Abstract: T he design of f init e impulse reponse( F IR) f ilt ers w hich is based on the w indo w funct io n m ay pro duce o scill at ion fo r t he non unif orm converg ence of t he f ilt er, w hich af fect s t he precision of t he f il t er, but im pro vem ent on t he precision need increase t he calculat ion am ount , w hich is unf avorable to the real t im e sy st em. In the paper, t he sequence o f inverse Fo urier t ransfo rmat ion o f w avelet lo w pass f il t ers is mult iplied by t he f ilter pulse sequence, t hus filt ering t he frequency domain sig nal using w av elet filt ers. T his met hod can be used to sm oot h the filt er s tr ansm issio n band and reject hig h f requency com po nent s, t hus reducing t he erro r and im pro ving t he ant i aliasing capacit y of low or der f ilt ers. Key words: wavelet analy sis; f ilt er; ant i aliasing filt ering 用经典的方法设计的滤波器有着许多不尽人 意之处: IIR 滤波器可以用完整的计算公式来设 计, 但它只允许用于规定了幅度响应的场合; 虽然 FIR 滤波器不存在完整的设计方程 , 可以有精确 的线性相位, 但它们都只是对理想滤波器的一种 逼近 , 存在着很大的误差。如果要提高精度, 则计 算量就会成倍地增加 , 这不利于实时系统。 本文用小波改善 F IR 滤波器的设计方案 , 提 供了一种既能提高滤波器的精度, 又能减少计算 量的滤波器设计方法。 近理想滤波器。设理想滤波器的频率响应[ 1, 2] 为
d j j( - ) k∃ Z
第 30 卷 C J 2 k !J 2 k ( t ) 是信号频 率低于
k∃ Z JK ( t ) 是 f 的频 D JK ∀
#H ( e )W( e
j
)d
( 4)
2
- J
2
的成分 , 而 D J f ( t) =
H ( e ) 就是 H d ( e ) 近似形式。 由于随着
k∃ Z
C J 1 k !J 1 k
( 7)
对比图 1a 与图 1b, 可以发现如下 3 种情况 : ( 1) 小波处理后 , FIR 滤波器的通带部分较 平滑 , 原来高频成分波纹被小波过滤掉 , 这样就减 小了误差 , 进一步逼近了理想滤波器。 ( 2) F IR 滤波器 的阻带 部分的 增益 大大减 小, 在对采样信号进行处理时可以作为一个比较
0 0
2
小波滤波器
小波变换对不同的频率在时域上的取样步长
是调节性的, 在低频时频率分辨率较高 , 在高频时 时间分辨率较高, 这说明小波可以作为滤波器来 使用 , 将信号中变化激烈的高频率信号和变化平 稳的低频信号分开。 设输入一 维信号 f ( t ) , 由于物 理分辨 率有 限
[ 3, 4]
sinc
( 3) 过渡带也没有太大的变化。 对情况 2, F IR 滤波器的脉冲序列 h[ n] 和小 波序列 ^ h ( n) 在时域内相乘, 可以认为小波系数序 列^ h ( n) 对 F IR 滤波器的脉冲序列 h[ n] 进行滤 波, 且效果明显 , 原因在于小波系数序列 ^ h ( n) 的 频谱被看成是频域信号的低通滤波器 H 。
!
H d ( ej ) =
n= - !
hd [ n] e- j
n
( 1)
其中 , hd [ n] 是对应的脉冲响序列。然而 ( 1 ) 式是 具有非因果和无限长的脉冲响应。 由 hd [ n] 得到因果 FIR 滤波器的一个方法是 定义一个脉冲响应的新系统, 即 h[ n] = 也可以表示为 h[ n] = hd [ n] W [ n] 1 0∀ n ∀ M W [ n] = 0 其他 ( 3) 式为一个矩形窗。 hd [ n] 0 0∀ n ∀ M 其他 ( 2)
1
FIR 滤波器的窗函数设计方法
窗函数法是用截断理想脉冲响应的办法来逼
( 3)
收稿日期 : 2006 10 27 作者简介 : 谢 颖 : ( 1971- ) , 男 , 安徽肥东人 , 浙江纺织服装职业技术学院讲师 .
624 由调制定理可得 H ( ej ) =
j
合肥工业大学学报( 自然科学版 ) 其中 , C J 2 f ( t ) =
Improvement of FIR filters based on wavelet analysis
XIE Ying 1 ,
V ocat ional and T echnical College, Zh engzh ou 450046, China)
XU Wei2
( 1. M od ern Educat ion Techn ol ogy Cent er, Zh ejiang T ext ile & Fashion Coll ege, N in gbo 315211, Ch ina; 2. D ept . of Comput er, H enan
( 5)
3
小波滤波器改善 FI R 滤波器
X 1 ( l ) X 2 ( ( k - l ) ) N R N ( k) ( 6)
l= 0
将低通滤波器 H 和高通滤波器 G 看成是频 域信号, 对它们进行逆 Fo urier 变换[ 5, 6 ] , 得 h( n) = IDF T [ H ( k) ] ^ ( 12) g ( n) = IDFT [ G ( k) ] ^ ( 13) 用 窗函 数设 计的 F IR 滤波 器 的脉 冲 序列 h[ n] 和小波序列 ^ h ( n) 在时域内相乘 , 即 y ( n) = h[ n] ^ h ( n) ( 14) h ( n) 和 h[ n] 皆为 N 点有限长序列, 则序列 ^ y ( n) 的 Fourier 变换为 Y ( k) = 1 N
图3
采样信号的时域波形及其频谱
采样信号滤波后的频谱, 如图 4 所示。其中 图 4a 为用改造前的经过 F IR 滤波器滤波后的频 谱, 图 4b 是经小波处理后的 F IR 滤波器滤波后 的频谱。
图1 用 hamming 截断的 sin c 低通
H 的波形如图 2 所示 , 由图可知 , ^ h ( n) 作为 滤波器在高频段衰减很快 , 几乎为零, 这是被改造 的 FIR 低通滤波器 为什么在高频部分增益大大 减小的原因。
N- 1
H ^ ( l ) H ( ( k - l) ) N R N ( k) ( 15)
l= 0
圆周卷积的结果相当于小波对 F IR 滤波器 频域信号进行分解, 得到比较平滑的频谱, 但却没 有对 F IR 滤波器的过渡带有过大的影响。 以一 个 长 度 为 23 点 , 截 止 频 率 为 0 = 0 4 rad/ s低通滤波器的脉冲序列为例 , 说明滤波 过程 , 即 h[ n] =
N- 1
其中 , 低通滤波器 H 作用在一个序列 a = { a k } k ∃ Z 的效果为 ( H a) n =
k∃ Z
h k= 2na k
( 10)
高通滤波器 G 作用效果为 ( Ga) n = 确定的镜像滤波器。
k∃ Z
g k= 2n a k
( 11)
其中 , { h k } k ∃ Z 与{ g k } k ∃ Z 是由给定的多分辨率分析
n
0 ∀ n ∀ 22
( 16)
对这个滤波器加 hamm ing 窗后, 其幅频响应 如图 1a 所示。再以 Daubechies 系小波中的 db11 小波的逆 F ourier 变换的系数和滤波器的脉冲序 列相乘, 得到序列幅频响应, 如图 1b 所示。
, 可设为 f ( t) ∃ V j 1 f ( t) = C J 1 f ( t) =
j( - ) j( - )
- )
的不连续点 , 当 W ( e
) 的每 个旁瓣通过不连 ) 的 积分将振荡。使用
续点时 , H d ( e ) W ( e
不突然截断的傅里叶级数可以减轻这种现象, 把 窗函数的两端平滑地减小到零, 可减小旁瓣的高 度, 但是主瓣要加宽 , 并在不连续处的过渡带的宽 度也增大。由于信号中的噪声干扰主要是高频部 分, 在时域是通过设计一个低通滤波器可以滤掉 高频部分 , 即通过对频域的处理达到同样的滤波 效果。 利用时域与频域对称性, 如果在时域有 y( n) = x 1 ( n) x 2 ( n) x 1 ( n) 和 x 2 ( n) 皆为 N 点有限长序列, 则 1 Y ( k) = N 其中 Y ( k) = DF T [ y( n) ] X 1 ( k ) = DFT [ x 1 ( n) ] X 2 ( k ) = DFT [ x 2 ( n) ] 即 时 域序 列 相 乘, 乘 积的 DF T 等 于各 个 DFT 的圆周卷积再乘以 1/ N 。 如果 X 1 ( k ) 表示某一信号, X 2 ( k ) 为一低通 滤波器, 则它们圆周卷积结果就相当于 X 2 ( k ) 对 X 1 ( k ) 滤波, 经过滤波后的 X 1 ( k ) 就表现为一个 比较平滑的信号。