证 lim x sin 1 0,
x0
x
又 f (0) 0,
lim f ( x) f (0),
x0
∴ 函数 f ( x)在 x 0处连续.
单侧连续
若函数 f ( x)在(a, x0]内有定义,且 f ( x0 0) f ( x0 ), 则称 f ( x)在点x0处 左连续； 若函数f ( x)在[ x0,b)内有定义,且f ( x0 0) f ( x0 ), 则称f ( x)在点x0处 右连续.
点处的函数值异号：f(a)·f(b)<0，则存在 (a,b)使f ( ) 0 。
从图像上看，当一条连续曲线从x轴下方到达x轴上方(或 从上方到达下方)时，必与x轴相交。
y
y f (x)
ao
bx
2021年2月25日星期四
33
利用零值定理可证明方程的解的存在性。证明时先根据方 程构造函数，再验证这个函数在对应区间(若题中未给出区间 则需自己找出)上满足零值定理的条件。
Q( x)
在其定义域区间上都连续 .
2021年2月25日星期四
24
2、反函数
定理 单调连续函数必有连续的反函数，且单调 性不变。
例如, y sin x在[ , ]上单调增加且连续,
22 故 y arcsin x 在[1,1]上也是单调增加且连续.
同理 y arccos x 在[1,1]上单调减少且连续;
f
(x)
1
1 2
x2
0 x 1
x
3
x 1
由于f (0 0) lim (x 1)2 1；f (0 0) lim (1 1 x2 ) 1；
x0
x0
2
而f(0)=(0-1)2=1；显然f(0-0)=f(0+0)=f(0)，因此f(x)在x=0连续。
由于f (1 0) lim (1 1 x2 ) 3 ； f (1 0) lim x3 1；
在x 1处的连续性 .
y y 1 x
2 y2 x
1
o1
x
2021年2月25日星期四
15
解 f (1) 1,
f (1 0) 2, f (1 0) 2,
lim f ( x) 2 f (1), x1
x 0为函数的可去间断点.
注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义，
则可使其变为连续点. y
定理 函数 f ( x)在 x0 处连续 f ( x)在 x0 处既左连续又右连续 f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 ).
例2
讨论函数
f
(x)
x
x
2, 2,
x 0, x 0,
在 x 0处的
连续性.
解 lim f ( x) lim( x 2) 2 f (0),
y arctan x, y arccot x 在[,]上单调且连续. 反三角函数在其定义域内皆连续.
2021年2月25日星期四
25
3、复合函数
定理3 设函数 y = f [u(x)]由函数 y = f (u)与函数
u=u(x)复合而成,
而函数 y = f(u)
lim
x x0
f [u( x)] lim
x0
x0
lim f ( x) lim( x 2) 2 f (0),
x0
x0
右连续但不左连续 ,
故函数 f ( x)在点x 0处不连续.
练习 讨论函数
(x 1)2
f
(x)
1
1 2
x
2
x 3
x0 0 x 1 x 1
在x1=0、x2=1处的连续性。 解题过程
2021年2月25日星期四
9
解：
(x 1)2 x 0
闭区间上的函数的图像是一条连续的曲线(两端连着端 点),由图像容易得出下面的结论，它们主要用于理论分析。
定理(最值定理) 函数y=f(x)在[a,b]上连续，则y=f(x)在 [a,b]上能取到最大、最小值。即存在ξ1、ξ2∈[a,b]，使任意 x∈ [a,b]有f(ξ1)≥ f(x)， f(ξ2) ≤ f(x)。
例2
讨论函数
f
(x)
x, 1 x,
x 0,在x 0处的连续性. x 0,
解 f (0 0) 0, f (0 0) 1,
y
f (0 0) f (0 0),
x 0为函数的跳跃间断点.
o
x
17
第二类间断点
定义 f(x0-0)、f(x0+0)至少有一个不存在的点称为第二类 间断点。 f(x0-0)、f(x0+0)至少有一个为无穷大量称无穷间断点 其它的称为非无穷间断点。
y
例3 判断函数
f
(x)
1
x
,
x,
x 0, .
x 0,
o
x
的间断点x0=0属于哪一种类型。 解 由于f(0+0)=∞，则x0=0是f(x)的无穷间断点。
2021年2月25日星期四
18
例4 判断函数 f (x) sin 1 的间断点属于哪一种类型。
x
答案 x 0为第二类非无穷间断点。
y sin 1 x
1、四则运算
由极限的四则运算法则，很容易得到连续函数的四则运 算性质：
定理 有限个连续函数的和、差、积、商(分母在连续点 的函数值不为零)仍为连续函数。
由常值函数 y c 和函数 y x 的连续性，得
多项式函数：P( x) a0 xn a1 xn1 an1 x an , 有理函数：R( x) P( x) （P,Q 为 x 的多项式）,
有时称这种间断点 为振荡间断点。
2021年2月25日星期四
19
间断点
第一类间断点
第二类间断点
可去间断点 跳跃间断点 无穷间断点 非无穷间断点
2021年2月25日星期四
20
例5（1）讨论函数 解: 1° 找 f(x) 无定义的点
间断点的类型.
间断点：x 1, x 2 2° 判断间断点的类型
三、连续函数的性质
x1
2
2
x1
显然f(1-0) ≠f(1+0)，因此f(x)在x=1间断。
函数在区间的连续性
若函数 f (x) 在开区间 (a,b)内每一点 x 处 都连续, 则称 f ( x) 在 (a, b) 内连续 .
记作: f (x)C(a,b) ;
若 f ( x) 在 (a, b) 内连续, 且在 a 点右连续, 在 b 点 左连续, 则称函数f ( x) 在闭区间[a, b] 上连续.
o x0
x1
x
o
x0 x1
x
1、连续性定义
下面用自变量、因变量的改变量刻画函数的连续性。
y y=ƒ(x)
}Δy
y=ƒ(x) y
} Δx
Δy
Δx
o x0
x1
x
o
x0 x1
x
这两个函数图象，一个在x0“连接着 的”，一个在x0“断开了”。看一看， 当△x→0时△y的变化趋势有何不同？
2021年2月25日星期四
如上例中
令 f (1) 2,
2
则
f (x)
2 x,
1
x,
0 x 1, x 1,
1
在x 1处连续.
o1
x
2021年2月25日星期四
16
2.跳跃间断点
如果 f ( x)在点 x0处左, 右极限都存在,但f ( x0 0) f ( x0 0), 则称点x0为函数f ( x)的跳跃间断点.
27
4、初等函数的连续性
基本初等函数在定义域内连续 连续函数的复合函数连续 连续函数经四则运算仍连续
结论：一切初等函数在定义区间内连续.
定义区间是指包含在定义域内的区间.
2021年2月25日星期四
28
初等函数求定义区间内极限的方法代入法.
设 f ( x)是初等函数，则
lim
x x0Βιβλιοθήκη f (x) f ( x0 )
f (x)
f ( x0 ).
2021年2月25日星期四
13
间断点分类: 根据： f ( x0 ) 与 f ( x0 )是否同时存在.
第一类间断点:
及
均存在
x0为可去间断点 .
x0 为跳跃间断点 .
第二类间断点:
及
中至少一个不存在
若其中有一个为 x0 为无穷间断点 .
其他
x0 为非无穷间断点 .
第一类间断点 （在间断点处的左、右极限皆存在）
1.可去间断点
如果
f
(
x)在点
x0处的极限存在
,但
lim
x x0
f (x)
A
f ( x0 ),
或 f ( x)在点 x0处无定义,则称点x0为函数 f ( x)的可去间断点.
例1 讨论函数
f
(
x)
2 1,
x,
0 x 1, x1
1 x, x 1,
记作: f (x)C[a,b] .
连续函数的图形是一条连续不断的曲线 .
二、函数的间断点
函数 f ( x)在点 x0处连续必须满足的三个条件 : (1) f ( x)在点x0处有定义;
(2) lim f ( x)存在; x x0
(3) lim x x0
f (x)
f ( x0 ).
如果上述三个条件中只要有一个不满足, 则称
2021年2月25日星期四
31
定理(介值定理) 函数y=f(x)在[a,b]上连续，且在[a,b]上的 最大值、最小值分别为M、m，则对任意C∈ [m,M]，至少存在 一个ξ ∈ [a,b]，使f(ξ) =C。