不同的 插值方 法 有不同 的 基函数, 不同的 表示形 式
用Ln ( x)作为被积函数 f ( x)的近似, 有

b
a
f ( x)dx Ln ( x)dx
a
n b k 0 a
b
b n
a
f ( x )l ( x)dx
k 0 k k
f ( xk ) lk ( x)dx
Ck( n )称为Cotes系数,独立于区间[a,b]和被积函数, 只与等分区间数n有关，从而与求积问题本身没有关系.
所以Newton-Cotes公式化为
(n) ( b a ) C I n ( f ) Ak f ( xk ) k f ( xk ) k 0 k 0 n n
Nowton-Cotes型求积公式的误差分析
a i
k 0 k i k
b
n
i 0,1,, m
但对m 1次多项式却不能准确成 立,即只要

b
a
m1 x m 1dx Ak xk k 0
n
则称该求积公式具有m次的代数精度.
代数精度也称 代数精确度
可以证明，求积公式

b
a
f ( x )dx Ak f ( xk )
k 0
定理7.2.1 Newton-Cotes求积公式的余项可表示为：
（1）对n为奇数的情形，设函数f ( x) Cn+1[a, b], 则
Rn [ f ] rnhn2 f ( n1) ()， [a, b]
其中
n 1 rn ( 1)( n)d (n 1)! 0
(2)
1 1 A0 h, A1 A2 An 1 h, An h 2 2
积分中值定理
I f ( x)dx (b a) f ( ),
a
b
[a, b]
但 具体位置一般是不知道的，
f ( ) 称为函数y=f(x)在区间[a, b]上的平均高度。
这样，只要对平均高度 f ( ) 提供一种算法，相应地 便获得一种数值求积方法。 一般地，我们取[a,b]内若干个节点处的高度的加权平均的 方法近似地得出平均高度。
ba 为步长 n
其中 h
f ( x)的Lagrange 插值多项式及余项分别 为
Ln ( x ) f ( xk )lk ( x )
k 0
n
f ( n 1) ( ) Rn ( x) n 1 ( x) (n 1)!
其中 lk ( x)
n1 ( x) ( x xi ),
第七章 微积分的数值计算方法
§ 7.1
基本概念
求函数 f(x) 在区间 [a,b] 上的定积分
是微积分学中的基本问题。

I f ( x )dx
a
传统方法的困境 数值积分的基本思想 数值积分的一般形式 代数精度问题
返回章
b
传统方法的困境
对于积分
I ( f ) f ( x )dx
b a
b
b
I ( f ) f ( x)dx
a
b
b n
a
f ( x )l ( x)dx R ( x)dx
b
k 0 k k
a
n
Ak f ( xk ) Rn ( x)dx
k 0
n
b
a
其中 Ak lk ( x)dx
a
b
b
a
0 j n j k
（2）对n为偶数的情形，设函数f ( x) C n+2 [a, b], 则
Rn [ f ] rnhn3 f ( n2) ()， [a, b]
其中
n 1 2 rn ( 1)( n )d (n 2)! 0
2、低阶Newton-Cotes公式及其余项
记数值积分公式为
I n Ai fi , 即
i 0
n
I I n Rn
特点： 把求积过程（极限过程）转化为有限次的乘法与加法的 代数运算。 xi为节点 ，Ai 为求积系数。 需要做的工作： 1. 确定节点和求积系数；
2. 估计余项；
3. 讨论公式的算法设计及其数值稳定性。
插值型求积公式
I ( x 4 ) I1 ( x 4 )
所以该积分公式具有3次代数精确度
1、Newton-Cotes数值求积公式
Newton-Cotes公式是指等距节点下使用Lagrange插值 多项式建立的数值求积公式
设函数f ( x) C[a , b]
将积分区间 [a , b]分割为n等份
各节点为
xk a kh , k 0,1,, n
x
图7-0 矩形规则
如果改用许多小梯形之和近似曲边梯形的面积，如图7-1，就 会更精确些，这就是----梯形公式。
y
f ( x) f0
a=x0
f1
x1
f2
x2
fi
xi
fi+1
xi+1
fn-1
xn-1
fn
xn =b
x
图7-1 梯形规则

b
a
f 0 f1 f1 f 2 f n 1 f n f ( x )dx h h h 2 2 2 n 1 n f0 fn h h f i Ai f i 2 i 1 i 0
a
b
如果知道f ( x)的原函数F ( x),则由Newton Leibniz 公式有

b
a
f ( x)dx F ( x ) a F (b ) F ( a )
b
但是在工程技术和科学研究中,常会见到以下现象:
(1) f ( x)的解析式根本不存在 , 只给出了f ( x)的一些数值 (2) f ( x)的原函数F ( x)求不出来, 如F ( x)不是初等函数 (3) f ( x)的表达式结构复杂 , 求原函数较困难
k 0 n
(2)
称为求积余项。
I [ f ] b f ( x )dx I R[ f ] n a n I n Ak f ( xk ) k 0 插值型求积公式 b Ak lk ( x )dx a b 1 ( n 1) R [ f ] f ( )n 1 ( x )dx ( n 1)! a
h ( 1)n k n (t j )dt k !( n k )! 0 0 j n
jk
n ( 1)n k (b a ) (t j )dt n k !( n k )! 0 0 j n jk
( n) Ak ˆ (b a) Ck
数值积分的一般形式
数值积分的一般形式是：

其中，
b
a
f ( x )dx Ai f i Rn
i 0
n
(3)
fi ----是函数f(x)在节点 xi 上的函数值，它可能以列表 形式给出，也可以是由函数的解析式计算出的函 数值； Ai ----称为节点 xi 上的权系数，也称求积系数。 正是由于权系数的构造方法不同，从而决定了数值积 分的不同方法。
以上这些现象,Newton-Leibniz很难发挥作用! 只能建立积分的近似计算方法-------数值积分正是为解决这样的困难而提出来的， 不仅如此，数值积分也是微分方程数值解法的工具之一。
数值积分的基本思想
数值积分----是计算定积分的具有一定精度的近 似值的各种计算方法。
从几何上看，就是计算曲边梯形面积的近似值。 最简单的办法，是用许多小矩形之和近似曲边梯形 的面积，如图7-0所示，这就是----矩形公式：
判断求积公式“好”与“差”的标准
————代数精度
因此定义代数精度的概念:
定义1. 若求积公式
I ( f ) f ( x)dx Ak f ( xk ) I n ( f )
b a
k 0
n
对任意次数不超过 m次的代数多项式 P ,即 i ( x)(i m)都准确成立
P ( x)dx A P ( x )
n
具有m次代数精度的充要条件是它对
f ( x) 1, x,, x
都能准确成立, 但对
m
f ( x) x
不能准确成立.
m1
显然，一个求积公式的代数精度越高， 它就能对更多的被积函数f(x)准确成立， 从而具有更好的实际计算意义。
结论： 含有n+1个节点的插值型求积公式 的代数精度至少为n.
最常用的一种方法是利用插值多项式来构造数值求积公式, 具体步骤如下:
在积分区间 [a , b]上取一组节点 a x0 x1 xn b
作f ( x)的n次插值多项式
Ln ( x ) f ( xk )lk ( x )
k 0 n
其中：lk ( x)(k 0,1,, n)为插值基函数
i0
0 j n jk n

x xj xk x j

( xk )( x xk )
' n 1
n1 ( x)
,
[ a, b]
而 f ( x) Ln ( x) Rn ( x) 因此对于定积分 I ( f ) a f ( x )dx 有 I ( f ) f ( x )dx a [ Ln ( x) Rn ( x)]dx
0
h
I1 1dx 2
h2 I1 2
对于 f ( x) x2
I
h 0
3 h x 2 dx 3
1 h3 3 2 ( 2 a ) h I1 ah [0 2h] 2 2 1 a 12