2017年北京大学博雅计划数学试题
一、选择题（本大题共 20小题，每小题5分，共100分）
1. 正整数9 • 95^995亠 亠9pj |95的十进制表示中数字 1的个数为（）
A.2012 B.2013 C.2014 D.前三个答案都不对
2. 将等差数列1,5,9,H3， ,2017排成一个大数15913…2017，则该大数被9除的余数为（）
A.4 B.1 C.7 D.前三个答案都不对
3. —个三位数等于它
的各位数字的阶乘之和，则此三位数的各位数字之和为（ ）

A.9 B.10 C.11 D.前三个答案都不对

10. 将正整数集合N •分成两个不相交的子集的并，使得每个子集都不包含无穷等差数列的不同方式
有（）
A.0种 B.1种 C.无穷多种 D.前三个答案都不对
11. O是凸四边形 ABCD对角线AC和BD的交点，已知UAOB「BOC「COD「DOA的周长相同,
厶AOBJBOCJCOD的内切圆半径分别为 3,4,6，^U厶DOA的内切圆半径为（ ）

12.一群学生参加学科夏令营，每名同学至少参加一个学科考试。已知有 100名学生参加了数学考
试，50名同学参加了物理考试，48名同学参加了化学考试。学生总数是只参加一门考试学生数的

14有多少个互补相似的 二ABC满足
sin A = cos B = tan C?
A.0个 B.1个 C.2个

8.—个盒子装有红，白，蓝，绿四种颜色的玻璃球，每种颜色的玻璃球至少有一个，从中随机拿出 4个玻璃球，这4个球是红色的概率为 p1，恰好有三个红色和一个白色的概率为 p2，恰好有两个 A.5 B.6 C.7 D.前三个答案都不对
17.整数p,q满足p • q = 218,x2+px • q = 0有整数根，满足这样条件的整数对 （p,q ）的个数为（）

4.单位圆的内接五边形的所有边及所有对角线的平方和的最大值为（
A.15 B.20 C.25
D.前三个答案都不对

2倍，也是参加三门考试学生数的 3倍，则学生总数为（
A.108 名 B.120 名 C.125 名 ） D.前三个答案都不对

兀 3兀 5兀
5. （1 cos7）d GJ" ©J）的值为（）
13.有多少个平面与正四面体的 4个顶点的距离都相等？（

A.9 8 7 B. 8 C.3
4

A.4个
B.6个 C.8个

）
D.前三个答案都不对
D.前三个答案都不对

2017+.3 A. 2017-、3 B. 2017 1+2017
、

；
3

.
2017+,3

D.前三个答案都不对

7.已知正整数n满足n式2017且
n
n与2O172017
有相同的个位数字，则
2017-n
的最小值为（

A.4
B.6 C.8
D.前三个答案都不对

15.已知存在整数
a, b,c 满足 a b+c = 1,S = ( a bc)( b ac)(c，ab) 100，则 S

的最小值属于

()
A. 100,110 B. 110,120】 C. 120,130】 D.前三个答案都不对

16.已知存在正整数 a,b,c满足a+b + c=407,10n abc,则n的最大值（
）

红色，一个白色和一个蓝色的概率为 卩3，四种颜色各一个的概率为 P4，» = 0二P3 = P4则这个
盒子里的玻璃球的个数的最小值等于（ ）
A.17个 B.19个 C.21个 D.前三个答案都不对
1 1 1
9.设a,b,cft（ a -）（b -）（c - ）均为正整数，则2a 3b 5c的最大值与最小值之差（ ）
b c a

A.0个
18.已知 A.0 A.8 B.15 C.22 D.前三个答案都不对 B.2个 tan2 x tan2 y 2 2 1 tan x tan y =sin2 x sin2 1 B.— 4 C.4个 D.前三个答案都不对 y,则sin x sin y的最大值 ）

D.前三个答案都不对

A.9 B.5 C.11
D.前三个答案都不对

6.已知 f(x)」工3x，定义仏刈=f(x), fk/x)二 f(fk(x)),k _1,则 f20/2017)的值为(
x/3 —x
D.前三个答案都不对
1
19. 令
a =sin14° cos14°,b=sin16° cos16°,c
（a2 - b2），则 a,b,c
的大小顺序（

）
2

A. a ::: c ::: b B. c .： a ::: b C. a ::: b ：：： c D.前三个答案都不对
20. 假设三角形三边长为连续的三个整数，且该三角形的一个角是另一个角的两倍，则这个三角形的三
边长为（）
A.4,5,6 B.5,6,7 C.6,7,8 D.前三个答案都不对