第7章 弹性体振动7-3 一端受弹簧支承的均质杆,试导出其频率方程。

解: 左端边界条件(0,)0u t =， 右端边界条件：(,)(,)x l x lu x t EAku x t x ==∂=-∂。

则关于固有振型的边界条件为()(0)0,()x ld x EAk l dx =ΦΦ==-Φ代入振型函数，得到频率方程：cot ξξη=，其中：kl EAξω==-当依次计算出正根i ξ(i ＝1，2，…)后，即可计算出固有频率和相应的固有振型i ω=，()()sini i i x x A lξΦ= ，(i ＝1，2，…)。

7-7 求如图所示均质杆纵向振动u (x 、t )的稳态响应。

解: （1）边界条件(0,)0u t =，(,)0x lu x t EAx =∂=∂。

关于固有振型的边界条件(0)0,()0l 'Φ=Φ=，代入振型函数，得到频率方程： cos 0l aω=，固有频率与相应的固有振型为i ω=，()(21)()sin2i i i xx A lπ-Φ= ，(i ＝1，2，…)。

（2）由正规化条件1li i A dx ρ=⎰ΦΦ确定系数A i后得到(21)()2i i xx lπ-=Φ。

（3）标准标准下的响应方程211()()()sin i i i i i q q x F t x F t ωω+==ΦΦ，由单自由度谐和激励下的响应公式得：22()(21)()sin sin (1)2i i i i l Fi q t t t t πωωωωω+-===--Φ （4）广义坐标响应122112(21)(,)()()(1)sin sin 2i i i i i i F i xu x t x q t t Al lπωρωω∞∞+==-==--∑∑Φ。

7-8 一简支梁在中间受荷载作用下挠曲10mm ，若激振力加在同一位置且ω/ω1=1/2，其中ω1为梁的基频，求其稳态响应。

解: （1）由边界条件得出简支梁的频率方程为sin 0l β=，固有频率和固有振型为2i ia ωβ=()()sini i xx C lπΦ=（i ＝1，2，……） （2）由正规化条件1li i A dx ρ=⎰ΦΦ确定系数A i后得到()()i i x x lπΦ=。

题 7-3 图t )Fsinωt题 7-7 图（3）标准标准下的响应方程211()()()sin i i i i i q q x F t x F t ωω+==ΦΦ， 由题意知31048Fl EI =，3480EI F l =，212122EIl πωωρ==由单自由度谐和激励下的响应公式得：2222(/2)2()sin sin sin 2i i i i l FF i q t t t l πωωωωρωω==--Φ（4）广义坐标响应22112(,)()()sin sin sin 2iii i i F i i x u x t x q t t l l ππωρωω∞∞====-∑∑Φ。

【说明：以下习题中，各均质杆、弦或梁的部分参数都相同，长度为l ，横截面积为A ，弹性模量为E ，截面惯性矩为I ，单位体积的质量为ρ ，单位长度的质量为l ρ】7-12 均质简支梁若受如图所示突加分布载荷()cxp x t l=、的作用求其动响应。

解: （1）由边界条件得出简支梁的频率方程为sin 0l β=，固有频率和固有振型为2222i ii EIa lπωβρ==，()()sini i xx C lπΦ=（i ＝1，2，……） （2）由正规化条件1li i A dx ρ=⎰ΦΦ确定系数A i 后得到()2()sin i i x x l lπρΦ=。

（3）由杜哈美积分计算广义坐标响应。

1(,)(,)sin[()]ltii i i iu x t f x t d dx τωττω∞==-∑⎰⎰ΦΦ00121sin sin sin[()]l t i i ii x i x cxt d dx l l l l ππωττρω∞==-∑⎰⎰=…… 7.13 一根两端固定的弦，在弦线上作用着均匀分布的横向力f （x ，t ），方向铅垂向上。

证明弦的振动微分方程为：22(,)(,)()(,)()()y x t y x t F x f x t x A x x x t ρ∂∂∂⎡⎤+=⎢⎥∂∂∂⎣⎦证明：F 为张力。

研究长度为d x 的微元体有 22sin sin y F Adx F dx dx F fdx t x x θρθθ∂∂∂⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭xlc题 7-12 图f d xFF dx x∂+∂微振动时展开sin dx x θθ∂⎛⎫+ ⎪∂⎝⎭得sin sin dx dx x x θθθθ∂∂⎛⎫+≈+ ⎪∂∂⎝⎭ 代入前式忽略高价微量且yxθ∂=∂得 22sin y FAdx F dx dx fdx t x x θρθ∂∂∂=++∂∂∂()F dx fdx xθ∂=+∂ 即22(,)(,)()(,)()()y x t y x t F x f x t x A x x x t ρ∂∂∂⎡⎤+=⎢⎥∂∂∂⎣⎦。

7.14 设弦振动的振型()sinn n n xU x C l π=中，C n为待定常数，用正规化方法证明n C = 证明：将()sinn n n xU x C lπ=代入由正规化条件01ln n U AU dx ρ=⎰即可求得n C =7.15左端固定的杆，右端连接一刚度为k 的弹簧，试导出杆纵向振动的主振型相对于刚度的正交条件为：0()()()()0li j i j EA U x U x dx kU l U l ''+=⎰。

解: 求出频率方程：cot ξξη=，其中：klEAξωη==-。

当依次计算出正根n ξ(n ＝1，2，…)后，即可计算出固有频率和相应的固有振型n ω=()sinn n n x U x A lξ= ，(n ＝1，2，…)。

将分离变量解代入波动方程得2221()1()()()()()d q t d dU x EA x q t dt A x U x dx dx ωρ⎛⎫==- ⎪⎝⎭则第i ，j 阶振型函数满足2i i i d dU EA AU dx dx ωρ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2j j j dU d EA AU dx dx ωρ⎛⎫=- ⎪⎝⎭分别用U j ，U i 乘上两式两端，并积分()20000[]ll l l j i j i i j i j i d U EAU dx EAU U EAU U dx U AU dx dx ωρ''''=-=-⎰⎰⎰ ()20000[]l l l l i j j i i j j j i d U EAU dx EAU U EAU U dx U AU dx dx ωρ''''=-=-⎰⎰⎰ 根据边界条件()(0)0,()x ldU x U EAkU l dx ===-，上两式变为20()()ll i j i j i j i kU l U l EAU U dx U AU dx ωρ''--=-⎰⎰20()()lli j i j jjikU l U l EAU U dx U AU dx ωρ''--=-⎰⎰两式相减22()0li j j i U AU dx ωωρ-=⎰，即得两个正交条件0lj i U AU dx ρ=⎰，0()()()()0li j i j EA U x U x dx kU l U l ''+=⎰。

7.16 左端固定右端自由的杆，已知左端支承相当于地面的纵向运动为200(/)s u u t t =，在初瞬时杆静止。

试确定支承运动引起杆纵向振动的响应。

解: （1）同题7.7，固有频率与相应的固有振型为i ω=，(21)()2i i xx lπ-=Φ，(i ＝1，2，…)。

（2）相对基础的响应22001(,)sin[()]l tisr i i i id u u x t A t d dx dt ρωττω∞==--∑⎰⎰ΦΦ02102sin[()]ltii i i i u At d dx t ρωττω∞==--∑⎰⎰ΦΦ 02201022(21)(21)(1cos )sin sin 22l i i i u A i x i xt dx t Al l l ρππωωρ∞=--=--∑⎰ 022108(21)(1cos )sin (21)2i i i u i x t t i lπωωπ∞=-=---∑221,3,5081sin 2i i u i xt i lπωπ∞=⎛=-- ⎝∑响应：200221,3,5008(,)(,)(12s r i i t u i xu x t u u x t u t t i lπωπ∞=⎛⎫=+=-- ⎪⎝⎭∑。

7.20 一杆左端固定，左端自由，假设杆的右半部分在t ＝0时具有沿轴向的初速度v 0，试求杆纵向振动的响应。

解: （1）同题7.7，固有频率与相应的固有振型为i ω=，(21)()2i i xx lπ-=Φ，(i ＝1，2，…)。

（2）初始条件：000()0,()(/2)u x u x v l x l ==≤≤变换到标准坐标下000()0li i q A u x dx ρ==⎰Φ，0000/2(21)()2lli i l i x q A u x dx v dx l πρρ-==⎰⎰Φ(21)4i π-= （3）响应011(,)()()()sin i ii i i i i iq u x t x q t x t ωω∞∞===Φ=Φ∑∑1(21)1(21)cos sin 2(21)4i ii x i t l i ππωω∞=--=- 21,3,51cos sin 42i i x i l ππ∞==∑。