第十五章 机械振动一 选择题1. 对一个作简谐振动的物体，下面哪种说法是正确的？( )A. 物体在运动正方向的端点时，速度和加速度都达到最大值；B. 物体位于平衡位置且向负方向运动时，速度和加速度都为零；C. 物体位于平衡位置且向正方向运动时，速度最大，加速度为零；D. 物体处负方向的端点时，速度最大，加速度为零。

解：根据简谐振动的速度和加速度公式分析。

答案选C 。

2.下列四种运动（忽略阻力）中哪一种不是简谐振动？（ ）A. 小球在地面上作完全弹性的上下跳动；B. 竖直悬挂的弹簧振子的运动；C. 放在光滑斜面上弹簧振子的运动；D. 浮在水里的一均匀球形木块，将它部分按入水中，然后松开，使木块上下浮动。

解：A 中小球没有受到回复力的作用。

答案选A 。

3. 一个轻质弹簧竖直悬挂，当一物体系于弹簧的下端时，弹簧伸长了l 而平衡。

则此系统作简谐振动时振动的角频率为（ ） A. l g B. l g C. g l D. gl 解 由kl =mg 可得k =mg /l ，系统作简谐振动时振动的固有角频率为l g m k ==ω。

故本题答案为B 。

4. 一质点作简谐振动（用余弦函数表达），若将振动速度处于正最大值的某时刻取作t =0，则振动初相ϕ为（ ） A. 2π- B. 0 C. 2π D. π解 由 ) cos(ϕω+=t A x 可得振动速度为 ) sin(d d ϕωω+-==t A tx v 。

速度正最大时有0) cos(=+ϕωt ，1) sin(-=+ϕωt ，若t =0，则 2π-=ϕ。

故本题答案为A 。

5. 如图所示，质量为m 的物体，由劲度系数为k 1和k 2的两个轻弹簧连接，在光滑导轨上作微小振动，其振动频率为 ( )A. mk k 21π2=ν B. m k k 21π2+=ν C. 2121π21.k mk k k +=ν D. )k m(k .k k 2121π21+=ν 解：设当m 离开平衡位置的位移为x ，时，劲度系数为k 1和k 2的两个轻弹簧的伸长量分别为x 1和x 2，显然有关系x x x =+21此时两个弹簧之间、第二个弹簧与和物体之间的作用力相等。

因此有2211x k x k =1122d d x k t xm -= 由前面二式解出2121k k x k x +=，将x 1代入第三式，得到 x k k k k t xm 212122d d +-= 将此式与简谐振动的动力学方程比较，并令)k m(k .k k 21212+=ω，即得振动频率 )k m(k .k k 2121π21+=ν。

所以答案选D 。

6. 如题图所示，质量为m 的物体由劲度系数为k 1和k 2的两个轻弹簧连接，在光滑导轨上作微小振动，则该系统的振动频率为 ( ))k m(k .k k v .k mk k k v m k k v m k k v 212121212121π21 D. π21C.π21 B. π2 A.+=+=+==解：设质点离开平衡位置的位移是x ，假设x >0，则第一个弹簧被拉长x ，而第二个弹簧被压缩x ，作用在质点上的回复力为 -( k 1x + k 2x )。

因此简谐振动的动力学方程 k 1 k 2m选择题5图 选择题6图 mk 1k 2x k k t xm )(d d 2122+-= 令mk k 212+=ω，即m k k v 21π21+= 所以答案选B 。

7. 弹簧振子在光滑水平面上作简谐振动时，弹性力在半个周期内所作的功为 ( )A. kA 2B. (1/2 )kA 2C. (1/4)kA 2D. 0解：每经过半个周期，弹簧的弹性势能前后相等，弹性力的功为0，故答案选D 。

8. 一弹簧振子作简谐振动，总能量为E ，若振幅增加为原来的2倍，振子的质量增加为原来的4倍，则它的总能量为 ( )A. 2EB. 4EC. ED. 16E解：因为221kA E =，所以答案选B 。

9. 已知有同方向的两简谐振动，它们的振动表达式分别为 cm )π25.010cos(6cm )π75.010cos(521+=+=t x t x ；则合振动的振幅为 ( ) A. 61cm B. 11cm C. 11cm D. 61cm解 )cos(212212221ϕϕ-++=A A A A A61)π75.0π25.0cos(6526522=-⨯⨯⨯++=所以答案选A 。

10. 一振子的两个分振动方程为x 1 = 4 cos 3 t ，x 2 = 2 cos (3 t +π) ，则其合振动方程应为：（ ）A. x = 4 cos (3 t +π)B. x = 4 cos (3 t -π)C. x = 2 cos (3 t -π)D. x = 2 cos 3 t解：x =x 1+ x 2= 4 cos 3 t + 2 cos (3 t +π)= 4 cos 3 t - 2 cos 3 t = 2 cos 3 t所以答案选D 。

11. 为测定某音叉C 的频率，可选定两个频率已知的音叉 A 和B ；先使频率为800Hz 的音叉A 和音叉C 同时振动，每秒钟听到两次强音；再使频率为797Hz 音叉B 和C 同时振动，每秒钟听到一次强音，则音叉C 的频率应为： （ ）A. 800 H zB. 799 H zC. 798 H zD. 797 H z解：拍的频率是两个分振动频率之差。

由题意可知：音叉A 和音叉C 同时振动时，拍的频率是2 H z ，音叉B 和音叉C 同时振动时，拍的频率是1H z ，显然音叉C 的频率应为798 H z 。

所以答案选C 。

二 填空题1. 一质量为m 的质点在力 F = -π2 x 作用下沿x 轴运动，其运动的周期为 。

解：m m k m T 2222===πππ。

2. 如图，一水平弹簧简谐振子振动曲线如图所示，振子处在位移为零，速度为-ωA 、加速度为零和弹性力为零的状态，对应曲线上的 点，振子处在位移的绝对值为A 、速度为零、加速度为 -ω2A 和弹性力为 -kA 的状态，则对于曲线上的 点。

解：b ； a 、e 。

3. 一简谐振动的振动曲线如图所示，相应的以余弦函数表示的该振动方程为 x =_ m 。

解：)2cos(04.0ππ-t 。

4. 一物体作简谐振动，其振动方程为x = 0.04 cos (5πt / 3 -π/ 2 ) m 。

(1) 此简谐振动的周期T = 。

(2) 当t = 0.6 s 时，物体的速度v = 。

解：（1）由5π/ 3 =2π/ T ，得到T = 1.2s ；（2）v = -0.04⨯ 5π/3⨯sin (5πt / 3 -π/ 2 )，当t = 0.6 s 时，v = -0.209 m . s –1。

5. 一质点沿x 轴做简谐振动，振动中心点为x 轴的原点。

已知周期为T ，振幅为A ，(1)若t =0时刻质点过x=0处且向x 轴正方向运动，则振动方程为_______；(2)若t =0时质点位于x =A /2处且向x 轴负方向运动，则振动方程为_______。

解：（1）)2/2cos(π-π=Tt A x ；（2） )32cos(ππ+T t A 6. 图中用旋转矢量法表示了一个简谐振动，旋转矢量的长度为0.04m ，旋转角速度ω= 4πrad/s ，此简谐振动以余弦函数表示的振动方程为x= 。

解：t =0时x =0，v >0，所以振动的初相位是-π/2。

故xt = 0填空题6图填空题2图-填空题3图m (x )s .0.0-=)24cos(04.0ππ-t 。

7. 质量为m 的物体和一个弹簧组成的弹簧振子，其固有振动周期为T ，当它作振幅为A 的简谐振动时，此系统的振动能量E = 。

解：因为222π4T m m k ==ω，所以2222221TA m kA E π==。

8. 将质量为 0.2 kg 的物体，系于劲度系数k = 19 N/m 的竖直悬挂的弹簧的下端。

假定在弹簧原长处将物体由静止释放，然后物体作简谐振动，则振动频率为__________，振幅为____________。

解： 1.55 Hz ； 22002=0103v A x .ω=+m9. 已知一简谐振动曲线如图所示，由图确定：（1） 在 s 时速度为零；（2） 在 s 时动能最大；（3） 在 s 时加速度取正的最大值。

解：（1）0.5(2n +1)， n =0,1,2,3…；（2）n ，n =0,1,2,3…；（3）0.5(4n +1)，n =0,1,2,3…。

10. 一质点作简谐振动，振幅为A ，当它离开平衡位置的位移为2A x =时，其动能E k 和势能E p 的比值p k E E =__________。

解 势能 812122p kA kx E ==，总机械能为221kA E =，动能 832k kA E =。

故3p k =E E 。

11. 两个同方向同频率简谐振动的表达式分别为)4ππ2cos(100.621+⨯=-t T x (SI)，)4ππ2cos(100.422-⨯=-t T x (SI)，则其合振动的表达式为________________(SI)。

解 本题为个同方向同频率简谐振动的合成。

(1) 解析法 合振动为21x x x +=， )4ππ2cos(100.62+⨯=-t T x )4ππ2cos(100.42-⨯+-t T )]π2sin()π2cos(5[1022t T t T -⨯=-)π2cos(102.72ϕ+⨯=-t T 填空题9图x (m) t (s) 1 2 3 0其中 =ϕ11.3°(2) 旋转矢量法 如图所示，用旋转矢量A 1和A 2分别表示两个简谐振动x 1和x 2，合振动为A 1和A 2的合矢量A ，按矢量合成的平行四边形法则2222102.74610--⨯=+⨯=A m ， 51cos cos sin sin tan 22112211=++=ϕϕϕϕϕA A A A ,3.11=ϕ° 故合振动的表达式为)3.11π2cos(102.72︒+⨯=-t T x三 计算题1. 已知一个简谐振动的振幅A = 2 cm ，圆频率ω= 4πs -1，以余弦函数表达运动规律时的初相位ϕ =π/ 2。

试画出位移和时间的关系曲线（振动曲线）。

解：圆频率ω= 4πs -1，故周期T =2π/ω= 2π/4π=0.5s ，又知初相位ϕ=π/ 2，故位移和时间的关系为x = 0.02cos （4πt +π/ 2）m ，振动曲线如下图所示。

2. 一质量为0.02kg 的质点作简谐振动，其运动方程为x = 0.60 cos(5 t -π/2) m 。