关于连续小波变换的离散化：
定理：
~，将与 令是一个R _ 小波，其对偶为 1 k ~ 作为基小波，它的连续 小波变换在( j , j )有： 2 2
d j ,k f , j ,k
~ c j ,k f , j ,k
1 k ＝W ( f )( j , j ) 2 2 1 k ＝W , j) ~ ( f )( j 2 2
正交小波的自对偶性：
当是正交小波时，我们有 ： ~ 由f f , j ,k j ,k
j ,k
取f j 0 , k 0 ~ j ,k , j ,k j ,k j ,k
0 0
关于定理的进一步讨论：
~ 中，最重要的是 在小波框架 j ,k 与其对偶 j ,k 双正交性。 ~ , j ,k l ,m j ,l k , m j, k , l , m Z
R_小波的定义：
称小波为一个R _ 小波，若其框架 j ,k 与 ~ 满足： 其对偶
＋ 2
－
e
ijx
ˆ( x) dx j ,0
2
k

ˆ( x 2k ) 1
对几乎处处x成立。
证明：
（2） （3 ）： 定义函数：G ( x ) 1 c j (G ) 2 1 2 1 2 1 2
2 k ijx e G ( x)dx 0
关于连续小波变换的离散化：
则f可以由 {d j ,k }与 {c j ,k }重构。而且： f , g L2 :
~ ,g f , g f , j ,k j ,k
j ,k
开题报告论文答辩
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{ j ,k }是一组基。但不一定是 Riesz基。
定理：
{ j ,k }是Riesz基。 { j ,k }是框架且线性无关。
一些注释：
1. 2.
若ψ是一个框架，则它必是一个二进小 波。 今后，通常取b0=1.
一些注释：
3.
1)
2)
在实际中，我们很难知道T-1的表达方式。从 而求“对偶”框架通常是很困难的。解决的 办法有两种。 加强框架的生成条件。（例如：正交，半正 交条件） 近似。 2 f (t ) f , j ,k j ,k (t ) A B j ,k
等价地， f , j ,k 0, 对于所有的j , k Z 则： f ＝0
f1 f 2
分析：

我们希望的重构方法是：
~ f f , j ,k j ,k
j ,k
分析：

为了保证“重构”方法的稳定性，我们 需要某种“稳定性”条件。
存在0 A B , 对f L2 , A f
j ,k
0
0
~ j0 , k 0
判断小波是否具有正交性的方法：
定理： 对于任意的 L2 , 下列命题等价。 （ 1 ） . { ( x k ), k Z }是规范正交族。 即： ( x k ), ( x l ) k ,l ˆ满足： （2） . 的Fourier 变换 1 2 (3).
j ,k
~ , j ,k l ,m j ,l k , m
j, k , l , m Z
~ ( x) f ( x) c j ,k j ,k ( x) d j ,k j ,k
j ,k j ,k
~ c j ,k f , j ,k d j ,k f , j ,k
~ f f , j ,k j ,k
j ,k
定理的证明思想：
首先，定义一个映射 T , T : L2 L2 , Tf f , j ,k j ,k
j ,k
f L2 ,
由框架的稳定性条件， T是一个有界线性算子。

算子T有如下特点： 1. T是连续算子。 2. T是一一映射。 3. T－1也是连续算子。
2
f , j ,k B f
2

2
则称 j ,k 满足稳定性条件。
框架的定义：
若函数 L2 , 生成的函数序列 j ,k 满足稳定性条件， 则称{ j ,k }是L2上的一个框架。
A, B称为框架界。 若A＝B，则称框架为紧框架。
定理：
~ ， 若 j ,k 是L2上的一个框架，则存在 函数序列 j ,k 使对任意的f L2，有：
j ,k＝2 (2 j t kb0 )
j 2
连续小波离散化后的问题：
1.{d j ,k }是否保留了 f的全部信息。 2.怎样由 {d j ,k }重构f。
分析：

函数可以被其“小波系数”完全表征。
即：如果有 f1 , j ,k f 2 , j ,k , 对于所有的j , k Z 则：
j ,k l ,m j ,l k ,m
若 * j ,k 是 j ,k的对偶，有 f f , j ,k * j ,k
j ,k
~ 取f j0 , k 0 ~
j0 , k 0
0 0

j ,k
0
~ , * j ,k j0 , k 0 j ,k
0
离散小波变换与框架
————对连续小波的完全离散化
对连续小波的离散化处理：
k 定义 : b j ,k j b0 2 对W ( f )(b, a)离散化

j , k Z , b0 0
1 W ( f )(b j ,k , j ) f , j ,k d j ,k 2
其中：
2 2 1 ~ f , j ,k f A 2
对定理的进一步讨论：
~ 也是一个框架。 j ,k ~ 为 的对偶框架。 称
j ,k j ,k
~ 与 互为对偶框架。 j ,k j ,k ~ f f ,

j ,k
j ,k
j ,k
对定理的进一步讨论：
对正交与半正交小波的讨论：
（以下我们讨论的小波被限制在ψ生成的框 架是Riesz基的条件下。）
正交与半正交小波的定义：
(1) 称为正交小波。若其生 成的框架 { j ,k }满足： j ,k , l ,m j ,l k ,m j, k , l , m Z
(2) 称为半正交小波。若其 生成的框架 { j ,k }满足： j ,k , l ,m 0 jl j, k , l , m Z
定理： 令 L2，是一个半正交小波， 通过其Fourier 变换定义： ˆ（） ~ ˆ （）＝ 2 ˆ ( 2k )
k
~ ( x) 2 ~ (2 j x k )}为 的对偶框架。 则{ j ,k j ,k
j 2
证明：
~ 与 具有双正交性。 我们只需证明 j ,k j ,k ~ , 即： j, k , l , m Z
2
第二步：
j ,k
~ , j ,m

2j


j ~ ( 2 j x m)dx ( 2 x k )


~ ( y )dy ( y p )

( y 2 j x m, p k m)
1 2 1 2 1 2
2
演示完毕感谢观看
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ˆ ( )＝

ˆ（） ˆ ( 2k ) ) (
k ˆ（ ） 1 2 2
则： ~ ˆ ( )＝ ˆ

( 2k )
2
ˆ ( ) ＝
k
关于定理的进一步讨论：

对非半正交小波，上述“正交化”过程 是不能成立的。
定理的证明思想：
由T 的存在性，我们有： f T 1Tf T 1 ( f , j ,k j ,k )
j ,k 1
f , j ,k T 1 j ,k
j ,k
, 我们只需要取： 1 ~ T
j ,k
j ,k
对定理的进一步讨论：
~ 也满足稳定性条件 ,且 j ,k 1 f B
ip ~ ˆ ( )d ˆ e ( )
ip e 0
k
~ ˆ ( 2k )d ˆ ( 2 k )

2
ip e d 0
p ,0 k ,m
关于定理的进一步讨论：

定理的证明过程中隐含了把一个半正交 小波变为正交小波的方法。
* ~ j ,k j ,k
下面，我们分两步证明 定理。 第一步 : 证明 ~ , 0
j ,k l ,m
j l时
是半正交，我们有： j ,k , l ,m 0 j l时 ~ } 是{ } 的线性组合， 如果，我们能证明 { j ,k k j ,k k
则第一步证明完成。
进一步，我们只需证明 ： ~ ( x)
k
a (x k)
k

1 取： ak 2
^
2

0
e ikx
j
~ ˆ ( x 2j ) ˆ（）
k

2
dx
~ ˆ＝{a } ˆ 则： k
ˆ ( 2k )



( x k ) ( x l )dx ( y