根据剪切唇的高度D，可近似地估计破断时应力强 度因子和应力水平。估计公式如下：
1 K 2 Dr ( ) 2 s
p
平面应力状态
剪切唇的存在可用最大剪切应力理论来解释，即 断裂面是在最大剪切应力的平面上。
5-5 面间的距离。 裂纹张开位移简写为COD (crack opening displacement)。 对I型裂纹来说:
Dugdale模型
上式中括号内的第一项来自y轴右边的集中力，第二项来自左边的 集中力。对上式从a积分到a+ρ ，则可得作用在塑性区上的应力 强度因子Kρ ：
K 2 ys a

a cos 1 a
Dugdale模型假设在有效裂纹裂端的应力奇异性消失，即有：
生使这种无限大应力的结果并不符实。当含裂纹的弹塑性体受到 外载荷作用时，裂纹端点附近有个塑性区(plastic zone)，塑性区
内的应力是有界的，其大小与外载荷、裂纹长短和材料的屈服强
度有关。
裂端塑性区
对非常脆性的材料，塑性区很小，与裂纹长度和零 构件尺寸相比可忽略不计。此时，线弹性断裂力学的 理论和应力强度因子的概念完全适用。当塑性区尺寸
Dugdale模型
对于无限大平板I型中心裂纹，设此裂纹受到无穷远处均匀拉伸应力 σ作用，此时有效应力强度因子为：
K (a )
利用叠加原理，在裂纹两边都受到离中心为x处的一对集中压力 (-σysdx)作用下，右裂端的应力强度因子为:
( ys )dx (a ) x (a ) x dK (a ) x (a ) (a ) x (a x a )
J积分
可以证明J积分与积分线路的选取无关。因此， 可选取应力应变场较易求解的线路来得到J积分值， 而此值与线路非常靠近裂端的结果是相同的。换句话
说，裂端应力应变场的综合强度可用J积分值来表示。
可以证明，在小范围屈服时，J=G，CTOD和J积分 的关系为：
CTOD
J
ys
这里σys是裂端前的屈服应力。所以，延性断裂判据自然而 然地就可以建立在J积分理论基础上。

Irwin塑性区的再度估计
当ρ<<a时，即塑性区尺寸远比裂 纹长度小(此时叫小范围屈服) ， Keff趋近于K值，上式成为：
2 K eff 2 2 ys

* rp
要估计ρ的大小，可假设图中阴影 线部分的面积A等于面积B。换句 话说，高于屈服应力的A部分已被 B部分的塑性变形所松弛。
Irwin塑性区的再度估计
第五章 弹塑性断裂力学 的基本概念
5-1 Irwin对裂端塑性区的估计
线弹性力学的分析指出裂纹尖端区的应力场随r-1/2而变化。 当r->0时，即趋近于裂纹端点，应力无限大。事实上，不论强度 多么高的材料，无限大的应力是不可能存在的。尤其是断裂力学
主要应用于金属材料，金属材料总有一定的塑性，塑性流动的发
平面应力：
0 平面应变： 3 ( 1 2 ) 假设问题满足平面应力条件，由Misses屈服准则：
( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 2 s2
裂端塑性区形状
于是得裂端到塑性区周界的距离rp是θ 的函数，其形式为 ：
因此：
ys

0
推导得：
K dr ys 2r
* p
r
K2
2 ys
* 2rp
换句话说，Irwin第二步估计所得 的塑性区尺寸比初步估计的大一倍。 要知道Irwin对塑性区的估计建立 在小范围屈服(small scale yielding) 的基础上，如果某含裂纹的构件， 其塑性区的尺寸已不是小范围屈服， 则不但Irwin的不适用，线弹性断 裂力学的分析也不适合。
1． 若把Dugdale模型扩充到III型裂纹，试求图中确定 塑性区尺寸的方程。设已知图示的裂纹的应力强度 因子为：
K
2P a
5-3 裂端塑性区形状
Dugdale模型是基于狭长块的裂端塑性区而得以建立的， 是简化的模型，没有考虑应力的空间状态。对适用于 线弹性力学的高强度材料，比较正确的形状可由Von
* 1 K eff rp CTOD 2
因为：
1 8E11
4K 2 小范围屈服时： CTOD E 1 ys Dugdale法： 8 ys a CTOD ln[sec( )] E 2 ys
CTOD与G的关系
Irwin法：
5-2 Dugdale模型
Dugdale发现薄壁容器或管道有穿透壁厚的裂纹时，其裂端的塑 性区是狭长块状，如图。由此他仿照Irwin有效裂纹长度的概念， 认为裂纹的有效半长度是a+ρ。这里ρ是塑性区尺寸。由于在a到 a+ρ间的有效裂纹表面受到屈服应力引起的压缩，所以这一段没 有开裂。因此他假设：塑性区尺寸ρ的大小，刚好使有效裂纹端 点消失了应力奇异性。
r 2v K I ( 1) 2 cos 2 sin 2 2 2
1/ 2
当
时，即在裂纹面时：
1 K r COD 2v 2
裂纹尖端张开位移CTOD
习惯上称在裂端的COD为CTOD(crack tip opening displacement) 线弹性时CTOD=0。（实际上是一个点，当然没有位移。） 若用Irwin塑性区修正，真正裂纹长度被有效裂纹长度所取代， 以Keff代替K，以rp*代替r，则真正裂纹端点的CTOD为:
K K 0
整理得确定塑性区尺寸的条件为 ：
a cos 2 a ys
大范围屈服时塑性区尺寸由此式直接解出
Dugdale模型
以Griffith裂纹为例，在小范围屈服时：

a K 2 8 ys 8 s
现在的问题是：如何估算裂端塑性区的形状、大小？
裂端塑性区尺寸的初步估计
Irwin首先对裂纹尖端塑 性区的尺寸给予初步的估 计。假设裂纹是I型，裂 端 前 r等 于 r*p 处 y方 向 的
拉伸应力刚好达到屈服应
力σys,则r*p 就是塑性区的 尺寸。用公式表示如下:
y 0
* r rp
力塑性区过渡到内部的平面应变塑性区，其形状将如
图(5－7)所示，呈哑铃形。塑性区的尺寸在表面较大 （因为是平面应力状态），往内部则渐渐减小到平面
应变塑性区的尺寸。
图5-7 平面应变过渡到平面应力的塑性区
在实际中，平面应变的断裂其断口较平整，即失稳断 裂面仍在原来的裂纹平面上；而平面应力的断裂面则与原 来的断裂平面成45角。D表征了塑性区的大小。
K 2r
* p
ys
* rp
所以塑性区尺寸为：
K2
2 2 ys
I型裂纹的应力场
由弹性力学（椭圆孔口问题）的解析解，得裂端的应力场恒为
KI 3 cos 1 sin sin 2 2 2 2r KI 3 ＋高次项 y cos 1 sin sin 2 2 2 2r KI 3 xy sin cos cos 2 2 2 2r 在裂端区，即r足够小的情形下，式中r的高次项比首项小得 多，因而可以忽略 。
不合忽略时，则必须给一定的修正，才能应用线弹性
断裂力学结果。
裂端塑性区
若是塑性区已大到超过裂纹长度或构件的尺寸， 则此时线弹性力学的理论已不再适用，亦即用应力强 度因子来衡量裂端应力场的强度这个观念已不可靠，
必须用弹塑性力学的计算和寻找表征裂端应力应变场
强度的新力学参量。这属于塑性断裂力学的内容。
对于小范围屈服，第二个问题可以用前面方法解决。但问题 是，工程结构绝大多数是中低强度、高韧性材料，在启裂前已有 相当大的裂端塑性区，而不再是属于小范围的屈服情形。然而， 计算大范围屈服时的CTOD通常是很不容易的。因此，工程上常 用的CTOD表达试通常是经过实验检验过的半理论半经验的表达 式。
5-5 J积分简介
K2 3 rp ( ) 1 cos sin 2 4 s2 2
在平面应变时：
K2 rp ( ) 4 s2
3 (1 2 ) 2 (1 cos ) sin 2 2
裂端塑性区形状
I型裂纹塑性区形状（a）Von Mises 和(b)Tresca屈服准则
问题在哪里？
习 题
1. 试用Tresca屈服准则给出I型裂纹的裂端塑性区形状公
式。
2. 试用Mises屈服准则作出II型裂纹的塑性区形状。
5-4 平面应力和平面应变的塑性区
除了很薄的平板，大多数的线弹性平板都处于平 面应力与平面应变之间的状态。因此，含有贯穿板厚 裂纹的平板，其裂端塑性区的状态将从表面的平面应
Misses屈服准则和Tresca屈服准则得到。
裂端塑性区形状
现在以I型裂纹为例，裂端的主应力为：
x y 1 x y 2 2 xy 2 2
2
在 0 范围内，I型裂纹的主应力为：
1 K cos (1 sin ) 2 2 2r 2
x
所以裂纹前沿任一点的σx =σy=σ
裂端塑性区尺寸
平面应力时： r * p
K2 2 s2
(1 2 ) K 2 * rp 平面应变时： 2 s2
按上式估计的塑性区尺寸被认为过于偏小。因为平面应变时，塑 性内的应力分布并不是恒为σ ys，而是呈峰形分布 。 Irwin建议取平面应变时裂端塑性区尺寸为：
2 2
2
与Irwin第二步估计比较，上式给出的塑性区尺寸要比Irwin估计 稍大。 Dugdale模型比较简单，有时还可得到解析表达式，因此作为大范 围屈服的塑性区初步估计在工程上还是可行的。