利用隔板法巧解排列、组合题
河南省卢氏县第一高级中学，孙仕卿 472200
隔板法是将相同的球放入不同的盒子，每盒放入球的个数不限，求不同方法种数的一种解题方法。

利用隔板法能够巧解许多排列、组合问题。

一、 放球问题。

例1、把8个相同的球放入4个不同的盒子，有多少种不同方法？
解：取3块相同隔板，连同8个相同的小球排成一排，共11个位置。

由隔板法知，在11个位置中任取3个位置排上隔板，共有C 311种排法。

311C =1
2391011⨯⨯⨯⨯=165(种) 所以，把8个相同的球放入4个不同的盒子，有165种不同方法。

点评：相同的球放入不同的盒子，每个盒子放球数不限，适合隔板法。

隔板的块数要比盒子数少1。

一、 指标分配问题。

例2、某校召开学生会议，要将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，若每班至少1个名额，又有多少种不同分法？
解：名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，这样，把10相同的名额分配到6个不同的班级中，适合隔板法。

将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，每班至少1个名额，可分以下两步完成。

第一步：每班先给1个名额，仅有1种给法；第二步：将剩余的4个名额分到这6个班里，由隔板法知，此时，有C 59种不同分法。

由分步计数原理知，共有C 59种不同分法。

C 59=C 49=1
2346789⨯⨯⨯⨯⨯⨯=126（种）。

答：某校召开学生会议，要将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，若每班至少1个名额，有126种不同分法.
点评：名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，故适合隔板法。

二、 求n 项展开式的项数。

例3、求10521)(x x x +⋅⋅⋅++展开式中共有多少项？
解：用10个相同的小球代表幂指数10, 用5个标有1x 、2x 、…、5x 的5个不同的盒子表示数1x 、2x 、…、5x ，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中，把标有i x （i=1,2,…,5）每个盒子得到的小球数i k （i=1，2，…，5; i k N ∈），记作i x 的i k 次方。

这样，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法，就对应着展开式中的每一
项。

由隔板法知，这样的放法共有414C 种，故10521)(x x x +⋅⋅⋅++的展开式中共有414C 项。

414C =1
23411121314⨯⨯⨯⨯⨯⨯=1001（种）。

所以，10521)(x x x +⋅⋅⋅++展开式中共有1001项。

点评：准确理解隔板法的使用条件，是使用隔板法求10521)(x x x +⋅⋅⋅++展开式中的
项数的理论依据。

四、求n 元一次方程组的非负整数解。

例4、求方程1x +2x +…+5x =7的正整数解的个数。

解：用7个相同的小球代表数7, 用5个标有1x 、2x 、...、5x 的5个不同的盒子表示未知数1x 、2x 、...、5x ，要得到方程1x +2x +...+5x =7的正整数解的个数，可分以下两步完成。

第一步：从7个相同的小球中任取5个放入5个不同的盒子中，仅有1种放法；第二步：把剩余的2个小球放入5个不同的盒中，由隔板法知，此时有46C 种放法。

由分步计数原理知，共有46C 种不同放法。

我们把标有i x （i=1,2, (5)
的每个盒子得到的小球数i k （i=1，2，…，5; i k N ∈+），记作：i x =i k 。

这样，将7个相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法，就对应着方程1x +2x +…+5x =7的每一组解（1k ，2k ，…，5k ）。

46C =26C =1
256⨯⨯=15（个） 所以，方程1x +2x +…+5x =7的正整数解共有15个。

点评：准确理解隔板法的使用条件，是使用隔板法求方程1x +2x +…+5x =7的非负（或正）整数解的个数的理论依据。