4)离散小波框架存在冗余性，因此离散参数小波变换仍然 有冗余，但当A=B=1时，离散小波框架就成了L2（R）中的 正交基，信号的离散小波变换就相当于正交分解，称为 正交离散参数小波变换 无冗余变换
3.2.2 离散小波变换的逆变换与重建核问题 1. 离散小波变换的逆变换 如离散小波序列 j , k (t )j , kZ ，构成一个框架，其上、下界分别为 A 和 B ，则 当 A B 时（紧框架） ，由框架概念可知离散小波变换的逆变换为
2 jZ
0
（3.7）
（2）小波框架的性质 1）满足小波框架条件的 j ,k (t ) ，其基本小波 (t ) 必定满足容许性条件。 但是并不是满足容许性条件的小波， 在任意离散间隔Ts 及尺度基数a0 下都满 足小波框架的条件。
~ ~ 2）小波函数的对偶函数 j , k (t ) 2 2 2 j t k 也构成一个框架，其框架的上、 j
R
（3.15b）
将式（3.14）代入式（3.15b）得
WT f ( j0 , k0 ) 1 [WT f ( j, k ) j , k (t )] j0 , k 0 (t )dt A R j k

1 [WT f ( j, k )R j ,k (t ) j0 ,k0 (t )dt] A j k
第三章 离散小波变换
第三章 离散小波变换
3.1 尺度与位移的离散化方法
减小小波变换系数冗余度的做法是将小波基函数 a, (t ) 1 t 的 a , 限
a a
定在一些离散点上取值。 1. 尺度离散化：一种最通常的离散方法就是将尺度按幂级数进行离散化，
B
14.183 7.092 4.728 3.596 3.454 4.221 27.278 13.639 6.870 6.483 20.457 10.279 9.009 27.276 13.690 11.590
B A
1.083 1.083 1.083 1.161 1.726 12.984 1.0002 1.0002 1.015 2.485 1.0000 1.010 1.947 1.0000 1.007 1.758
公式（3.9）可较精确地重构原函数。 2） 3） 4）
a0 一定时， B / A 的值随 增大而增大。
给定一个 a0 值， 只要 足够小， 总可以得到一个近似紧的小波框架。
a0 2 ， 1 时， A B ，不是紧框架。
\
2. 重建核公式 （1）正交性：只有当 A B 1 时，框架 j , k (t ) 变为正交基，此时经框架变 换后的信息无任何冗余。但在其他情况下，框架 j , k (t ) 并不正交，具有一定的 相关性。因此经框架处理后所含的信息是有冗余的。
（3.17）
分析说明： (1) 与连续情况一样，式（3.16）给出任意一点 ( j0 , k0 ) 处小波变换之值与栅 格上其他各点小波变换系数之间的内在联系， 称它为重建核方程， K 称 为重建核，由小波框架本身决定。 (2) 并不是相平面上的任意离散函数 F ( j , k ) 都可看作是某一函数的离散小 波变换，只有它们之间满足（3.16）时才可以被看作为某一函数的离散 小波变换序列。
关于 A、B 与 a0、 ，以及 （） 间的关系的部分结论如下： 如 m, n m, nZ 是一个框架，则框架的上界 A 、下界 B 满足下面的不等式：
A

log a0


( )
2


d B
（3.12）
特别对紧框架有：
A

log a0


( )
2 2 2 2
1
23
1
23
1
23
1
24
1
24
1
24
由表 3.1 可知： 1） 当 a0 2 时，取 0.75; a0 2 时，取 1; a0 3 2 时，取 1 或
a0 4 2 时，取 1; 均可使 A B ，可近似为紧框架。此时采用重建
3. a, (t ) =？ 当 m 增加 1 时，尺度增加一倍，对应的频带减小一半，可见采样频率可以降 低一半，即采样间隔可以增大一倍。因此，如果尺度 m 0 时 的间隔为Ts ，则在 尺度为 2m 时，间隔可取 2m Ts 。此时 a, (t ) 可表示为
1 t 2m n Ts 1 t m n Ts 记作 m , n (t ); 2m 2m 2m 2


下界是 j , k (t ) 框架上、下界的倒数：
1 f A
2 2 1 ~ f , j , k f B j k 2
（3.8）
3)离散参数小波变换具有非收缩时移共变性
若f (t ) W f ( j , k ), 设t0 na0j 0在j尺度上,则 f(t-t0 ) W f ( j , k n).但若j增大,离散间隔 =a0j 0 也将增大,而t0是定值,当到达一定尺度时,t0必定不 再为 的整数倍.此时,设f(t) =f(t-t0 ), 必不存在 k0 Z , 使得W f ( j , k ) W f ( j , k k0 )成立.
A f
2
f , m , n ,
2 m, n
A R
（3.4b）
把（3.4a）和（3.4b）合到一起。我们便得到一个合理的离散小波变换，该小 波变换对所有 f (t ) L2 ( R) 必须满足下述条件：
A f
2
f , m , n B f ;
2 2 m, n
（2）紧框架情况下的小波变换系数的相关性： 将离散小波变换的逆变换公式（3.9）重写如下：
f (t ) 1 WT f ( j, k ) j ,k (t ) A j,k
（3.14）
其中
WTf ( j , k ) f (t ) j , k (t )dt
R
（3.15a）
则
WTf ( j0 , k0 ) f (t ) j0 , k 0 (t )dt
A, B R
（3.4c）
满足式（3.4c）的离散函数序列 m,n ; m, n Z在数学上称为“框架” 。
3.2 小波框架与离散小波变换的逆变换
3.2.1 小波框架 （1）小波框架的定义 当由基本小波 (t ) 经伸缩和位移引出的函数族
j , k (t ) a0 a0 j t kTs ；
（3.10）
则重建公式近似为
~ f (t ) f , j , k (t ) j , k (t )
j
2 WT f ( j, k ) j ,k (t ) A B j,k
（3.11）
逼近误差的范数为
Rf R f A B f A B
由上式可见， A 与 B 愈接近，逼近误差就愈小。 为了保证 j,k 能构成一个重建误差较小的框架就必须对基本小波在 a , 轴上 的采样间隔提出更高要求：a0 不一定等于 2，Ts 也不一定等于 1， 以便于使 A 和 B 接近于相等，可以想像，当尺度间隔愈密，位移间隔 愈小。离散栅格愈接近 于覆盖整个 a 半平面， B / A 就愈接近于 1.
1 ~ f (t ) A1 f , j , k (t ) j , k (t ) WT f ( j, k ) j , k (t ) A j,k j
（3.9）
当 A B ，而 A ， B 比较接近时，作为一阶逼近，可取
~ j , k (t ) 2 j , k (t ) A B
1 [ K ( j0 , k0 ; j, k )WT f ( j, k )] A j k
（3.16）
其中
K ( j0 , k0 ; j , k ) j , k (t ) j0 , k 0 (t )dt j , k (t ), j0 , k 0 (t )
R
2 m, n
一个很小的数，用数学公式来描述：

m ,n
f1 , m,n f 2 , m,n B f1 f 2
2
2
，
B R
也即
f ,
m, n
m, n
B f
2
2
（3.4a）
若要小波系数 f , m,n 稳定的重建 f ，则必须有： 当序列 f1, m, n m, nZ 和 f2 , m, n m, nZ 很接近时，函数 f1 和 f 2 也很接近，即
表 3.1 Marr 小波框架上、下界同 a0 和 之间的关系
a0
2 2 2 2 2 2Fra bibliotek0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 0.25 0.50 1.00 1.50 0.50 1.00 1.50 0.50 1.00 1.50
A
13.091 6.546 4.364 3.223 2.001 0.325 27.273 13.673 6.768 2.609 20.457 10.178 4.629 27.276 13.586 6.594
m 即取 am a0 （ m 为整数，a0 1 ，一般取 a0 2 ） 。如果采用对数坐标，则尺度 a 的
离散取值如图 3.1 所示。
图 3.1 尺度与位移离散方法
2. 位移的离散化：当 a 20 1 时， a, (t ) t 。 （1）通常对 进行均匀离散取值，以覆盖整个时间轴。 （2）要求采样间隔 满足 Nyquist 采样定理，即采样频率大于该尺 度下频率通带的 2 倍。
f (t )
m, nZ
C
m, n
m, n (t ) ？如果可以，系数 Cm,n 如何求？