Σ12 k
Σ
2
2
p
k
k pk
12
则子向量x1和x2相互独立，当且仅当Σ12=0。
➢ 可作一般化推广，并对于多元正态变量而言，其子 向量之间互不相关和相互独立是等价的。
❖ 例3.2.5 设x~N3(μ,Σ)，其中
3 0 0
Σ
0 0
5 1
11
则x2和x3不独立，x1和(x2,x3)独立。
❖ (7)设x~Np(μ, Σ), Σ>0，则
μ1g2
μ1
Σ12
Σ
1 22
x2 μ2
Σ11g2
Σ11
Σ12
Σ
1 22
Σ
21
➢ μ1·2和Σ11·2分别是条件数学期望和条件协方差矩阵， Σ11·2通常称为偏协方差矩阵。
14
➢ 这一性质可作一般化推广，并对于多元正态变量， 其子向量的条件分布仍是（多元）正态的。
❖ 例3.2.7 设x~N3(μ, Σ)，其中
f x
1
x 2
e 2 2
2
2 1 2
2
1
2
exp
1 2
x
2
1 x ,
x
❖ 若随机向量 x (x1, x2 ,L , xp )的概率密度函数为
f
x 2 p
2
Σ
1
2
exp
1 2
x
μ
Σ
1
x
μ
则称x服从p元正态分布，记作x~Np(μ, Σ)，其中，参数μ和Σ 分别为x的均值和协差阵。
n
ki xi :
i1
Np
n i1
ki
μi ,
n i1
ki2 Σi
➢ 此性质表明，独立的多元正态变量（维数相同）的 任意线性组合仍为多元正态变量。
❖ (6)设x~Np(μ, Σ)，对x, μ, Σ(>0)作如下的剖分：
x
x1 x2
k p
, k
μ
μ1 μ2
k p
k
,
Σ
Σ11 Σ 21
1245=1225xx11x453
x3
4 5
21 2
10 6
6 16
2106
1 16,20
40
3253
2 6
x μ Σ 1 x μ : 2p
❖ *(8)略
13
❖ *(9)略
❖ *(10)略
❖ (11)设x~Np(μ, Σ), Σ>0，作如下剖分
x
x1 x2
k p
, k
μ
μ1 μ2
k p
, k
ΣБайду номын сангаас
Σ11 Σ 21
Σ12 k
Σ
2
2
p
k
k pk
则给定x2时x1的条件分布为 Nk μ1g2 , Σ11g2 ，其中
2
例3.1.1（二元正态分布 ）
❖ 设x~N2(μ, Σ)，这里
x
x1 x2
,
μ
1 2
,
Σ
2 1
1 2
1 2
2 2
易见，ρ是x1和 x2的相关系数。当|ρ|<1时，可得x的 概率密度函数为
f
x1,
x2
1
21 2
1
2
exp 2
1
1 2
x1 1 1
2
2
x1 1 1
第三章 多元正态分布
❖ §3.1 多元正态分布的定义 ❖ §3.2 多元正态分布的性质 ❖ §3.3 极大似然估计及估计量的性质 ❖ §3.4 复相关系数和偏相关系数 ❖ §3.5 x 和(n − 1) S的抽样分布 ❖ *§3.6 二次型分布
1
§3.1 多元正态分布的定义
❖ 一元正态分布N(μ,σ2)的概率密度函数为
8
❖例3.2.2 设x~Np(μ, Σ)，a为p维常数向量，则由上述 性质(2)或(3)知，
ax : N aμ,aΣa
❖(4)设x~Np(μ, Σ)，则x的任何子向量也服从（多元） 正态分布，其均值为μ的相应子向量，协方差矩阵为Σ 的相应子矩阵。
➢该性质说明了多元正态分布的任何边缘分布仍为 （多元）正态分布。
7
§3.2 多元正态分布的性质
❖ *(1)略。
❖ (2) x : N p *,* 任一a，ax : N *,* 。
➢ 性质(2)常可用来证明随机向量服从多元正态分布。 ❖ (3)设x~Np (μ, Σ)，y=Cx+b，其中C为r×p 常数矩阵，
则
y : Nr Cμ b,CΣC
➢ 该性质表明，（多元）正态变量的任何线性变换仍 为（多元）正态变量。
x2 2 2
x2 2 2
2
3
二元正态分布的密度曲面图
❖
下图是当
12
2 2
,
0.75
时二元正态分布的钟形
密度曲面图。
4
二元正态分布的密度等高线族
（使用SAS/INSIGHT，由10000个二维随机数生成）
y
0
-2
0
2
x
0
-2
0
x
2
4
6
概率密度等高面
{x：(x−μ)′Σ−1(x−μ)=c2} 这是一个（超）椭球曲面，中心在μ，而Σ决定 了其形状和方向。
11 41
；14 44
x4
4 44 41 43
(iii)
x1 x3
:
N3
1 3
,
14 34
11 31
。13 33
11
❖ (5)设x1,x2,⋯,xn相互独立，且xi~Np(μi, Σi) ，i=1,2,⋯,n， 则对任意n个常数k1,k2,⋯,kn，有
➢需注意，随机向量的任何边缘分布皆为（多元）正 态分布⇏该随机向量服从多元正态分布。
反例：习题2.3。
9
➢还需注意，正态变量的线性组合未必就是正态变量。
这是因为：
x1,x2,⋯,xn均为一元正态变量 ⟸(⇏)x1,x2,⋯,xn的联合分布为多元正态分布 ⟺x1,x2,⋯,xn的一切线性组合是一元正态变量 ❖例3.2.4 设x~N4(μ, Σ)，这里
E
y1 y2
=
1 1
0 0
0 2
02
13
0 1 116 4 2 0 1 1 10 6 16
V
y1 y2
=
1 1
0 0
0 2
4 2
4 1
41
1 1
0 0
02
6 16
16 20
20 40
16
❖给定y2时y1的条件均值和条件协差阵分别为
12+2106
1
40
y2
3=1225y2y2 2
1
16 4 2
μ
02
,
Σ
4 2
4 1
41
试求给定x1+2x3时
x2
x1
x3
的条件分布。
15
❖ 解 令 y1x2x1x3,y2x12x2，于是
y1 y2
=
x2 x3 x1
x1 2x2
=
0 1 1
1 0 0
1 x1
0 2
x2 x3
0 1 1 1 2
x1
1
11 12 13 14
x
x2
,
μ
2
,
Σ
21
22
23
24
x3
3
31 32 33 34
x4
4
41
42
43
44
10
则
(i) xi : N i ,ii , i 1, 2,3, 4；
(ii)
x1 x4
:
N
2
1 4
,