n
Pn(x) lk(x)f(xk)
k0
则
b a
bn
b
f(x)dx lk(x)f(xk)dx
ak0
a
f(n1)()(x)dx
(n1)!
n b
n
lk(x)dxf(xk)Rn[f] Akf(xk)Rn[f] (4.6)
k0 a
k0
结束
b
n
f(x)d x A kf(xk)R n[f] (4 .6 )
不难验证，(4.3)和(4.4)具有零次代数精度，(4.5)具有一次代 数精度.
结束
4.1.4 内插求积公式
由插值可知，对任一函数f(x)(包括表格形式的函数)可用一n次多 项式对其插值，即
f(x)P n(x)R n(x)
b
b
b
因此 f(x)d xP n(x)d xRn(x)dx
a
a
a
当Pn (x)为拉格朗日插值多项式时，即
结束
例如求积公式： 1 f(x)d x1 3f( 1 )3 4f(0 )1 3f(1 )R [f] 1 验证当 f(x)=xm，m=0,1,2,3,4 时，是否有R[xm]=0 f ( x ) 1 , 左 2 右 边 1 3 1 边 3 4 1 1 3 1 f( x ) x ,左 1 2 ( 2 1 ) 2 边 0 右 1 3 ( 1 边 ) 3 4 0 1 3 1 f ( x ) x 2 , 左 1 3 ( 3 1 ) 3 边 3 2 右 1 3 ( 1 ) 边 2 3 4 0 2 1 3 1 2 f ( x ) x 3 , 左 1 4 ( 4 1 ) 4 边 0 右 1 3 ( 1 ) 边 3 3 4 0 3 1 3 1 3 f ( x ) x 4 , 左 1 5 ( 5 1 ) 5 边 5 2 右 1 3 ( 1 ) 4 边 3 4 0 4 1 3 1 4 3 2
41求积公式
4.1.2 求积公式的余项和代数精度
一般情况下，(4.1)两端并不相等.我们称:
b
n
R [f] f(x )d x A kf(x k)
a
k 1
(4.2)为求积公式(4.1) 的余项，或截断误差.
(4 .2 )
为考查一个求积公式的误差，通常用代数精度来表示，如果一 个求积公式对于不超过m次的多项式都能够精确成立(R[f]≡0)， 而对m+1次以上的多项式不能精确成立，则称该求积公式的代 数精度为m.
结束
所以以上求积公式的代数精度为 3.
f(x)=1时公式 应精确成立，这是求积系数应满足的起码条件，可以用它检 验一个求积公式的系数的正确性.
4.1.3 矩形求积公式
把 f(x)在a
Taylor 展开:
f(x)= f(a)+ f ’(ξ)(x-a)， ξ在x,a之间,两端积分：
b
b
b
f (x)dx f (a)dx f ()(x a)dx
其中h=b-a，记成上面形式是为以后复化求积公式余项的一致 性.由余项公式立刻可以看出梯形公式的代数精度为1.
结束
例1 利用梯形公式计算 解:
I
1 0
4 1 x2 dx
I 1 2 0 1 4 0 2 1 4 1 2 1 2(4 2 ) 3 .
4.2.2 抛物形（辛卜生）公式
取a=x0,(a+b)/2=x1,b=x2,(即n=2)，代入(4.9)式得
a
a
a
b
f (a)(ba) f ()(x a)dx
a
结束
注意到右端第二项积分，设f ′(x)在［a,b］上连续，而x-a在 ［a,b］上不变号(非负)，据积分中值定理有：
bf()(x a )d xf()b(x a )d x (b a )2f()
a
a
2
于是有左矩形公式：
bf(x )d x f(a )(b a ) (b a )2f() (4 .3 )
定理 4.1 设f(x)为二阶连续可微函数，则梯形求积公式的 余项为 (证明)
R 1 a b f( x ) d x b 2 a f( a ) f( b ) ( b 1 2 a ) 3 fξ ξ ( a ,b )
即 R 1 b 1 2 a h 2 fξ ξ (a ,b ) (4 .1 1 )
a
k 0
其中:
Ak balk(x)dxba(x(kxxx00))
(xxk1)(xxk1) (xk xk1)(xk xk1)
(xxn) dx (xk xn)
(4.7)
b
Rn[f]
a
f(n1)()(x)dx
(n1)!
通常将公式(4.6)叫做内插求积公式.
(4.8)
结束
§4.2 牛顿-柯特斯公式
为便于上机计算，通常在内插求积公式中取等距节点，即将
积分区间[a,b]n等分，即令h=(b-a)/n，且记x0=a,xn=b，则节点 为xk=x0+kh(k=0,1,…n)，作变换:t=(x-x0)/h，代入求积系数公 式：
Ak
b
b
lk(x)dx
a
a
(xx0) (xk x0)
(xxk1)(xxk1) (xk xk1)(xk xk1)
(xxn) dx (xk xn)
A 0( 1 1 ! )1h0 1(t-1 )d t1 2(t 1 )21 0hb 2a.
A 1(1 0)!0h
1tdt1t21hba.
0
20
2
所以梯形公式为
b af(x )d xb 2 -af(a )f(b )
(4 .1 0 )
结束
这是用梯形面积近似代替曲边梯形的面积，对梯形公式的误差 估计有如下定理：
n
hnt(t
1)
(t k1)(t k1)
0
(1)nkhn(nk)!k!
(t n) hdt
(1)nkh n
(nk)!k!0t(t1) (tk1)(tk1) (tn)dt
(4.9)
结束
这种由等距节点的内插求积公式通常叫做牛顿-柯特斯公式,下 面介绍几个常用的公式:
4.2.1 梯形公式
取a=x0,b=x1,(即n=1)，代入(4.9)式得
a
2
同理 , f(x)在b点展开,可得右Байду номын сангаас形公式:
结束
bf(x )d x f(b )(b a ) (b a )2f() (4 .4 )
a
2
f(x)在中点(a+b)/2展开,可得中矩形公式 :
b af(x ) d x f a 2 b ( b a ) ( b 2 4 a ) 3f() ( 4 .5 )