目 录2.1 由比例线段产生的函数关系问题例1 2012年上海市徐汇区中考模拟第25题例2 2012年连云港市中考第26题例3 2010年上海市中考第25题例1 2012年上海市徐汇区中考模拟第25题在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，53sin B ，⊙B 的半径长为1，⊙B 交边CB 于点P ，点O 是边AB 上的动点．（1）如图1，将⊙B 绕点P 旋转180°得到⊙M ，请判断⊙M 与直线AB 的位置关系；（2）如图2，在（1）的条件下，当△OMP 是等腰三角形时，求OA 的长；（3）如图3，点N 是边BC 上的动点，如果以NB 为半径的⊙N 和以OA 为半径的⊙O 外切，设NB ＝y ，OA ＝x ，求y 关于x 的函数关系式及定义域．图1 图2 图3动感体验请打开几何画板文件名“12徐汇25”，拖动点O 在AB 上运动，观察△OMP 的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系，可以体验到，点O 和点P 可以落在对边的垂直平分线上，点M 不能．请打开超级画板文件名“12徐汇25”， 分别点击“等腰”按钮的左部和中部，观察三个角度的大小，可得两种等腰的情形．点击“相切”按钮，可得y 关于x 的函数关系． 思路点拨1．∠B 的三角比反复用到，注意对应关系，防止错乱．2．分三种情况探究等腰△OMP ，各种情况都有各自特殊的位置关系，用几何说理的方法比较简单．3．探求y 关于x 的函数关系式，作△OBN 的边OB 上的高，把△OBN 分割为两个具有公共直角边的直角三角形．满分解答（1） 在Rt △ABC 中，AC ＝6，53sin =B ， 所以AB ＝10，BC ＝8． 过点M 作MD ⊥AB ，垂足为D ． 在Rt △BMD 中，BM ＝2，3sin 5MD B BM ==，所以65MD =． 因此MD ＞MP ，⊙M 与直线AB 相离． 图4（2）①如图4，MO ≥MD ＞MP ，因此不存在MO ＝MP 的情况．②如图5，当PM ＝PO 时，又因为PB ＝PO ，因此△BOM 是直角三角形．在Rt △BOM 中，BM ＝2，4cos 5BO B BM ==，所以85BO =．此时425OA =． ③如图6，当OM ＝OP 时，设底边MP 对应的高为OE ．在Rt △BOE 中，BE ＝32，4cos 5BE B BO ==，所以158BO =．此时658OA =．图5 图6（3）如图7，过点N 作NF ⊥AB ，垂足为F ．联结ON ．当两圆外切时，半径和等于圆心距，所以ON ＝x ＋y ．在Rt △BNF 中，BN ＝y ，3sin 5B =，4cos 5B =，所以35NF y =，45BF y =． 在Rt △ONF 中，4105OF AB AO BF x y =--=--，由勾股定理得ON 2＝OF 2＋NF 2． 于是得到22243()(10)()55x y x y y +=--+． 整理，得2505040x y x -=+．定义域为0＜x ＜5．图7 图8考点伸展第（2）题也可以这样思考：如图8，在Rt △BMF 中，BM ＝2，65MF =，85BF =．在Rt △OMF 中，OF ＝8421055x x --=-，所以222426()()55OM x =-+． 在Rt △BPQ 中，BP ＝1，35PQ =，45BQ =． 在Rt △OPQ 中，OF ＝4461055x x --=-，所以222463()()55OP x =-+． ①当MO ＝MP ＝1时，方程22426()()155x -+=没有实数根． ②当PO ＝PM ＝1时，解方程22463()()155x -+=，可得425x OA == ③当OM ＝OP 时，解方程22426()()55x -+22463()()55x =-+，可得658x OA ==．例2 2012年连云港市中考第26题如图1，甲、乙两人分别从A 、B 两点同时出发，点O 为坐标原点．甲沿AO 方向、乙沿BO 方向均以每小时4千米的速度行走，t 小时后，甲到达M 点，乙到达N 点．（1）请说明甲、乙两人到达点O 前，MN 与AB 不可能平行；（2）当t 为何值时，△OMN ∽△OBA ？（3）甲、乙两人之间的距离为MN 的长．设s ＝MN 2，求s与t 之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值． 图1动感体验请打开几何画板文件名“12连云港26”，拖动点N 在射线BO 上运动，可以体验到，当M 、N 都在O 右侧时，MN 与AB 不平行．当点A 落在¼MNB 上时，∠MNO ＝∠BAO ，△OMN∽△OBA ．请打开超级画板文件名“12连云港26”，拖动点N 在射线BO 上运动，可以体验到，当M 、N 都在O 右侧时，MN 与AB 不平行．当点A 落在¼MNB 上时，∠MNO ＝∠BAO ，△OMN∽△OBA ．s 与t 之间的函数关系式呈抛物线图象，当t ＝1时，甲、乙两人的最小距离为12千米．答案 （1）当M 、N 都在O 右侧时，24122OM t t OA -==-，642163ON t t OB -==-， 所以OM ON OA OB≠．因此MN 与AB 不平行． （2）①如图2，当M 、N 都在O 右侧时，∠OMN ＞∠B ，不可能△OMN ∽△OBA ． ②如图3，当M 在O 左侧、N 在O 右侧时，∠MON ＞∠BOA ，不可能△OMN ∽△OBA ．③如图4，当M 、N 都在O 左侧时，如果△OMN ∽△OBA ，那么ON OA OM OB=． 所以462426t t -=-．解得t ＝2．图2 图3 图4（3）①如图2，24OM t =-，12OH t =-，3(12)MH t =-．(64)(12)52NH ON OH t t t =-=---=-．②如图3，42OM t =-，21OH t =-，3(21)MH t =-．(64)(21)52NH ON OH t t t =+=-+-=-．③如图4，42OM t =-，21OH t =-，3(21)MH t =-．(21)(46)52NH OH ON t t t =-=---=-．综合①、②、③，s 222MN MH NH ==+22223(21)(52)16322816(1)12t t t t t ⎤=-+-=-+=-+⎦． 所以当t ＝1时，甲、乙两人的最小距离为12千米． 例3 2011年上海市中考第25题在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝30，AB ＝50．点P 是AB 边上任意一点，直线PE ⊥AB ，与边AC 或BC 相交于E ．点M 在线段AP 上，点N 在线段BP 上，EM ＝EN ，12sin 13EMP ∠=． （1）如图1，当点E 与点C 重合时，求CM 的长；（2）如图2，当点E 在边AC 上时，点E 不与点A 、C 重合，设AP ＝x ，BN ＝y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）若△AME ∽△ENB （△AME 的顶点A 、M 、E 分别与△ENB 的顶点E 、N 、B 对应），求AP 的长．图1 图2 备用图动感体验请打开几何画板文件名“11上海25”，拖动点P 在AB 上运动，从图象中可以看到，y 是x 的一次函数．观察图形和角度的度量值，可以体验到，点E 在AC 和BC 上，各存在一个时刻，△AME ∽△ENB ．请打开超级画板文件名“11上海25”，拖动点P 在AB 上运动，当点E 与点C 重合时， 26CM =．点E 在边AC 上时，y 是x 的一次函数．当AP=42时，三角形相似，且满足顶点对应。

思路点拨1．本题不难找到解题思路，难在运算相当繁琐．反复解直角三角形，注意对应关系．2．备用图暗示了第（3）题要分类讨论，点E 在BC 上的图形画在备用图中．3．第（3）题当E 在BC 上时，重新设BP ＝m 可以使得运算简便一些． 满分解答（1）在Rt △ABC 中，BC ＝30，AB ＝50，所以AC ＝40，3sin 5A ∠=，3tan 4A ∠=． 在Rt △ACP 中，3sin 40245CP AC A =⋅∠=⨯=． 在Rt △CMP 中，因为12sin 13CP CMP CM ∠==，所以131324261212CM CP ==⨯=． （2）在Rt △AEP 中，3tan 4EP AP A x =⋅∠=． 在Rt △E MP 中，因为12sin 13EP EMP EM ∠==，所以12tan 5EP EMP MP ∠==．因此55351212416MP EP x x==⨯=，13133131212416EM EP x x==⨯=．已知EM＝EN，PE⊥AB，所以MP＝NP516x=．于是52150501616y BN AB AP NP x x x==--=--=-．定义域为0＜x＜32．（3）①如图3，当E在AC上时，由AM ENME NB=，得51316161321501616x x xx x-=-．解得x＝AP＝22．②如图4，当E在BC上时，设BP＝m，那么AP＝50－m．在Rt△BEP中，43EP m=．在Rt△EMP中，5545121239MP EP m m==⨯=，131313412129EM EP m m==⨯=．所以514505099AM AB BP MP m m m=--=--=-，54599BN BP NP m m m=-=-=．这时由AM ENME NB=，得1413509913499m mm m-=．解得m＝BP＝8．所以AP＝50－m＝42．图3 图4 图5考点伸展如果第（3）题没有条件“△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应”，那么还存在图5所示的一种情况，∠EAM＝∠EBN，此时PE垂直平分AB，AP＝25．。