在dt 时间内,CO2的增量为 agdt-aydt=a(g-y)dt
为一阶变量可分离 方程，初始条件为 v(y+dy)-vy=vdy y∣t=0=y0
在dt 时间内,CO2的增量为
dy a dt yg v
代入数据得a=1500(m3/min),即每分钟应通入1500m3的新鲜 空气，就能在10min后使车间内的CO2含量不超过0.06%.
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问题分析与符号说明
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首先应确定凶案的发生时间，若死亡时间 人体体温受大脑神经中 在下午5点5分之前，则张某就不是嫌疑犯，否 枢调节。人死亡后体温调节 的功能消失，尸体的温度受 则不能将张某排除。
外界环境温度的影响。
设T(t)表示t时刻尸体的温度，并记晚上 8:20为t=0，则T(0)=32.6℃，T(1)=31.4℃。 假设受害者死亡时体温是正常的，即 T=37℃是要确定受害者死亡的时间，也就是求 T(t)=37℃的时刻，进而确定张某是否是嫌疑 犯。
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T (t ) 21.1 ae
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T(0)=21.1+a=32.6 T(1)=21.1+ae-k=31.4 k=0.11
a=11.5 e-k＝115/103
T(t)=21.1+11.5e-0.11t
当T=37℃时，有t=-2.95 小时＝-2小时57分
8小时20分－2小时57分＝5小时23分
即死亡时间大约在下午5:23，因此张某不能被 排除在嫌疑犯之外。
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3.2 目标跟踪模型
例1 饿狼追兔问题 黑 龙 现有一直兔子，一只狼，兔子位于狼的正西100米处，假 江 科 设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的 技 巢穴跑，而狼在追兔子，已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度 学 是兔子的2倍。兔子能否安全回到巢穴? 整理得到下述模型： 院 解：设狼的行走轨迹为y=f(x),则有：
3.3 水池中含盐量模型
盐的速率为： V2(t)=2×(y/100+t)=2y/100+t (g/min)
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从而池内盐的变化率为：
dy 2y V1 V2 6 t t dt 100 t
即
g/min
dy 2 y6 dt 100 t 类似可以得到湖
y
例2 小鸭吃鱼问题
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顺 水 方 向
v a
b P(x, y)
O
A（h,o） x
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首先建立如图所示的坐标系，设鸭子游动的轨迹为 y(t)且时刻t时鸭子所在的位置为P(x,y)。由于鸭子 在任意时刻游动的的实际方向是曲线的切线方向， dy 而切线的斜率为 dx ，因此应建立一个微分方程。由 ax ay v {v x , v y } { ,b } 2 2 2 2 x y x y 可得 dy y b x 2 y 2
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假设尸体温度的变化率服从牛顿冷却定律， 即尸体温度的变化律与他同周围的温度差成正比。 即 dT k (T 21.1) k是常数
dt
分离变量 两边同时积分
dT kdt T 21.1
dT T 21.1 kdt
kt
解：（1）建立数学模型
设工人累计织布匹数为x，则工人的学习曲线为：
cx k y k cA
x A x A
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y 25 c 25 k 16 黑 龙 y 64 c 64 k 10 江
代入数据：
25 8 64 5
1 2
k
科 得 c 10 64 80 技 学 将c=80，k=1/2,代入学习曲线得A=100，所以学习曲线为： 1 院 数 学 (2)达到熟练程度所需的时间为 建 100 80 模 T= dx = 160
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本章将通过一些最简单的实例来说明微分方程建模的 一般方法。在连续变量问题的研究中，微分方程是十分常 用的数学工具之一。
在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系 较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较 为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题，
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数学建模
（Mathematical Modeling)
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第三章 微分方程模型
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第三章 微分方程模型
加热与冷却模型、目标跟踪模型
水池中含盐量模型、学习模型 人口模型、战争模型 微分方程数值解 建模举例 重点:各种简单的微分方程模型 难点:微分方程建立数学模型的思想方法
h y 1 200 c(x,y) 20 x h f x x 10x 30 2h 100 1 3f '2 x dx x O A(100,0) 因f(0)=200/3>60，所以狼追不上兔子。 3 f 2 ' x ， O的正对岸点为A，河 江 宽OA＝h，鸭子从A出发游向点O，设鸭子在静水 科 中的速度为 a，水流速度为b（a>b），且鸭子游 技 学 动方向始终朝着点O。 求鸭子游过的轨迹方程。 院
数 学 建 模
B
60
2xf' x 1 f'2 x ' y' x 0 , y x100 0 100 解得狼的行走轨迹为： 0, f f' 100 0 100 假设在某一时刻，兔子跑到(0,h)处，而狼在(x,y)处，则有：
y=f(x)
动态 模型
• 描述对象特征随时间(空间)的演变过程 • 分析对象特征的变化规律 • 预报对象特征的未来性态
• 研究控制对象特征的手段
微分 方程 建模
• 根据函数及其变化率之间的关系确定函数 • 根据建模目的和问题分析作出简化假设
• 按照内在规律或用类比法建立微分方程
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3.1 加热与冷却模型
黑 例1 物体在空气中的冷却速度与物体、空气的温差成正比， 龙 如果物体在20min内由100℃ 冷却到60℃，那么经过多长时 江 间此物体的温度将达到30℃？ 科 牛顿冷却定律：将温度为T的 技 物体放入处于常温T0的介质中时， 学 T的变化速率正比于T与周围介质 院 解：由题意知： 的温度差。 数 学 建 模
水污染模型。 y t 0 50 且有初始条件为 解一阶线性微分方程得到特解为：
当t=30时，池内含盐量为
1500000 y 2 100 t 2 100 t
1500000 y t 3 0 260 171(g) 2 130
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黑 龙 例2 设有一个30m×30m×12m的车间，其中空气中含有 江 解决这个问题根据下列两个物质平衡式： 科 0.12%的CO2,如需要在10min后,CO2的含量不超过0.06%（设新 技 鲜空气中CO2的含量为0.04%），问每分钟应通入多少立方米 增量=加入量-排出量 学 的新鲜空气？ 流进（或排出）量=流进（或排出）速度×浓度×时间 院 数 学 建 模 解：设y为时间t时，CO2的浓度； a为通入的空气量(m3/min); v为车间的体积(m3); y0为CO2的初浓度；
dx x y (h) 0 ax
b b
这是一个齐次方程，解得
h x 1 a x 1 a y [( ) ( ) ] 2 h h
某些类型的导弹对目标追击的数学模型于此模型类似。
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黑 龙 例1 设有一水池，，内盛盐水100L，现在以浓度为2g/L 江 科 的盐水流入池中，其流速为3L/min，假设流入池内的新盐水 技 和原有盐水因搅拌而能在顷刻间成为均匀的溶液，此溶液又 学 以2L/min的流速流出，求30min是池内所存盐水的含盐量。 院 解：设在t秒时池内的存盐量为y=y(t)g,因为每分钟流入3L溶 数 液，且每升溶液含盐2g,在任一时刻流入盐的速率为: 学 V1(t)=3×2=6 (g/min) 建 同时，又以2L/min的速率流出溶液，故t min后溶液总量为 模 :[100+(3-2)t] L,每升溶液的含盐量为(y/100+t) g,因此排除
种群的数量本应取离散值，但由于种群数量一般较大， 为建立微分方程模型，可将种群数量看作连续变量,由此引 起的误差将是十分微小的。
dT k t 20， dt
微分方程的解为：
T 0 100,
1 T 60 3
T Cekt 20
得T=80(1/2)3t+20,即经过1h温度可降到30 ℃。
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例2 尸体冷却问题
受害者的尸体于晚上7:30被发现，法医于晚上 8:20赶到凶案现场，测得尸体温度为32.6℃； 一小时后，当尸体即将被抬走时，测得尸体温 度 为 31.4℃ ， 室 温 在 几 个 小 时 内 始 终 保 持 21.1℃。此案最大的嫌疑犯张某声称自己是无 罪的，并有证人说：“下午张某一直在办公室 上班，5:00时打完电话后就离开了办公室”。 从张某到受害者家（凶案现场）步行需5分钟， 现在的问题是，张某不在凶案现场的证言能否 被采信，使他排除在嫌疑犯之外。
学习曲线 数 解：设x为新工人累计完成的生产量，y表示他生产第x个单位 学 产品时所需要的劳动时间，根据统计分析，y 一般可表示为 建 如下形式： cx k x A 模 c 0,A 0, 1 k 0 y k cA x A
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