解：m1 相对于悬点 O 做圆周运动，根据牛顿第二定律，有 T1 − m 1 g − T2 = m 1 v2 l1
v2 ，m1 l1
(1) 是一个非惯性系，
m2 相对于 m1 做圆周运动，此时 m1 的向心加速度为
2
做 m2 所受的惯性力为 m2 v ，方向竖直向下，根据牛顿第二定律，有： l1 v2 v2 T2 − m2 g − m2 = m2 l1 l2 联立式 (1) 和式 (2)，得 T1 = m1 g + m1 v + m2 g + m2 l1 ( 2 ) v v2 T2 = m2 g + m2 l1 + l2
第 2 页 (共 5 页)
解得 C = 45◦ 发生全反射的条件是入射角 i2 = γ1 + θ 大于临界角 C ，则有 cos θ arcsin √ + θ > 45◦ 2 (9) (8)
4. 长度分别为 l1 和 l2 的两根不可伸长的细绳悬挂着质量分别为 m1 和 m2 的两个小 球，处于静止状态，如图 5 所示。中间小球突然受到一水平方向的冲击力，瞬间获 得水平向右的速度 v ，求此时两绳中的拉力。
(5) (6)
达到热稳定时，有 QC 左 + QC 右 = 0 联立式 (5)∼(7)，得：
4 4 4 T2 + T4 = 2 T3
(7)
(8)
联立式 (4) 和 (8)，得 T2 =
√
4
4 4 2T1 + T4 3
第 5 页 (共 5 页)
2017 年北京大学“博雅计划”自主招生试题及解析
1. 空间直角坐标系中，六个完全相同、均匀带电的正方形绝缘平板构成一个正方体， 其中心 O 位于坐标原点，各棱方向与坐标轴平行。记与 x 轴平行的棱中点为 A，正 方体与 x 轴的交点为 B ，则 A、B 、O 三点的电场强度（ ）
A ．全部为 0 B ．全部不为 0 C ．有两个满足至少在两个方向上的分量不为 0 D ．有一个满足恰好在两个方向上的分量不为 0
6. 如图 6 所示，真空中有四块完全相同且彼此靠近的大金属板 A、B 、C 、D 平行放 置，表面涂黑（可看成黑体） ，最外侧两块板的热力学温度各维持为 T1 和 T4 ，且 T1 > T4 。当达到热稳定时，求 B 板的温度。
解：温度为 T2 的 B 板左、右侧单位面积上净获得的辐射热量分别为
4 4 ) − T2 QB 左 = σ ( T 1 4 4 ) − T2 QB 右 = σ ( T 3
(1) (2)
达到热稳定时有： QB 左 + QB 右 = 0 联立式 (1)∼(3)，得：
4 4 4 = 2 T2 + T3 T1
(3)
(4)
第 4 页 (共 5 页)
温度为 T3 的 C 板左、右侧单位时间内单位面积上净获得的辐射热量分别为
4 4 QC 左 = σ (T2 − T3 ) 4 4 QC 右 = σ (T4 − T3 )
2
(2)
(
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
v2 l1
+
v2 l2
)
第 3 页 (共 5 页)
5. 一平行板电容器，极板面积为 S ，板间距离为 d，与电动势为 U 的稳恒电源串联。 现将一厚度为 d、面积为 S 、相对介电常数为 εr 的电介质插入极板之间，求该过程 中外力做的功。
S 解：插入电介质前电容器的电容为 C1 = ，插入电介质后电容器的电容为 4πkd εr S C2 = 。该过程中外力做的功为 4πkd 1 SU 2 1 (εr − 1) W = C2 U 2 − C1 U 2 = 2 2 8πkd
解：O 点的电场强度为 0，A 点的电场强度有 x 分量和 y 分量，B 点的电场强 度只有 x 分量。D 选项正确。
2. 如图 2 所示，用轻绳悬挂一带电小球 A，绳长为 l，小球质量为 m。现将一无穷远 处的相同小球 B 移至图示位置，原小球偏转角度为 θ，求移动小球过程中外力做的 功。
第 1 页 (共 5 页)
θ 2l sin 2
)2 = 2mg sin
θ 2
(1)
3. 如图 4 所示，有一等腰三棱镜，底角为 θ，从侧面沿平行于底边方向射入一光束， √ 其折射后在底面发生全反射并从另一侧面射出。已知三棱镜材料的折射率为 2，求 θ 需满足的条件。
解：第一次折射，入射角 i1 = 90◦ − θ，根据折射定律，有 sin i1 =n sin γ1 解得 cos θ γ1 = arcsin √ 2 光线在底面发生全反射的临界角 C 与折射率 n 的关系为 sin C = 1 n (7) (6) (5)
解：以 A 球为研究对象，受力分析如图 3 所示，则有 F =( 电势能增量为 ∆Ep1 重力势能的增量为 ∆Ep2 = mgl (1 − cos θ) 所以外力做功为 W = ∆Ep1 + ∆Ep2 = 3mgl (1 − cos θ) (4) (3) kq 2 θ = 4mglsin2 = 2mgl (1 − cos θ) = θ 2 2l sin 2 (2) kq 2