, 非线性的.
一阶线性微分方程的解法
1.
线性齐次方程
dy dx

P( x) y

0.
(使用分离变量法)
dy P( x)dx, y

dy y


P
(
x)dx,
ln y P( x)dx lnC,
齐次方程的通解为 y Ce P( x)dx .
利用变量代换求微分方程的解
例7 求 dy ( x y)2的通解. dx
解 令 x y u, dy du 1 代入原方程 dx dx
du 1 u2 解得 arctanu x C, dx
代回 u x y,得 arctan( x y) x C,
2.
线性非齐次方程
dy dx

P( x) y

Q( x).
讨论

dy y

Q( x) y

P(
x)dx,
两边积分
ln
y


Q( x)dx y


P( x)dx,
设

Q( x)dx为v( y
x
),
ln y v( x) P( x)dx,
即 y e e v( x) P( x)dx . 非齐次方程通解形式
与齐次方程通解相比: C u( x)
常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. 新未知函数 u( x) 原未知函数 y( x),
作变换 y u( x)e P( x)dx
y u( x)e P( x)dx u( x)[P( x)]e P( x)dx ,
0
y
x ydx x3 y, 0
y x3
Q
两边求导得 y y 3x2 ,
y f (x) P
解此微分方程
o
xx
y y 3x2
将y和y代入原方程得 u( x)e P( x)dx Q( x),
积分得 u( x) Q( x)e P( x)dxdx C ,
一阶线性非齐次微分方程的通解为:
y [ Q( x)e P( x)dxdx C ]e P( x)dx
Ce P( x)dx e P( x)dx
微分方程的解为 sin y ln x C . x
例6
求解微分方程
x2

dx xy

y2

dy 2y2
. xy
解
dy dx

2y2 x2 xy
xy y2

2 1
y 2
x


y x
y


y
2
,
x x
令u y , 则 dy xdu udx, x
即 du f (u) u .
dx
x
可分离变量的方程
当
f (u) u
0时,
得

du f (u) u

ln C1 x ,
即 x Ce(u) ,
（ (u) du ）
f (u) u
将 u y 代入, x
得通解
x

(
Ce
y) x
,
当 u0 , 使 f (u0 ) u0 0, 则 u u0是新方程的解,
xdx

C


1 x

si
n
xdx

C

1 cos x C .
x
例9 如图所示，平行与 y 轴的动直线被曲
线 y f ( x)与 y x3 ( x 0)截下的线段PQ之
长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 f ( x).
解
x
f ( x)dx
[ x3 f ( x)]2 ,
西华大学应用数学系朱雯
第二节 一阶微分方程
可分离变量的微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程 伯努利微分方程
一、可分离变量的微分方程
g( y)dy f ( x)dx 可分离变量的微分方程.
例如 dy
4
2x2 y5

4
y 5dy
2 x2dx,
dx
解法 设函数g( y)和 f ( x)是连续的,
原方程的通解为 y tan( x C) x.
三、线性方程
一阶线性微分方程的标准形式:
dy P( x) y Q( x) dx
当Q( x) 0, 上方程称为齐次的.
当Q( x) 0, 上方程称为非齐次的.
例如 dy y x2 , dx x sin t t 2 , 线性的;