-X 二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.已知二次函数y = α√-2αχ + 3的最大值为4,且该抛物线与A 轴的交点为C ,顶点为D ∙(1) 求该二次函数的解析式及点C , D 的坐标: (2) 点P(ΛO)是X 轴上的动点，① 求IPC - PDl 的最大值及对应的点P 的坐标：② 设0(0,2/)是y 轴上的动点，若线段PQ 与函数y = a ∖x ∖1-2a ∖x ∖+3的图像只有一个 公共点，求f 的取值范围.【答案】(i) y = -χ2+2x + 3, C 点坐标为(0,3),顶点D 的坐标为(1,4)； (2)①最_ 37大值是J∑, P 的坐标为(一 3,0),②,的取值范围为U_3或才Qv3或心?・2 2【解析】 【分析】孕=1,计算对称轴，即顶点坐标为(1, 4),再将两点代 2a入列二元一次方程组求出解析式：(2)根据三角形的三边关系：可知P 、C 、D 三点共线时IPC-PDl 取得最大值，求出直线CD 与X轴的交点坐标，就是此时点P 的坐标；—χ-+ 2Λ"+3, X n 0,, ,此函数是两个二次函数—XJ — 2x + 3, X < 0.的一部分，分三种情况进行计算：①当线段PQ 过点(0, 3 ),即点Q 与点C 重合时，两 图象有一个公共点，当线段PQ 过点(3, 0),即点P 与点(3, 0)重合时，两函数有两 个公共点，写出t 的取值：②线段PQ 与当函数y=a∣x∣2-2a∣×∣+c (x>0)时有一个公共点 时，求t 的值：③当线段PQ 过点(-3, 0),即点P 与点(-3, 0)重合时，线段PQ 与当 函数y=a∣x∣2-2a∣x∣+c (×<0)时也有一个公共点,则当t 冬3时,都满足条件;综合以上结 论，得出t 的取值. 【详解】—2a(I) VX= ・•・y = ax'-ax+3的对称轴为X = 1・ T y = ax 2 -ax + 3人最大值为4,•••抛物线过点(1,4). 得 a-2a+3 = 4, 解得a = -l.•••该二次函数的解析式为y = —X? + 2x + 3.C 点坐标为(0,3),顶点D 的坐标为(1,4). (2) ①.∙ IPC-PDI≤CD,(1)先利用对称轴公式X=(3)先把函数中的绝对值化去，可知y = <.∙.当P,C,D三点在一条直线上时，IPC—PD|取得最大值.连接DC并延长交y轴于点P, IPC-PDI = CD = λ^l2+(4-3)2= √2 •∙,∙∣PC-PD∣的最大值是•易得直线CD的方程为y = χ + 3.把P(t,0)代入，得t=-3.此时对应的点P的坐标为(-3,0).r©y = alxl2-2a|x|+3 的解析式可化为y = ]^x, + ?A + 处≥。

，—X ~ —2x + 3, X V 0.设线段PQ所在直线的方程为y = kx + b,将P(t,O), Q(0,2t)的坐标代入，可得线段PQ所在直线的方程为y = -2x + 2t・(1)当线段PQ过点(-3,0),即点P与点(—3,0)重合时,线段PQ与函数—X 厶+ 2x + 3, Λ,≥ 0,y= , 的图像只有一个公共点，此时t=-3・—X" — 2x + 3, JVV 0.广 .・・・当t≤-3∣⅛,线段PQ与函数y = {-x,+2x + 3,Λ'0,的图像只有一个公共点.—X ~ — 2Λ, + 3, X < 0.(2)当线段PQ过点(0、3),即点Q与点C重合时，线段PQ与函数■ ■)y= -x, + 2x+3,x≥O,的图像只有—个公共点此时t = γ—X — 2x + 3, X < 0. 2当线段PQ过点(3,0),即点P与点(3,0)重合时，t=3,此时线段PQ与函数y = <[-x^+"+H ≥ °，的图像有两个公共点.—x~ — 2x + 3, X V 0. 33 7综上所述，t的取值范围为t≤-3或-≤t<3或t = L3 —X ~ + 2x + 3, % ≥ 0,所以当-≤t<3时，线段PQ与函数y= . 的图像只有一个公共点.2 -X ・_2兀 + 3,XV 0.(3)将y = -2x + 2t 带入y = -x2+2x + 3(x ≥0),并整理，得x?-4x + 2t-3 = 0∙Δ = 16-4(2t-3) = 28-8t.令28-8t=0,解得u?・2■3・・・当t =-时，线段PQ与函数y =]-X.+2X +3,Λ'0,的图像只有一个公共点.2 -x^ —2x÷ 3, X < 0.2 2【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，先利用待左系数法求解析式，同时把最大值与三角形的三边关系联系在一起：同时对于二次函数利用动点求取值问题，从特殊点入手，把函数分成几部分考虑，按自变量从大到小的顺序或从小到大的顺序求解.2.如图，抛物线y=a×2+bx+3(α≠0)的对称轴为直线X= - 1,抛物线交X轴于4、C两点，与直线y=X-I交于人、B两点，直线&3与抛物线的对称轴交于点F.(1)求抛物线的解析式.(2)点P在直线AB上方的抛物线上运动，若AABP的而积最大，求此时点P的坐标.(3)在平而直角坐标系中，以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件点D的坐标.【答案】(l)y= - χ2 - 2x+3： (2)点P(-£, £);⑶符合条件的点D的坐标为Dl(0, 3),2 4D2( - 6, - 3), D3( - 2, - 7).【解析】【分析】(1)令y=0,求出点A的坐标，根据抛物线的对称轴是X=-I,求出点C的坐标，再根据待泄系数法求出抛物线的解析式即可；(2)设点P(m, -m2-2m+3),利用抛物线与直线相交，求岀点B的坐标，过点P作PFll y 轴交直线AB卜点F,利用SAABP=SAPBF+S A MA,用含m的式子表ZF出△ ABP的而枳，利用二次函数的最大值，即可求得点P的坐标；⑶求出点E的坐标，然后求出直线BC、直线BE、直线CE的解析式，再根据以点B、E、C、D 为顶点的四边形是平行四边形，得到直线DID2、直线D1D3.直线D2D3的解析式，即可求出交点坐标.【详解】解：⑴令y=0,可得：X - 1 = 0,解得：x = l,.∙.点A(l, 0),V抛物线y=aχ2+bx+3(aH0啲对称轴为直线X= - 1,.∙. - 1×2 -1=-3,即点C( - 3, 0),・•・抛物线的解析式为:y= - X 2 - 2x+3;(2)∙.∙点P 在直线AB 上方的抛物线上运动,.β.设点 P(m, - m 2 - 2m+3)t•・・抛物线与直线y=x ・1交于A 、B 两点，二点 B( ■ 4, - 5),如图，过点P 作PFIl y 轴交直线AB 于点F, 则点 F(m, m - 1)> .∙. PF=・ m 2 - 2m+3 - m+l= - m 2 ・3m+4,「•S A ABP = SA PBF÷S Δ PFA~- m 2 - 3m+4)(m+4)+- ( - m 2 - 3m+4)(l - m)5 3 125 ——(rπ+ — ) + ------- »2 2 8 3⑶当X=-I 时,y=・1・1=・2,•••点、E(-l, -2),如图，直线BC 的解析式为y=5x+15,直线BE 的解析式为y=X ・1,直线CE 的解析式为y=-X ・ 3,∙.∙以点B 、C 、E 、D 为顶点的四边形是平行四边形，.∙.直线D 1D 3的解析式为y=5x+3,直线D 1D 2的解析式为y=x+3,直线D2D3的解析式为y= ∖=5x + 3 联立<O得6(0, 3),〔y=x + 3同理可得 D 2( - 6, - 3), D 3( - 2, -7),综上所述，符合条件的点D 的坐标为6(0, 3), D 2( - 6, -3), D 3(-2, -7).3.,.-1J m=——时，P 大,2α + b + 3=09α-3b + 3=Oa=_lb=_2y=-x 2 -2x + 3y=x-∖XI = — 4 解得:t,= -5X 2=I儿=03 点P(巧,y本题考查二次函数的综合应用，解决第(2)小题中三角形而积的问题时，找到一条平行或垂直于坐标轴的边是关键：对于第(3)小题，要注意分类讨论、数形结合的运用，不要漏解.3.已知，m,门是一元二次方程x2+4x+3=O的两个实数根，且ImlVin抛物线尸*+bχ+c 的图象经过点A (∏7, O) , B (0, n),如图所示.(1)求这个抛物线的解析式：(2)设(1)中的抛物线与X轴的另一个交点为抛物线的顶点为D,求出点C, D的坐标，并判断△ BCD的形状；(3)点P是直线Be上的一个动点(点P不与点3和点C重合)，过点P作X轴的垂线，交抛物线于点M,点Q在直线8C上，距离点P为J∑个单位长度，设点P的横坐标为r, Δ PMQ的面积为S,求岀S与r之间的函数关系式.备用图【答案】(1))，=十一2兀一3：(2) C (3, 0) , D (1, -4) , Δ BCD是直角三角形;] 3—√ + 2-r(0<r<3)2 2(3)1 3 _『2_二/(『<()或/>3)12 2【解析】试题分析：（2）先解一元二次方程，然后用待泄系数法求出抛物线解析式；（2）先解方程求出抛物线与X轴的交点，再判断出ABOC和ABED都是等腰直角三角形, 从而得到结论：（3）先求出QF=I,再分两种情况，当点P在点M上方和下方，分别计算即可.试题解析：解（I）••・X+4x + 3 = 0,・••召=一1,欠2=一3, Vm, n是一元二次方程χ4 5+4x + 3 = 0 的两个实数根，且∣m∣<∣n∣, Λm=-1, n= - 3, T 抛物线y = F-2x-31 — Z? +C = O b = —2的图彖经过点A (m, 0) , B (0, n),.∙∙{ O , ••・{ c，・•・抛物线解析式为C = _3 c = _3y = x2 -2x-3 ；(2)令y=0,则χ2-2χ-3 = 0,・•・片=一1，召=3, .∙.C(3, 0),∙.∙ y = F-2x-3=(兀一1)2-4, .•.顶点坐标D (1, -4),过点D 作DE丄y 轴，β.∙ OB=OC=3, /. BE=DE=I, .β. Δ BOC 和△ BED 都是等腰直角三角形,.β. Z OBC=Z DBE=45∖・•・Z CBD=90% A △ BCD是直角三角形：(3)如图，■/ B (0, -3) , C (3, O) , A直线BC解析式为y=χ-3, T点P的横坐标为t, PM丄X轴，.∙.点M的横坐标为t, •••点P在直线BC上，点M在抛物线上，.∙. P (t, t-3) , M (t,尸一力一3),过点Q作QF丄PM, .∙. △ PQF是等腰直角三角形，TPQ=√Σ ，・∙∙QF=1 ・①当点P 在点M 上方时，即0VtV3 时，PM=t - 3 - (t2-2t-3)=-r+3/«1] ] = 3/. S= - PMxQF= -(-t2+3t) = --t2+-t,②如图3,当点P 在点M 下方时,即tVO 或t2 2 2 2Il 1 3>3时，PM=?-2r-3 - (t-3) =r2-3r» A S=-PM×QF=-(r-3t)=-r--r.J 2 2 ' 2 24 3--z2+L,z(0<r<3)综上所述，s={ / Z5f2~2t (HO或03)4・已知关于X 的一元二次方程X 2・(2∕c÷l ) X^=O 有两个实数根. (1)求k 的取值范围：1 1 1⑵设“沁方程两根，且亍厂□,求k 的值.【解析】 【分析】(1) 根据方程有两个实数根可以得到AR,从而求得k 的取值范围：(2)利用根与系数 的关系将两根之和和两根之积代入代数式求k 的值即可. 【详解】解：(1) △ = (2∕c+l) 2 - 4∕C 2 = 4∕C 2+4∕C +1 - 4∕c 2=4∕c+lT △ ≥0/. 4∕c+l≥0 .,.∕c≥ ■—:4 ⑵∙.∙X1, X2是方程两根, /. X1+X2 = 2∕C +1Xl×2 = k 2 91 1 I又• • — + —= -----・ X lx 2k _ 1X 1 + x 2 _1k_r19 k + ∖解得：k l = -ι + G k _2 ・ 2【答案】 (1)1k≥-—4【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根的判別式等知识，牢记"两根之和等 于-匕，两根之积等于E 〃是解题的关键.aa5・在平而直角坐标系中，我们泄义直线尸ax ∙a 为抛物线y=a×6 7 8÷bx+c (a 、b 、C 为常数， a≠0)的"衍生直线"：有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y 轴上的三角形为其"衍生三角形已知抛物线y =+ 与其"衍生直线"交于A 、B 两点(点A在点B 的左侧)，与X 轴负半轴交于点C.(2) N 点的坐标为(0, 2√3-3) > (O, 2√3+3):(3) E (-1,)、F (0,)或 E (-1,) , F (-4, 12^ )3333【解析】 【分析】(I) 由抛物线的"衍生直线”知道二次函数解析式的a 即可；(2)过A 作AD 丄y 轴于点 D ∙贝IJ 可知AN=AC,结合A 点坐标，则可求出ON 的长，可求出N 点的坐标；(3)分别讨6 填空：该抛物线的“衍生直线〃的解析式为 _______ ，点A 的坐标为 _________ ,点B 的坐标为 ______ ;7如图，点Ivl 为线段CB ±一动点,将AACM 以AM 所在直线为对称轴翻折，点C 的 对称点为N,若AAMN 为该抛物线的"衍生三角形”，求点N 的坐标： 8当点E 在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的"衍生直线"上，是否存在点F,使 得以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E 、F 的坐标； 若不存在，请说明理由.【答案】 (1)y=_又∙.∙Q ∖23论当AC 为平行四边形的边时，当AC 为平行四边形的对角线时，求岀满足条件的E 、F 坐 标即可 【详解】yKχ+迹33AA (2 2√3)，B(1,0):(2)如图1,过A 作AD 丄y 轴于点D,在y = -班F 一空γ + 2 中，令y=o 可求得X= -3或x=l, 3 3AC (-X0) t 且 A (-2, 2√3), ・•・ AC= √(-2+3)2+ (2√3)2=√13 由翻折的性质可知AN=AC=√fJ, ∙.∙ △ AMN 为该抛物线的"衍生三角形", ・・・N 在y 轴上，且AD 二2, 在Rt ∆ AND 中，由勾股左理可得DN= √AN 2-AD 2=√TT4=3，V OD=2√3，∙∙∙ ON=2√3-3 或 ON= 2√J+3,∙∙∙N 点的坐标为(0, 2√3-3) , (0, 2石+3)：图】(3)①当AC 为平行四边形的边时，如图2,过F 作对称轴的垂线FH,过A 作AK 丄X 轴于点K,则有ACIl EF 且AC=EF,・•・ Z ACK=Z EFH,在厶ACK 和厶EFH 中ZACK=ZEFH < ZAKC=ZEHF AC=EF•・•・△ ACK 旻△ EFH,⑴.，李一也亍+ 2憑一攀则抛物线的”衍生直线啲解析式为联立两解析式求交点＜ 2√3 r 4√3y =------ Jr ------- x + “3 3 2√3 2√3 y= ------- x + -----2√3,解得V x=-2 y=2√J 込［y=θ'x=l.β. FH=CK=I t HE=AK= 2√3>•••抛物线的对称轴为el,∙∙∙ F点的横坐标为O或-2,T点F在直线AB上，•••当F点的横坐标为O时，则F (0, ±5),此时点E在直线AB下方,3.∙. E到y轴的距离为EH-OF=2√3--= ，即E的纵坐标为-土匕,当F点的横坐标为-2时，则F与A重合，不合题意，舍去:②当AC为平行四边形的对角线时，•・• C (-3z0),且A (2 2√3) >.∙.线段AC的中点坐标为(-2.5, √3)，设E (√L, t) , F (x, y),则x-l=2× (-2.5) , y+t=2>∕J,.∙.x=4 y=2>∕3-t»综上可知存在满足条件的点F,此时E (・1, ■士返)、(0, 迹)或E (・4【点睛】本题是对二次函数的综合知识考査，熟练掌握二次函数，几何图形及辅助线方法是解决本 题的关键，属于压轴题6. 某商场购进一批单价为4元的日用品.若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万 件：若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假泄每月销售件数y （件）与价格X （元/件）之间满足一次函数关系.（1）试求y 与X 之间的函数关系式； （2） 当销售价格左为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？【答案】（1） Y = -IOOOOx+ 80000 （2）当销售价格圧为6元时，每月的利润最大，每月 的最大利润为40000元【解析】解：（1）由题意,可设y=kx÷b,・・・y 与X 之间的关系式为：y = -10000x+ 80000 .(2)设利润为W,则W = (x-4)(-K)OOoX+80000) = —IOooo(X2-12x + 32) =-K)OOO(X —6)，+40000,・・・当x=6时，W 取得最大值，最大值为40000元。