经济数学
第一章 函数的极限与连续
函数的极限与连续
函数的极限 XXXXX
极限的运算 函数的连续性
函数的概念 函数的极限 无穷小与无穷大 极限的运算法则 两个重要极限
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数学建模案例
数学模型的概念 数学建模过程
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1.1 函数的极限
一、 函数的概念 二、 函数的极限 三、 无穷小与无穷大
lim
x x0
f (x)
A或
f ( x0＋0)
A.
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左极限和右极限统称为单侧极限.它们之间有如下关系:
定理2. 函数y = ƒ(x)当 x→x0 时极限存在且为A的充要条 件是函数y = ƒ(x)的左极限和右极限都存在且等于A。即
lim f ( x) A lim f ( x) lim f ( x) A
变量 x 在U (xˆ0 ,d)内无限接近于 x0时，相应的函数值无限接近于 确定的常数 A，那么常数 A 就叫函数 f (x)当 x ® x0 时的极限,记
作 lim f (x) A 或 f (x) x® x0
A( x
x0 )
例如 lim x 1 , limarctan x 0 .
x1
x0
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说明函数在 x0点的极限是否存在与函数在 x0 处有无定义无 关.这是因为函数在 x0点的极限是函数在 x0 附近的变化趋势, 而不是在 x0处函数值。
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3. 函数ƒ(x)的左、右极限 如 y x ( x 0) 则只能考察 x 从 0 的右侧趋于
0 时的极限. 因而必须引进左、右极限的概念.
-x f (x)
y
y f (x)
f (x)
o
xx
奇函数
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（4）函数的周期性:
对于函数f(x) ，若存在一个不为零的数l，使得 关系式 f (x l) f (x) 对于定义域内任何x值都成立， 则 f(x)叫做周期函数，l 称为是f(x)的周期。
（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
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1、函数的概念
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定义 1 设数集 D R，则称映射 f : D R为定义
在 D上的函数.
即对于每个数 x D, 变量 y按照一定法则总有
确定的数值和它对应，则称 y是 x的函数，记作
y f (x)
因变量
自变量
当x0 D时, 称f ( x0 )为函数在点x0处的函数值. 数集D叫做这个函数的定义域
空心领域：U (xˆ0, )
1. x→∞ 时函数ƒ(x)的极限 （1） 设函数ƒ(x)，当x>0且无限增大时，函数ƒ(x)趋
于一个确定的常数A，则称函数ƒ(x)当 x→∞ 时以A为
极限.记
lim f (x) A 或 f (x) A(x ).
x
如： lim 1 0, lim ex 0, lim arctan x .
3l
l
2
2
l 2
3l 2
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3、反函数与复合函数
(1) 反函数 设函数的定义域为D，值域为W. 若对∀y∈W，D上 都有唯一确定一个数值 x 与 之对应，且ƒ(x)=y. 若把 y 看作自变量, x 看作因变量,则称函数 x=f-1(y)为函数 y =ƒ(x) 的反函数.而原函数 y =ƒ(x)为直 接函数; x , y 互换便有y=φ(x) （y=f-1(x)）, 从而函数与 反函数定义域、值域及图象间有一定的关系.
o
x1 x2
x
I
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经济数学 （3）函数的奇偶性:
设D关于原点对称, 对于x D, 有 f ( x) f ( x) 称 f ( x)为偶函数;
y y f (x)
f (x)
f (x)
-x o x
x
偶函数
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设D关于原点对称, 对于x D, 有 f ( x) f ( x) 称 f ( x)为奇函数;
(1) 左极限
当x 从 x0 左侧(小于)趋于x0 时 , ƒ(x)以A为极限. 则
A是ƒ(x)在 x0处的左极限. 记为
lim
x x0
f (x)
A
或 f ( x0－0) A.
(2)右极限
当x从 x0 右侧(大于)趋于x0 时 , ƒ(x)以A为极限. 则A是
ƒ(x)在 x0 处的右极限. 记为
1 x2
D :[1,1] D : (1,1)
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几个特殊的函数举例
(1)符号函数
y
1 当x 0
y
sgn x
0
当x 0
1 当x 0
1
o
x
-1
x sgn x x
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(3)取整函数 y=[x]
y
[x]表示不超过 x的最
4
大整数
3
2
-4 -3 -2 -1 1o-11 2 3 4 5 x
x x0
x x0
x x0
此定理给出了怎样利用单侧极限判断函数极限 存在的方法; 特别对分段函数适用.
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例5
设ƒ(x)=|x|
,求
lim
x0
f
( x).
解
因
x
x
x
, x0 , x0
则
f (0 ) lim f ( x) lim x 0,
x0
x0
f (0 ) lim f ( x) lim ( x) 0.
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y 反函数y ( x)
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Q(b, a)
直接函数y f ( x)
o
P(a, b)
x
直接函数与反函数的图形关于直线 y x对称.
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（2）复合函数
例：设 y u, u 1 x2 ,
y 1 x2
定义 2: 设函数 y f (u)的定义域 D f , 而函数 u ( x)的值域为 Z , 若 Df Z , 则称 函数 y f [( x)]为 x的复合函数.
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反余弦函数 y arccos x
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y arccos x
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反正切函数 y arctan x
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y arctan x
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反余切函数 y arccot x
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y arccot x
幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三 角函数统称为基本初等函数.
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4. 初等函数
(1) 幂函数 y x (是常数)
y
y x2
1
y x y x
(1,1)
y 1 x
o1
x
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(2) 指数函数 y a x (a 0, a 1) y ex
y (1)x a
• (0,1)
y ax (a 1)
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(3) 对数函数 y log a x (a 0, a 1) y = lnx
y M
y=f(x)
o
x
有界 X
y M
x0
o
X
x 无界
-M
-M
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（2）函数的单调性:
设函数 f ( x)的定义域为D, 区间I D, 如果对于区间 I 上任意两点 x1及 x2 , 当 x1 x2时, 恒有 (1) f ( x1 ) f ( x2 ),
则称函数 f ( x)在区间I上是单调增加的 ;
y
y f (x) f (x2 )
f (x1)
o
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x1
x2
x
I
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如果对于区间 I 上任意两点 x1及 x2 , 当 x1 x2时, 恒有 (2) f ( x1 ) f ( x2 ), 则称函数 f ( x)在区间 I上是单调减少的;
y
y f (x)
Байду номын сангаас
f (x1)
f (x2 )
y f ( x) ( x 0)的解析表达式.
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思考题1解答
设 1u x
则 f u 1
u
1 1 u2
1
1 u2 , u
故 f ( x) 1 1 x2 . ( x 0) x
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二、函数的极限
领域：设δ是某个正数，称开区间(x0- δ, x0+ δ)为 以为x0中心，以δ为半径的邻域，简称点x0的邻域， 记为U(x0, δ)
余切函数 y cot x
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y cot x
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正割函数 y sec x
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y sec x
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余割函数 y csc x
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y csc x
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(5) 反三角函数 反正弦函数 y arcsin x
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y arcsin x
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例4 (1) lim C C (C为常数); x x0
(2)
lim (ax
x x0
b)
ax0
b;
特别地：lim x x0
x
x0 ,
当n为正整数时, lim x x0
xn
x0n ,
当x0