微分方程模型一、 一阶常微分方程模型在很多实际问题的研究中，经常要涉及各变量的变化率问题。

这些问题的解决通常要建立相应的微分方程模型。

微分方程模型在自然科学中的应用主要以物理，力学等客观规律为基础建立起来，而在经济学，人口预测等社会科学方面的应用则是在类比，假设等措施下建立起来。

（一）人口模型人口数量以及和次类似的动植物种群 的个体数量都是离散变量，不具有连续可微性。

但由于短时间内改变的是少数个体，与整体数量相比，这种变化是很微小的。

基于此原因，为了成功应用数学工具，我们通常假定大规模种群的个体数量是时间的连续可微函数。

此假设条件在非自然科学的问题中常常用到。

1、指数增长模型（Malthus 人口模型）美国人口学家Malthus(1766-1834)于1798年根据百余年人口统计资料提出了著名的人口指数增长模型。

模型假设：在人口的自然增长过程中，单位时间内人口增量与人口总数成比。

模型建立：设)(t N 为t 时刻的人口述，考察时间区间t t ∆+上的人口变动。

t t rN t N t t N ∆=-∆+)()()(令0→∆t 可以得到微分方程模型⎪⎩⎪⎨⎧=>=00)(0,N r N r rN dt dN 可以解得此方程的解为)(00)(t t r e N t N -=模型分析和应用：(1)当0>r 时，人口将随着时间的增加无限的增长，这是一个不合理的模型，因为一个环境的资源不可能容纳无限增长的人口，从生态环境的角度分析也可以看出其中的不合理性。

一般说来，就一个种群的发展规律看，在种群的发展初期种群数的变化是和指数增长模型大致吻合的（甚至可能出现年增长率递增的现象），但是随着人口数的增加，人口的年增长率将呈现逐年递减的现象。

再考虑到环境适应程度的制约，想象人口的增长不可能超过某个度。

(2)对于其中常数增长率r 的估计可以使用拟合或者参数估计的方法得到。

(3)在实际情况下，可以使用离散的近似表达式t r N t N )1()(0+=作为人口的预测表达式。

(4)从实际的人口检验情况看，指数增长模型对于时间间隔比较短，并且背景情况改变不大的情况适用。

对于长时间的人口数模型不合适。

2、阻滞增长模型（ Logistic 模型）和指数增长模型相比较，阻滞增长模型考虑到自然资源和环境条件等其他因素对人口的增长的阻滞作用，而且随着人口的增加，这种阻滞作用将越来越大。

模型假设：(1)人口的增长率r 是当前人口数的减函数0)()('<=N r N r r 。

(2)sN r N r -=)(，其中r 是人口的固有增长率，而s 决定了所能容纳的最大人口量m N 。

当m N N =时，人口的增长速度将降为0，从而可以得到m N r s /=。

这样可以得到)/1()(m N N r N r -=模型建立：相同的微元法研究可以得到下面的微分方程00)(,)1(N t N N N N r dt dN m=-= 利用变量分离的方法得到该方程的解为)(00)1(1)(t t r m m e N N N t N ---+= 模型分析和讨论：(1)在微分方程表达式中，rN 体现人口自身的增长趋势，因子)/1(m N N - 反映自然环境尚能容纳的比例，人口的变化是这两个因素共同作用的结果。

可以发现N 越大，两个因素的作用是相反的，并且当N 越大，自然环境和资源的阻滞作用越大。

(2)注意到0>dtdN ，并且从最终的人口方程可以看到，m N t N ≤)(，以及m t N t N =+∞→)(lim ，这说明人口随着时间的增加递增地趋于m N 。

(3)0)/21(22=-=m N N r dtN d 表明当2m N N =时人口的增长速度最快，从而可以得到人口曲线上的一个拐点。

(4)模型中所涉及到的两个参数r ，m N 的估计可以通过mN r s sN r N dt dN =-=,/ 进行线性拟合。

其中t N dt dN ∆∆≈//。

而模型的检验也可以通过这两个参数的估计量与一个实际的人口数量之间进行比较加以检验。

(5)阻滞增长模型不仅能够大体上描述人口及许多物种的变化规律，而且在社会经济领域中有广泛的应用，如耐用消费品的销售量也可以用此模型来描述。

（二）新技术推广模型一项新技术如何在有关企业中推广,是人们最为关心的问题,也就是说,一旦一家企业采用了一项新技术,那么行业中的其他企业将以怎样的速度采用该技术？哪些因素将影响到技术的推广？下面我们在适当的条件下讨论此问题。

记)(t p 为t 时刻采用该技术的企业数。

并设)(t p 连续可微。

假设未采用该技术者之所以决定采用该技术，是因为其已知有的企业采用了该技术并具有成效。

即是以“眼见为实”作为决策依据的,亦即“示范效应”在起作用。

假设0=t 时，有一项新技术被引进到共有N 个企业的行业中，其中有一个企业采用该技术。

用)()(t p t t p -∆+表示t 到t t ∆+时间内采用该技术的企业数的增加量，假设该增加量与已采用该技术的企业数)(t p 成正比，与还未采用该技术的企业数)(t p N -成正比，则有t t p N t rp t p t t p ∆-=-∆+))()(()()(令0→∆t ，得)(p N rp dtdp -= 于是得模型⎪⎩⎪⎨⎧=-=1)0()(p p N rp dt dp 解得rNt eN N t p --+=)1(1)( 显然，0)(>t p ，且+∞→t 时，N t p →)(，并对任何t ，N t p <)(。

还有，当2N p =时，dtdp 最大。

以上模型的建立，是基于示范效应的。

但随着通讯能力的提高和大众媒介的普及，广告的作用愈来愈明显。

即一个企业采用该技术还可能是因为广告效应的作用，从而在考虑单位时间内使用该技术的企业数的增量时，应把示范效应与广告效应一起考虑。

而广告效应只能对没采用该技术的企业起作用。

假设其引起的增量与)(t p N -成正比。

则有如下模型⎪⎩⎪⎨⎧=>---=0)0(0,),()(11p r r p N r p N rp dt dp 解得t rN r t rN r er rN e Nr t p )(1)(111)1()(＋＋+-= （三）哈罗德-多马经济增长模型计Y ，C ，I ，A 分别为总收入，总消费，引致投资和自发支出（自发消费与自发投资之和），则由总供给等于总需求，得A I C Y ++=设消费函数为10,<<=c cY C引致投资为0,>=υυdtdY I 从而得到模型⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++=dt dYI cYC A I C Y υ即有(1))0()(0⎪⎩⎪⎨⎧=-=Y Y s A Y dt dY ρ 其中υρs=，01>-=c s 当A 为常数时，其解为)2()()(0te s A Y s A t Y ρ-+= 上式由两项组成，其第一项sA 是经济 学中乘数效应的结果（即边际消费c 的作用），而第二项是加速效应υ与c 的共同作用，当sA Y >0时，υ与c 的共同作用导致一个常数增长率出现。

次现象在经济学上称为加速发展原理，是增长经济学的重要内容，但由于此时t e sA Y dt dY t I ρυρυ)()(0-== 亦有常数增长率ρ，所以到一定程度，必须进行经济政策调整，以防经济过热在式)1(中，设)0,(00>=r A e A A rt即自发支出有一个常数增长率r ，则式)2(的解为t t e r A Y e r A t Y ρρυρυρ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-=)()()(000 由此可见： (1)当r >ρ时，若υρ)(00r A Y ->，则)(t Y 有常数增长率ρ; (2))(t Y 第一项是与A 对应的与其有同样增长率项；(3)当r <ρ，+∞→t 时，-∞→)(t Y 。

即自发支出增长过快，挤掉了生产性投资，使总产量锐减。

所以自发支出不宜增长过快。

(4)当r =ρ时，t e Y A t A t Y ρυυ)()(000--= 当+∞→t 时，-∞→)(t Y ，造成生产萎缩。

二、高阶常微分方程和方程组模型（一）、饿狼追兔问题现有一只兔子，一只狼，兔子位于狼的正西100米处。

假设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的巢穴跑，而狼在追兔子，已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度是兔子的两倍。

问题是兔子能否安全回到巢穴？yh A(100,0)O解 首先建立坐标系，兔子在O 处，狼在A 处。

由于狼要盯着兔子追，所以狼行走的是一条曲线，且在同一时刻，曲线上狼的位置与兔子的位置的连线为曲线上该点处的切线。

设狼的行走轨迹是)(x f y =，则有1000x y ='= 1000x y ==又因狼的速度是兔子的两倍，所以在相同时间内狼走的距离为兔子走的距离的两倍。

假设在某一时刻，兔子跑到(0,h)处，而狼在(x,y)处，则有()02x h y f x x h -⎧'=⎪-⎨⎪=⎩⎰整理得到下述模型2()(100)0,(100)0xf x f f ⎧''=⎪⎨'==⎪⎩这属于可降阶的二阶微分方程，解得狼的行走轨迹31221200()10303f x x x =-+ 因200(0)603f =>，所以狼追不上兔子。

某些类型的导弹对目标追击的数学模型与此数学模型相识。

（二）传染病模型尽管现在卫生设施在不断改善，医疗水平也在不断提高，但在世界的某些地区，仍时有传染病流行的情况发生。

长期以来，建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析得病人数的变化规律等，一直是人们重视的问题。

用数学方法研究传染病，不是从医学的角度具体分析每种传染病的传播，而只是按照一般的传播机制来建立模型。

现将人分为两类，一是传染病患者，一是传染病易感者，设)(t x ，)(t y 分别为t 时刻传染病人数和易感者人数。

假设易感者因与传染者接触而得病，且传染病人数因病死而减少。

进一步假设单位时间传染病人数的增量为xy α，减少人数为x β，则有如下模型⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=>-=00)0(,)0(0,,y y x x xy dx dy x xy dy dx αβαβα 由方程可得ydy dx 11αβ+-= 从而有00ln )(y y y y x y x ρ+-+= 其中0>=αβρ 此模型没有考虑到防疫，治疗，免疫等机制，所以有很大的局限性，也为此模型的进一步完善留有广阔的空间。

三、差分方程模型（一）Leslie 模型上面考虑的是人口群体变化的规律问题，该模型没有考虑种群的年龄结构，种群的数量主要由总量的固有增长率决定。