高中数学巧学巧解大全第一部分 高中数学活题巧解方法总论一、代入法若动点),(y x P 依赖于另一动点),(00y x Q 而运动，而Q 点的轨迹方程已知（也可能易于求得）且可建立关系式)(0x f x =，)(0x g y =，于是将这个Q 点的坐标表达式代入已知（或求得）曲线的方程，化简后即得P 点的轨迹方程，这种方法称为代入法，又称转移法或相关点法。

【例1】（2009年高考广东卷）已知曲线C ：2x y =与直线l ：02=+-y x 交于两点),(A A y x A 和),(B B y x B ，且B A x x <，记曲线C 在点A 和点B 之间那一段L 与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D .设点),(t s P 是L 上的任一点，且点P 与点A 和点B 均不重合.若点Q 是线段AB 的中点，试求线段PQ 的中点M 的轨迹方程；【巧解】联立2x y =与2+=x y 得2,1=-=B A x x ，则AB 中点)25,21(Q ，设线段PQ 的中点M 坐标为),(y x ，则225,221t y s x +=+=， 即252,212-=-=y t x s ，又点P 在曲线C 上，∴2)212(252-=-x y 化简可得8112+-=x x y ，又点P 是L 上的任一点，且不与点A 和点B 重合，则22121<-<-x ，即4541<<-x ，∴中点M 的轨迹方程为8112+-=x x y （4541<<-x ）.【例2】（2008年，江西卷）设),(00y x P 在直线m x =)10,(<<±≠m m y 上，过点P 作双曲线122=-y x 的两条切线PA 、PB ，切点为A 、B ，定点M )0,(1m 。

过点A 作直线0=-y x 的垂线，垂足为N ，试求AMN ∆的重心G 所在的曲线方程。

【巧解】设1122(,),(,)A x y B x y ，由已知得到120y y ≠，且22111x y -=，22221x y -=，（1）垂线AN 的方程为：11y y x x -=-+， 由110y y x x x y -=-+⎧⎨-=⎩得垂足1111(,)22x y x y N ++，设重心(,)G x y所以11111111()321(0)32x y x x m x y y y +⎧=++⎪⎪⎨+⎪=++⎪⎩解得1139341934x y m x y x m y ⎧--⎪=⎪⎪⎨⎪-+⎪=⎪⎩由22111x y -= 可得11(33)(33)2x y x y m m--+-=即2212()39x y m --=为重心G 所在曲线方程巧练一：（2005年，江西卷）如图，设抛物线2:x y C =的焦点为F ，动点P 在直线02:=--y x l 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B两点.，求△APB 的重心G 的轨迹方程.巧练二：（2006年，全国I 卷）在平面直角坐标系xOy 中，有一个以)3,0(1-F 和)3,0(2F 为焦点、离心率为23的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C ，动点P 在C 上，C 在点P 处的切线与x 、y 轴的交点分别为A 、B ，且向量OB OA OM +=，求点M 的轨迹方程二、直接法直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，从而确定选择支的方法叫直接法。

从近几年全国各地的高考数学试题来看，绝大大部分选择题的解答用的是此法。

但解题时也要“盯住选项特点”灵活做题，一边计算，一边对选项进行分析、验证，或在选项中取值带入题设计算，验证、筛选而迅速确定答案。

【例1】（2009年高考全国II 卷）已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的右焦点为F ，过F 且斜率为3的直线交C 于A 、B 两点。

若FB AF 4=，则C 的离心率为（ ）（A ）56（B ）57 （C ）58 （D ）59 【巧解】设),(11y x A ，),(22y x B ，)0,(c F ，由FB AF 4=，得),(4),(2211y c x y x c -=-- ∴214y y -=，设过F 点斜率为3的直线方程为c y x +=3，由⎪⎩⎪⎨⎧=--+=03222222b a y a x b c y x 消去x 得：032)3(42222=++-b y c b y a b ， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=+224212222133)3(36a b b y y a b c b y y ， 将 214y y -=代入得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=---=-224222222334)3(363a b b y a b cb y 化简得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-=)3(43)3(32224222222a b b y a b cb y ，∴)3(43)3(3422422224a b b a b c b --=-， 化简得：)3(9)3(916222222a c ab ac +-=-=，∴223625a c =，25362=e ，即56=e 。

故本题选（A ）【例2】（2008年，四川卷）设定义在R 上的函数)(x f 满足13)2()(=+⋅x f x f ，若2)1(=f ，则=)99(f （ ）（A ）13（B ）2（C ）213（D ）132 【巧解】∵)(13)2(x f x f =+，∴)()(1313)2(13)4(x f x f x f x f ==+=+∴函数)(x f 为周期函数，且4=T ，∴213)1(13)3()3244()99(===+⨯=f f f f 故选（C ）巧练一：（2008年，湖北卷）若),1()2ln(21)(2+∞-++-=在x b x x f 上是减函数，则b 的取值范围是（ ）A ．),1[+∞-B ．),1(+∞-C ．]1,(--∞D ．)1,(--∞巧练二：（2008年，湖南卷）长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=，3AA 1=1，则顶点A 、B 间的球面距离是（ ）A ．π22B ．π2C ．22πD ．42π三、定义法所谓定义法，就是直接用数学定义解题。

选择题的命题侧重于对圆锥曲线定义的考查，凡题目中涉及焦半径、通径、准线、离心率及离心率的取值范围等问题，用圆锥曲线的第一和第二定义解题，是一种重要的解题策略。

【例1】（2009年高考福建卷，理13）过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 作倾斜角为450的直线交抛物线于A 、B 两点，线段AB 的长为8，则=p ．【巧解】依题意直线AB 的方程为2p x y -=，由⎪⎩⎪⎨⎧=-=pxy p x y 222消去y 得：04322=+-p px x ，设),(11y x A ，),(22y x B ，∴p x x 321=+，根据抛物线的定义。

2||2p x BF +=，2||1px AF +=，∴84||21==++=p p x x AB ，∴2=p ， 故本题应填2。

【例2】（2008年，山东卷，理10）设椭圆C 1的离心率为135，焦点在x 轴上且长轴长为26. 若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为（ ）（A ）1342222=-y x（B ）15132222=-y x（C ）1432222=-y x（D ）112132222=-y x【巧解】由题意椭圆的半焦距为5=c ，双曲线2C 上的点P 满足|,|8||||||2121F F PF PF <=- ∴点P 的轨迹是双曲线，其中5=c ，4=a ，∴3=b ，故双曲线方程为1342222=-y x ，∴选（A ）巧练一：（2008年，陕西卷）双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M 点，若MF 2垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ）A ．6B ．3C ．2D ．33巧练二：（2008年，辽宁卷）已知点P 是抛物线x y 22=上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ） （A ）217（B ）3（C ）5（D ）29四、向量坐标法向量坐标法是一种重要的数学思想方法，通过坐标化，把长度之间的关系转化成坐标之间的关系，使问题易于解决，并从一定程度上揭示了问题的数学本质。

在解题实践中若能做到多用、巧用和活用，则可源源不断地开发出自己的解题智慧，必能收到事半功倍的效果。

【例1】（2008年，广东卷）在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F . 若AC =a ，BD =b ，则AF =（ ）A ．41a +21b B ．32a +31b C ．21a +41b D ．1a +2b【巧解】如图所示，选取边长为2的正方形ABCD则)0,2(B ，)2,2(C ，)2,0(D ，)1,1(O ，)23,21(E ， ∴直线AE 的方程为x y 3=，联立⎩⎨⎧==23y x y 得)2,32(F∴)2,32(=AF ，设BD y AC x AF +=，则)22,22()2,2()2,2(y x y x y x AF +-=-+=∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=-2223222y x y x 解之得32=x ，31=y ，∴b a BD AC AF 31323132+=+=，故本题选B 【例2】已知点O 为ABC ∆内一点，且=++OC OB OA 320，则AOB ∆、AOC ∆、BOC∆的面积之比等于（ ）A ．9：4：1B ．1：4：9C ．3：2：1D ．1：2：3【巧解】不妨设ABC ∆为等腰三角形，090=∠B3==BC AB ，建立如图所示的直角坐标系，则点)0,0(B)3,0(A ，)0,3(C ，设),(y x O ，∵=++OC OB OA 320，即0,0(),3(3),(2)3,(=--+--+--y x y x y x ∴⎩⎨⎧==3696y x 解之得23=x ，21=y ，即)21,23(O ，又直线AC 的方程为03=-+y x ，则点O到直线AC 的距离2211|32123|22=+-+=h ，∵23||=AC ，因此49||||21=⋅=∆x AB S AOB ，43||||21=⋅=∆y BC S BOC ，23||21=⋅=∆h AC S AOC ，故选C 巧练一：（2008年，湖南卷）设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且,2,2EA CE BD DC ==BC CF BE AD FB AF 与则++=,2（ ）A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直巧练二：设O 是ABC ∆内部一点，且OB OC OA 2-=+，则AOB ∆与AOC ∆面积之比是 .五、查字典法查字典是大家比较熟悉的，我们用类似“查字典”的方法来解决数字排列问题中数字比较大小的问题，避免了用分类讨论法时容易犯的重复和遗漏的错误，给人以“神来之法”的味道。