傅里叶级数及变换的本质解释和形象阐述（更正版）
——老师不会这么讲，书上也不会讲
注：原来上传到百度文库的文档有较多问题，或者阐述不清楚，因原文档无法删除，只能重新上传一次了。

此为更正版。

很多人学信号与系统、数字信号处理学了几年，关于傅里叶级数和傅里叶变换可能还是一知半解，只能套用公式，根本不理解为什么要这么算，也就是有什么实际含义——可以说，几乎所有信号与系统里面的数学公式都是有实实在在的物理含义的！那么，傅里叶变换到底是怎样一种变换？具体又怎么变换？有没有确切一点，或者形象一点的物理解释呢？下面笔者将尝试从以一种可理解的、物理的方式来解释，并尽量形象地讲出来，形式是探究、渐进的模式，也就是我自己的思考过程，希望对大家有所帮助。

首先，要知道傅里叶变换是一种变换，准确点说是投影。

傅里叶变换的投影问题，一直想不明白那一系列的正交函数集，到底是什么样一个函数集合，或者说是怎么样的一个空间。

所谓三角傅里叶级数当成谐波分析的时候很好理解——同一个时间轴，也就是说同一个维度的分解和叠加，肯定没错，也很实用。

但是要是从投影（或者说变换）的角度来说，怎么解释呢？书上说：这一系列正弦余弦的函数，在一个区间内，是一个完备的正交函数集，每一个函数所带的系数（或者叫权重），就是原函数在这个函数的方向上的一个投影（说方向不准确，但找不到其他的词）。

那么，原函数到底是一个什么样的函数，和各正交基函数又是怎样的一种关系呢？这个投影又是怎么投的呢？三维或者二维空间，一个矢量在各正交基上的投影很好理解，因为各矢量正交基在空间是垂直关系，原矢量在各正交基上的投影就是其模值乘以与各正交基夹角余弦值。

那么，傅里叶变换的正交基函数，也是这样一种相互垂直的关系么？投影也是取余弦值么？
这可以很容易地想清，我们只用余弦或者只用正弦就可以，如cos(2pi*nf0)系列，显然每两个函数图像之间不可能是垂直关系！相反，可以看出这是在同一个维度里面的！所以，上面两个问题的答案是否定的。

那么，到底是怎么正交、怎么投影的呢。

出现这个问题，是因为开始看书的时候我看得太粗心太浅显，没有认真透彻地理解函数正交的含义，没想到那才是最重要最根本的，从那里面再深刻理解一下，问题就迎刃而解。

函数正交和矢量正交完全不一样，是两个概念。

函数正交是：两个函数，一个不变，另一个取共轭值，然后逐点相乘，最后再求积分。

积分就涉及到一个区间，这也很重要。

如果满足：当这两个函数不同时，积分值为0；当两函数相同，积分值不为0。

那么这两个函数在这个区间上正交。

现在再回过头去看正弦或者余弦函数序列，在各个周期内，都满足上述条件，在正弦和余弦函数之间同样满足，所以这些函数是正交的。

至于完备，很明显看出，不去证明了。

至此，第一个问题，正交函数系的问题，就解决了！现在看怎么去投影了。

为更易于理解，我们取复指数函数exp(jwt)为例。

众所周知，exp(jwt)表示的是一个圆周，我们用来作傅里叶变换的因子，正是这个形式（exp(-jwt)）。

这里我还要理解一下傅里叶级数和傅里叶变换的区别：前者求的是实余弦函数组成的实级数的系数，正交函数系是cos(wt)或者sin(wt)，实际上，都是cos(wt)，正弦不过是余弦的变形。

系数和对应的余弦函数相乘，再求和，结果等于原函数；而后者，正交函数系是exp(jwt)，可认为求的是复指数函数组成的复级数的系数。

即，每个正交函数的系数，是复数。

变换后，各系数乘以对应的复指数函数，求和，其值也等于原函数。

我们还是回到傅里叶变换，其意义是将一个任意函数变换到复指数函数系exp(jwt)组成的空间，准确地说，将原函数表示成一系列系数和对应正交函数相乘的累加，这是一种变换。

那么，我们知道exp(jwt)表示的是一个圆周，当w取很多种值（与原函数周期相关），圆周的半径也取很多种值，我们将得到一个圆面！根据上面正交函数
的理解，这些圆面上的复指数函数都正交。

也就是说，我们要将一个任意函数（当然可做傅里叶变换的）投影到一个圆面上！！！这太神奇了！怎么投影呢？？？怎么会投影到一个圆面上呢，投影了之后结果会等价么？？？
回答是肯定的。

就是投影到一个圆面上，并且，完全等价！可以这样理解，我们有一个和原函数的x轴垂直的圆面，在这个圆面上有很多种以一定的角频率w及一定半径作圆周运动的点。

那么，以某个角频率及其对应半径运动的点的轨迹就可对应一个函数的轨迹，可得到一个复指数函数，可表示为A1e-jw1t,设w1表示这个角频率，负号表示函数点在圆周上是逆时针运动的，A1是上述半径值。

对于另一个频率和其对应的半径，可对应另一个正弦函数A2e-jw2t……,所有这样的函数，构成一个完备的正交函数集。

还是接上面，当对应一个w1，假设存在一个模值A1，则对任意时间t（此时相位是w1t），A1*cos(w1t)为这个时刻复指数函数在实轴上的值，A1*sin(w1t)为虚轴上的值。

对另一个角频率w2，也存在一个模值A2，在t时刻实轴的值为A2*cos(w2t)，虚轴的值为A2*sin(w2t)。

对于第三个w3，第四个w4，……，对于任意的w，均可求得t时刻函数实轴和虚轴的值。

最终，如果原信号在t时刻的值可表示为这些w对应的复指数函数在t时刻的实轴值的和，那么，原信号在t时刻就可以分解为这些频率w的复指数信号的和！而这些复指数信号的幅值，即是上述各频率复指数信号的那个模值！如果对于原信号的所有时刻t，都满足上述信号值等于所有w的复指数函数实轴值的和，那么，原信号整体就能表示成所有w的复指数信号(包含幅值)的和！这就是将原信号变换到了频（w）域，且这里w可以取所有的频率！即是，傅里叶变换后在所有频率上都有幅值，即表明原信号的带宽是所有频率。

更一般的情况是，上述w只能取一部分的频率值，或者说在一些频率值上模值为0，那么，最终原信号就等于这些有限个角频率的复指数信号（包含幅值）的和，也就是原信号的带宽不是所有频率，而是一些特定的频率。

那么，回到上述投影的问题，对于某一个频率的复指数信号，按照上述判断关系，若最终幅值不为0，则相当于在圆面上是以复指数信号的角频率为角频率，以其幅值为半径的运动的点的轨迹所表示的函数！也一定是众多正交函数中的一个！这样，就证明了傅里叶变换的本质特征——将原信号分解到正交函数系中！
作为读者的你，一定很疑惑，上述过程，如何判断对于某个频率，其幅值为0还是不为0呢？这个，正是傅里叶变换的神奇之处！不用你判断，只要你将原函数和e(-jwt)这个函数相乘，并在整个函数区间上积分，结果中自动会得到一些幅值不为0的、一些角频率的复指数信号和一些幅值为0的、另一些角频率的复指数信号！
第二个问题，投影的问题，圆满解决！
实际上，为便于理解，或者说得形象一点、简单一点，傅里叶变换是这样一种投影，首先，构造一个以x轴为轴线的、半径为很多种值的、以原函数长度为最大周期的一个“圆筒”，这些圆筒可认为是很多种不同幅值的、沿x轴方向的匀速前进（速度为1），同时沿垂直于x轴方向做逆时针匀速圆周运动（速度为w，即角速度）的点的轨迹组成的，上述运动形式也就是螺旋渐进运动；
其次，将这些点的轨迹投影在实轴上，任一时刻t的值是所有沿x轴方向运动到t 位置（因速度是1）的点投影到实轴上值的总和。

要使这个和和原信号在t时刻的值相等或者非常接近，那么上述不同幅值的、做螺旋渐进运动的点是有要求的，可理解为只有某些一定幅值、并以一定角速度运动的点才满足！这些点的运动轨迹（“圆筒”）在所有时刻都投影到实轴上，并将每个时刻的投影值都求和，最终得到的就是原信号！或者是非常非常接近原信号！这就表示原信号被这些以一定幅值、一定角速度做螺旋渐进运动的点对应的函数分解了！
最后，对每一种以一定幅值、一定角速度螺旋渐进运动的点，径向压缩其螺旋运动轨迹形成的圆筒，使成为一个圆周，这个圆周是以这个角速度为角频率，以这个幅值为半径旋转的复指数信号！这个圆周呢，在我们的直角坐标系中可以用二维图像表
示，因为它只有两个参数，半径和角速度。

而通常我们是以角速度（角频率）作横轴，以半径作纵轴。

如果把所有这些角频率对应其各自的半径画在一幅图中，于是就得到所谓的原信号的傅里叶变换图，即是频谱图！
至此，所有问题圆满解决！O(∩_∩)O~。