高中数学必修一函数培优题集合与映射部分 1．设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -∉，且1k A +∉，那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定{}12345678S =，，，，，，，，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个．62．对于各数互不相等的正数数组()12,,,n i i i ⋅⋅⋅（n 是不小于2的正整数），如果在p q <时有p q i i <，则称 “p i 与q i ”是该数组的一个“顺序”，一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”． 例如，数组()2,4,3,1中有顺序“2, 4”，“2, 3”，其“顺序数”等于2．若各数互不相等的正数数组()12345,,,,a a a a a 的“顺序数”是4，则()54321,,,,a a a a a 的“顺序数”是 ．63．对于任意两个正整数，定义运算（用⊕表示运算符号）：当m ，n 都是正偶数或都是正奇数时，m n m n ⊕=+，例如464610⊕=+=,373710⊕=+=； 当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m n m n ⊕=⨯，例如343412⊕=⨯=． 在上述定义中，集合(){}*|12M a b a b a b =⊕=∈N ，，，的元素有 个．154．设集合{} 0 1 2 3 4 5, , , , , S A A A A A A =，在S 上定义运算“⊕”为：i j k A A A ⊕=，其中k 为i j +被4除的余数，,0,1,2,3,4,5i j =．则满足关系式20()x x A A ⊕⊕=的 ()x x S ∈的个数有 个．35．实数集R 中定义一种运算“*”，具有性质： ① 对任意,,**a b R a b b a ∈=； ② 对任意,*0a R a a ∈=；③ 对任意,,,(*)**()(*)(*)2a b c R a b c c ab a c b c c ∈=++-； 则0*2= ．26．给定集合{1,2,3,...,}n A n =，*n ∈N ．若f 是n n A A →的映射，且满足： ⑴ 任取,,n i j A ∈若i j ≠，则()()f i f j ≠；⑵ 任取,n m A ∈若2m ≥，则有m {(1),(2),..,()}f f f m ∈． 则称映射f 为n n A A →的一个“优映射”．例如：用表1表示的映射f ：33A A →是一个“优映射”．⑴ 已知f ：44A A →是一个“优映射”，请把表2补充完整（只需填出一个满足条件的映射）．或7．定义映射f A B →∶，其中(){}|A m n m n =∈R ，，，B =R ． 已知对所有的有序正整数对()m n ，满足下述条件：① ()11f m =，； ② 若m n <，()0f m n =，；③ ()()()1,,,1f m n n f m n f m n +=+-⎡⎤⎣⎦则()3,2f 的值是 ；68．已知(1,1)1f =，(,)*f m n ∈N （m 、*)n ∈N ，且对任意m 、*n ∈N 都有： ①(,1)(,)2f m n f m n +=+；②(1,1)2(,1)f m f m +=． 给出以下三个结论： （1）(1,5)9f =；（2）(5,1)16f =；（3）(5,6)26f =．其中正确的个数为（ A ） （A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）09．下图展示了一个由区间()01，到实数集R 的映射过程： ⑴ 区间()01，中的实数m 对应数轴上的点M ，如图1； ⑵ 将线段AB 围成一个圆，使两端点A 、B 恰好重合，如图2；⑶ 再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y 轴上，点A 的坐标为()01，，如图3． 图3中直线AM与x 轴交于点()0N n ，，则m 的象就是n ，记作()f m n =．⑴ 方程()0f x =的解是x = ；12⑵ 下列说法中正确命题的序号是 ．③④（填出所有正确命题的序号）①114f ⎛⎫= ⎪⎝⎭； ②()f x 是奇函数；③()f x 在定义域上单调递增； ④()f x 的图象关于点1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称．10．若集合A 具有以下性质：① A ∈0，A ∈1； ② 若A y x ∈,，则A y x ∈-，且0≠x 时，A x∈1． 则称集合A 是“好集”．分别判断集合{1,0,1}B ，有理数集Q 是否是“好集”，并说明理由． 11．若集合{}12,,,(2)k A a a a k =≥，其中(1,2,,)i a i k ∈=Z ，由A 中的元素构成两个相应的集合：{}(,),,S a b a A b A a b A =∈∈+∈，{}(,),,T a b a A b A a b A =∈∈-∈．其中(,)a b 是有序数对．若对于任意的a A ∈，总有a A -∉，则称集合A 具有性质P ．检验集合{}0123，，，与{}123-，，是否具有性质P 并对其中具有性质P 的集合，写出相应的集合S 和T ．12．已知数集{}12,,,n A a a a =⋅⋅⋅（121n a a a ≤<<⋅⋅⋅<，2n ≥）具有性质P ：对任意的i 、j (1)i j n ≤≤≤，i j a a 与j ia a 两数中至少有一个属于A ．分别判断数集{}1,3,4与{}1,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由．BA (B )图 1图 2图 3初等函数及其性质部分1．求下列函数的定义域 （1）3y x =-； （2）ln(1)y x =- （3）y 2．给出下列三个等式：①()()()f xy f x f y =+； ②()()()f x y f x f y +=⋅； ③()()()f x y f x f y +=+． 下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ）（A ）()3xf x = （B ）()2f x x = （C ）()lg f x x = （D ）1()f x x=3．设232555322(),(),()555a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ A ）（A ）a c b >> （B ）a b c >> （C ）c a b >> （D ）b c a >>4．设2544log 4,(log 3),log 5a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ D ）（A ）a c b << （B ）b c a << （C ）a b c << （D ）b a c << 5．设3.02131)21(,3log ,2log ===c b a ，则,,a b c 的大小关系是（ B ）（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）b c a << （D ）b a c <<6．设,,a b c 均为正数，且122log a a =，121log 2b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（ ）（A ）a b c << （B ）c b a << （C ）c a b << （D ）b a c <<7．下列函数中，在区间(1,)+∞上为增函数的是（ B ） （A ）21xy =-+ （B ）1x y x =- （C ）2(1)y x =-- （D ）12log (1)y x =-8．给定函数：①12y x =； ②12log (1)y x =+； ③|1|y x =-； ④12x y +=其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是（ B ）（A ）①② （B ）②③ （C ）③④ （D ）①④ 9．为了得到函数3lg10x y +=的图象，只需把函数lg y x =的图象上所有点（ C ） （A ）向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 （B ）向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 （C ）向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度（D ）向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度10．若)2(log ax y a -=在]1,0[上是减函数，则a 的取值范围是（ C ）（A ）)1,0( （B ）)2,0( （C ）)2,1( （D ）),2(+∞11．已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩是(,)-∞+∞上的增函数，则a 的取值范围是（ C ）（A ）(0,1) （B ）1(0,)3（C ）17⎡⎢⎣,13⎤⎥⎦ （D ）]1,17⎡⎢⎣ 12．设函数()y f x =在(,)-∞+∞内有定义，对于给定的正数K ，定义函数(),(),(),().K f x f x K f x K f x K ≤⎧=⎨>⎩取函数()2xf x -=，当K =12时，函数()K f x 的单调递增区间为（ C ） （A ）(,0)-∞ （B ）(0,)+∞ （C ）(,1)-∞- （D ）(1,)+∞ 13．设25abm ==，且112a b+=，则m = ．14．若2log 13a<，则a 的取值范围是 ． 15．已知(1)log (23)1k k +-<，则实数k 的取值范围是 ．16．偶函数()f x 在(,0)-∞上是减函数，若(1)(lg )f f x -<，则实数x 的取值范围是 ． 17．函数()()2log 31x f x =+的值域为 ． 18．定义：区间[]()1212,x x x x <的长度为21x x -.（1）若函数||2x y =的定义域为[],a b ，值域为[]1,2，则区间[],a b 的长度的最大值与最小值的差为 ．【1】（2）若函数12log y x =的定义域为],[b a ，值域为]2,0[，则区间],[b a 的长度的最大值与最小值的差为 ．【3】19．对于函数()f x 定义域中的任意1212,()x x x x ≠，有如下结论： ①1212()()()f x x f x f x +=⋅； ②1212()()()f x x f x f x ⋅=+； ③1212()()0f x f x x x ->-； ④1212()()()22x x f x f x f ++<．当()xf x e =时，上述结论中正确结论的序号是 （将你认为正确结论的序号都填上）；当()lg f x x =时，上述结论中正确结论的序号是 （将你认为正确结论的序号都填上）． 函数的零点与方程的根部分1．已知函数131()()2xf x x =-，那么在下列区间中含有函数()f x 零点的为（ B ）（A ）1(0,)3 （B ）11(,)32 （C ）1(,1)2（D ）(1,2)2．已知21,0()log ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，则函数1)]([+=x f f y 的零点个数是（ A ）（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）13．已知31()()log 5xf x x =-，若0x 是函数()f x 的零点，且100x x <<，则1()f x 的值为（ A ）（A ）恒为正值 （B ）等于0 （C ）恒为负值 （D ）不大于04．已知定义域为(0,)+∞的单调函数()f x ，若对任意(0,)x ∈+∞，都有12(()log )3f f x x +=，则方程()2f x =+的解的个数是（ B ）（A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）05．已知1(),4()2(1),4xx f x f x x ⎧≥⎪=⎨⎪+<⎩，则2(2log 3)f += ．【124】6．已知1,0()1(),03x x xf x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩，则不等式1()3f x ≥的解集为 ．7．已知32,2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是 ．8．用max{}a b ，表示a ，b 两数中的最大数，设22()max{84,log }f x x x x =-+-， 若函数()()g x f x kx =-有2个零点，则k 的取值范围是 ．【(0,4)】定义函数及其满足某性质部分1．定义：如果对于函数()f x 定义域内的任意x ，都有()f x M ≥（M 为常数），那么称M 为()f x 的下界，下界M 中的最大值叫做()f x 的下确界．现给出下列函数，其中所有有下确界的函数是（ D ）①()2log f x x =； ②()3x f x =； ③()1(0)0(0)1(0)x f x x x ->⎧⎪==⎨⎪<⎩（A ）②（B ）④（C ）②③④（D ）③④2．已知函数()f x 的定义域为R ，若存在常数0m >，对任意x ∈R ，有()f x m x ≤，则称()f x 为F 函数． 给出下列函数：①()0f x =； ②2()f x x =；③()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足对一切实数12,x x 均有1212()()2f x f x x x --≤． 其中是F 函数的序号为（ C ）（A ）①②③ （B ）②③ （C ）①③ （D ）①②3．集合M 由满足以下条件的函数()f x 组成：对任意[]12,1,1x x ∈-时，都有1212()()4f x f x x x --≤． 对于两个函数212()25,()f x x x f x x =-+=，以下关系成立的是（ D ）（A ）12(),()f x M f x M ∈∈ （B ）12(),()f x M f x M ∉∉ （C ）12(),()f x M f x M ∉∈ （D ）12(),()f x M f x M ∈∉4．若函数()f x 满足条件：当12,[1,1]x x ∈-时，有1212()()3f x f x x x -≤-成立，则称()f x ∈Ω． 对于函数31(),()2g x x h x x ==+，有（ C ） （A ）()()g x h x ∈Ω∉Ω且（B ）()()g x h x ∉Ω∈Ω且（C ）()()g x h x ∈Ω∈Ω且 （D ）()()g x h x ∉Ω∉Ω且5．已知三个函数：①31y x =-；②12x y +=；③lg y x =．其中满足性质：对于任意1x 、2x ∈R ，若102x x x <<，102x x α+=，022x x β+=，则有12()()()()f f f x f x αβ-<-成立的函数是 ．①②（写出全部正确结论的序号）6．平面直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数()f x 的图象恰好通过()k k *∈N 个格点，则称函数()f x 为k 阶格点函数．下列函数： ①12()f x x =； ②2()π(1)3f x x =-+； ③21()3x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭；④0.6()log (1)f x x =+； ⑤1()1f x x =-，其中是一阶格点函数的有 ．②④（填上所有满足题意的函数的序号）7．设函数()f x 的定义域为D ，如果对于任意的1x D ∈，存在唯一一个2x D ∈，使得12()()f x f x c +=（c 为常数）成立，则称函数()f x 在D 上“与常数c 关联”．给出下列函数： ① 11y x =-；② 3y x =-；③ ||1()2x y =；④ ln()y x =-．其中满足在其定义域上与常数1关联的所有函数是 ．（填上所有满足题意的函数的序号）8．设函数()f x 的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意()x M M D ∈⊆，有x l D +∈，且()()f x l f x +≥，则称()f x 为M 上的l 高调函数． 如果定义域是[1,)-+∞的函数2()f x x =为[1,)-+∞上的m 高调函数，那么实数m 的取值范围是 ．2m ≥如果定义域为R 的函数()f x 是奇函数，当0x ≥时，22()f x x a a =--，且()f x 为R 上的4高调函数，那么实数a 的取值范围是 ．11a -≤≤9．用[]x 表示不超过x 的最大整数，如[1.8]1=．对于下面关于函数2()([])f x x x =-的四个命题：① 函数()y f x =的定义域为R ，值域为[0,1]； ② 函数()y f x =的图象关于y 轴对称； ③ 函数()y f x =是周期函数，最小正周期为1；④ 函数()y f x =上是增函数． 其中正确命题的序号是 ．（写出所有正确命题的序号）③10．定义：若1122m x m -<+≤（其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x m =． 在此基础上给出下列关于函数{}()f x x x =-的四个命题： ① 函数()y f x =的定义域为R ，值域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦；② 函数()y f x =的图像关于直线2kx =()k Z ∈对称；③ 函数()y f x =是周期函数，最小正周期为1；④ 函数()y f x =在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数．其中正确的命题的序号是 ．①②③（写出所有正确命题的序号）函数的奇偶性、单调性等性质部分1．设函数()3xf x =，且函数()f x 与()g x 互为反函数． （Ⅰ）求()g x 的解析式；（Ⅱ）将函数3log (3)2y x =+-的图象经过怎样的平移后，可以得到函数()g x 的图象？2．已知函数()(0x f x a a =>且1)a ≠． （Ⅰ）若0()4f x =，求0(2)f x 的值；（Ⅱ）若22(231)(25)f x x f x x -+>+-，求x 的取值范围．3．已知函数2()2f x x x =-与()3xg x =． （Ⅰ）求函数[()]y f g x =，[1,2]x ∈的值域； （Ⅱ）求函数[()]y g f x =，[1,2]x ∈的值域．4．已知定义域为R 的函数abx f x x ++-=+122)(是奇函数.（Ⅰ）求,a b 的值；【1,2】（Ⅱ）若对任意的t ∈R ，不等式0)2()2(22<-+-k t f t t f 恒成立，求k 的取值范围.【13k <-】5．若函数22()log (29)f x x x =-+．（Ⅰ）求()f x 的定义域与值域； （Ⅱ）求()f x 的单调增区间．6．若函数21()log 1xf x x+=-． （Ⅰ）求函数()f x 的定义域；（Ⅱ）判断函数()f x 的奇偶性与单调性； （Ⅲ）求()0f x >的解集；（Ⅳ）函数()f x 在其定义域上是否存在反函数？若存在，求出反函数1()f x -；若不存在，说明理由．7．已知函数1()f x x x=+． （Ⅰ）求证：函数()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增；（Ⅱ）判断函数()f x 的奇偶性；（Ⅲ）在右侧直角角标系中，画出函数的图象；并由函数的图象归纳出函数的性质 （例如：奇偶性、单调性、值域等）；．（Ⅳ）由前述问题归纳出函数()ag x x x=+(0)a >的性质．抽象函数及其性质部分1．设函数()f x 的定义域为R ，对任意12,x x ∈R ，恒有1212()()()f x x f x f x +=+成立． （Ⅰ）求证：()f x 是奇函数；（Ⅱ）当0x >时，有()0f x <，证明()f x 是R 上的减函数．2．设函数()f x 的定义域为R ，当0x >时，有0()1f x <<，且对于任意实数m 、n 均有()()()f m n f m f n +=⋅成立．（Ⅰ）求(0)f 的值；（Ⅱ）求证：当0x <时，()1f x >．3．已知函数()f x 对任意的实数,x y 满足：()()()2f x y f x f y ，且0,()2x f x 时，（Ⅰ）求(0)f ；（Ⅱ）求证：()f x 是R 上的增函数； （Ⅲ）当(3)5f ，解不等式2(22)3f a a .4．已知函数()f x 的定义域为{0}D x x且满足对于任意的12,x x D ，有1212()()()f x x f x f x .（Ⅰ）求(1)f ；（Ⅱ）判断并证明()f x 的奇偶性； （Ⅲ）如果(4)1,(31)(26)3f f x f x ，且()f x 在(0,)上是增函数，求x 的取值范围. 5．定义在R 上的函数()f x 满足：对任意实数,m n ，总有()()()f m n f m f n ，且当0x时，0()1f x ．（Ⅰ）判断()f x 的单调性； （Ⅱ）设22{()|()()(1)}Ax y f x f y f ，，{()|(2)1}B x y f ax y a R ，，，若AB ，试确定a 的取值范围．6．定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足:①(2)1f =；②()()()f xy f x f y =+；③()()0f x f y x y->-． （Ⅰ）求(1)f ，(4)f 的值；（Ⅱ）判断函数()f x 的单调性；（Ⅲ）若()(3)2f x f x +-≤，求x 的取值范围.7．函数()f x 的定义域为R ，且()f x 的值不恒为0，又对于任意的实数m 、n ， 总有()()22n m f m f n mf nf ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立． （Ⅰ）求(0)f 的值；（Ⅱ）求证：()0t f t ⋅≥对任意的t ∈R 成立；（Ⅲ）求所有满足条件的函数()f x ．2m n x ==()()22(2)422x f x xf x f x xf ⎛⎫=∴= ⎪⎝⎭令22m n x ==∴()()()222x f x f x xf x f x ⎛⎫⋅=+⋅⎪⎝⎭()()2f x xf x =+ 当()0f x =时恒成立，当()0f x ≠时有，∴()()()24f x f x x xf x =+=∴()41x f x x =-8．定义在R 上的函数(),(0)0y f x f =≠，当0x >时，()1f x >，且对任意的,a b ∈R ， 有()()()f a b f a f b +=成立．（Ⅰ）求证：(0)1f =；（Ⅱ）求证：对任意的x ∈R ，恒有()0f x >；（Ⅲ）求证：()f x 是R 上的增函数；（Ⅳ）若2()(2)1f x f x x ⋅->，求x 的取值范围．。