1、如图,四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连结AG，点E、F分别在AG 上，连接BE、DF，∠1=∠2 ，∠3=∠4.(1)证明：△ABE≌△DAF；（2）若∠AGB=30°，求EF的长.【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，在△ABE和△DAF中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠3412DA AB，∴△ABE≌△DAF.（2）∵四边形ABCD是正方形，∴∠1+∠4=90o∵∠3=∠4,∴∠1+∠3=90o∴∠AFD=90o在正方形ABCD中，AD∥BC,∴∠1=∠AGB=30o在Rt△ADF中，∠AFD=90o AD=2 ,∴AF=3, DF =1,由(1)得△ABE≌△ADF, ∴AE=DF=1,∴EF=AF-AE=13-.2、如图，,AB AC AD BC D AD AE AB DAE DE F=⊥=∠于点，，平分交于点，请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明．【解析】（1）ADB ADC△≌△、ABD ABE△≌△、AFD AFE△≌△、BFD BFE△≌△、ABE ACD△≌△（写出其中的三对即可）.（2）以△ADB≌ADC为例证明．证明：,90AD BC ADB ADC⊥∴∠=∠=°.在RtADB△和Rt ADC△中，,,AB AC AD AD==∴Rt ADB△≌Rt ADC△.3、在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90º,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.(1)求证:Rt△AB E≌Rt△CBF;(2)若∠CAE=30º,求∠ACF度数.A BDEF1423【解析】（1）∵∠ABC=90° ∴∠CBF=∠ABE=90°在Rt △ABE 和Rt △CBF 中∵AE=CF, AB=BC ∴Rt △ABE ≌Rt △CBF(HL)(2)∵AB=BC, ∠ABC=90° ∴ ∠CAB=∠AC B=45°∵∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°. 由（1）知 Rt △ABE ≌Rt △CBF ， ∴∠BCF=∠BAE=15°∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60° 4、已知：如图，点C 是线段AB 的中点，CE=CD ，∠ACD=∠BCE,求证：AE=BD ．题20图 【解析】∵点C 是线段AB 的中点， ∴AC=BC ， ∵∠ACD=∠BCE,∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE,即∠ACE=∠BCD,在△ACE 和△BCD 中，AC BC ACE BCDCE CD ⎧=⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≌△BCD （SAS ）， ∴AE=BD. 5、如图10，已知ADERt ABC Rt ∆≅∆，︒=∠=∠90ADE ABC ,BC 与DE 相交于点F ，连接EB CD ,．（1）图中还有几对全等三角形，请你一一列举；（2）求证：EF CF=．【解析】 （1）ABE ADC ∆≅∆,EBF CDF ∆≅∆（2）证法一：连接CE∵ADE Rt ABC Rt ∆≅∆ ∴AE AC =∴AEC ACE ∠=∠ 又∵ADE Rt ABC Rt ∆≅∆∴AED ACB ∠=∠ ∴AB CEF第22题图AED AEC ACB ACE ∠-∠=∠-∠即DEC BCE ∠=∠∴EF CF=证法二：∵ADE Rt ABC Rt ∆≅∆∴EAD CAB AB AD AE AC ∠=∠==,,,∴DAB EAD DAB CAB ∠-∠=∠-∠即EAB CAD ∠=∠ ∴)(SAS AEB ACD ∆≅∆∴ABE ADC EB CD∠=∠=,又∵ABC ADE ∠=∠∴EBF CDF∠=∠又∵BFE DFC ∠=∠ ∴)(AAD EBF CDF ∠≅∠∴EF CF=6、如图，点F 是CD 的中点，且AF ⊥CD ，BC ＝ED ，∠BCD ＝∠EDC ． （1）求证：AB=AE ；（2）连接BE ，请指出BE 与AF 、BE 与CD 分别有怎样的关系？（只需写出结论，不必证明）． 【解析】（1）证明：联结AC 、AD∵点F 是CD 的中点，且AF ⊥CD ，∴AC=AD ∴∠ACD=∠ADC ∵∠BCD ＝∠EDC∴∠ACB ＝∠ADE ∵BC=DE ，AC=AD∴△ABC ≌△AED ∴AB=AE（2）BE ⊥AF,BE//CD,AF 平分BE7、如图l ，已知正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是AC 上一点，连结EB ，过点A 作AM ⊥BE ，垂足为M ，AM 交BD 于点F ． (1)求证：OE=OF ；(2)如图2，若点E 在AC 的延长线上，AM ⊥BE 于点M ，交DB 的延长线于点F ，其它条件不变，则结论“OE=OF ”还成立吗?如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．图1F M O CDBAE图2FMOCDBAE【解析】(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形．∴∠BOE=∠AOF ＝90︒．OB ＝OA 又∵AM⊥BE ，∴∠MEA+∠MAE ＝90︒=∠AFO+∠MAE∴∠MEA ＝∠AFO∴Rt △BOE ≌ Rt △AOF ∴OE=OFABCDE(2)OE ＝OF 成立证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BOE=∠AOF ＝90︒．OB ＝OA 又∵AM⊥BE ，∴∠F+∠MBF ＝90︒=∠B+∠OBE 又∵∠MBF ＝∠OBE ∴∠F ＝∠E∴Rt △BOE ≌ Rt △AOF ∴OE=OF8、如图1，点P 、Q 分别是边长为4cm 的等边∆ABC 边AB 、BC 上的动点，点P 从顶点A ，点Q 从顶点B 同时出发，且它们的速度都为1cm/s ，（1）连接AQ 、CP 交于点M ，则在P 、Q 运动的过程中，∠CMQ 变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； （2）何时∆PBQ 是直角三角形？（3）如图2，若点P 、Q 在运动到终点后继续在射线AB 、BC 上运动，直线AQ 、CP 交点为M ，则∠CMQ 变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；【解析】 （1）060=∠CMQ 不变。
60=∠=∠=CAP B AC AB ，等边三角形中，又由条件得AP=BQ ，∴ABQ∆≌CAP ∆(SAS)∴ACP BAQ ∠=∠∴60=∠=∠+∠=∠+∠=∠BAC CAM BAQ CAM ACP CMQ（2）设时间为t ，则AB=BQ=t ，PB=4-t当34,24,2,609000==-=∴=∠=∠t t t BQ PB B PQB 得时，当2),4(22,2,609000=-==∴=∠=∠t t t PQ BQ B BPQ 得时，∴当第34秒或第2秒时，∆PBQ 为直角三角形 （3）0120=∠CMQ不变。
60=CAP ≌又MCQ PCB ∠=∠∴0120=∠=∠PBC CMQC图19、如图：∆ACB 与∆DCE 是全等的两个直角三角形，其中∠ACB=∠DCE=900，AC=4，BC=2，点D 、C 、B 在同一条直线上，点E 在边AC 上.（1）直线DE 与AB 有怎样的位置关系？请证明你的结论；（2）如图（1）若∆DCE 沿着直线DB 向右平移多少距离时，点E 恰好落在边AB 上，求平移距离DD ，； （3）在∆DCE 沿着直线DB 向右平移的过程中，使∆DCE 与∆ACB 的公共部分是四边形，设平移过程中的平移距离为x ，这个四边形的面积为y ，求y 与x 的函数关系式，并写出它的定义域.【解析】解：（1）点 M（2）经过t 秒时，NB t =，2OMt = 则3CN t =-，42AM t =-∵BCA ∠=MAQ ∠=45 ∴ 3QN CN t ==-∴1 PQ t =+∴11(42)(1)22AMQ S AM PQ t t ==-+△22t t =-++∴2219224S t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭∵02t ≤≤∴当12t =时，S 的值最大． （3）存在．设经过t 秒时，NB =t ，OM=2t 则3CN t =-，42AM t =-∴BCA ∠=MAQ ∠=45 ①若90AQM∠=，则PQ 是等腰Rt △MQA底边MA 上的高 ∴PQ是底边MA的中线∴12PQ AP MA ==∴11(42)2tt +=-∴12t = ∴点M 的坐标为（1，0）②若90QMA ∠=，此时QM 与QP 重合∴QM QP MA ==∴142t t +=-∴1t=∴点M 的坐标为（2，0）10、如图，,,,A F E B 四点共线，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =。
求证：ACF BDE ∆≅∆。
DEA BCD EA BC （1）D，DE AB C备用图【解析】AC CE⊥，BD DF⊥∴90ACE BDF∠=∠=在Rt ACE∆与Rt BDF∆中AE BFAC BD=⎧⎨=⎩∴Rt ACE Rt BDF∆≅∆(HL)∴A B∠=∠AE BF=∴AE EF BF EF-=-，即AF BE=在ACF∆与BDE∆中AF BEA BAC BD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ACF BDE∆≅∆(SAS)11、如图，D是ABC∆的边BC上的点，且CD AB=，ADB BAD∠=∠，AE是ABD∆的中线。
求证：2AC AE=。
【解析】延长AE至点F，使EF AE=，连接DF在ABE∆与FDE∆中AE FEAEB FEDBE DE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABE FDE∆≅∆(SAS)∴B EDF∠=∠ADF ADB EDF∠=∠+∠，ADC BAD B∠=∠+∠又ADB BAD∠=∠∴ADF ADC∠=∠AB DF=，AB CD=∴DF DC=在ADF∆与ADC∆中AD ADADF ADCDF DC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADF ADC∆≅∆(SAS)∴AF AC=又2AF AE=∴2AC AE=。
12、已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE【解析】在AE上取F，使EF＝EB，连接CF∵CE⊥AB∴∠CEB＝∠CEF＝90°∵EB＝EF，CE＝CE，∴△CEB≌△CEF∴∠B＝∠CFE∵∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180°∴∠D＝∠CFA∵AC平分∠BAD∴∠DAC＝∠FAC∵AC＝AC∴△ADC≌△AFC（SAS）∴AD＝AF∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE。