江苏省南京市2003年中考试卷一、选择题（每小题2分，共30分） 1．计算12－的结果是（ ）．A ．－2B ．2C ．21－D ．212．如果a 与－3互为相反数，那么a 等于（ ）． A ．3 B ．－3 C ．31 D ．31-3．计算32)(a 的结果是（ ）．A ．5a B ．6a C ．8a D ．9a 4．已知⎩⎨⎧1,2＝＝y x 是方程kx －y ＝3的解，那么k 的值是（ ）． A ．2 B ．－2 C ．1 D ．－1 5．如果2)2(2－＝－x x ，那么x 的取值范围是（ ）． A ．x ≤2 B ．x ＜2 C ．x ≥2 D ．x ＞26．如果一元二次方程0232＝－x x 的两个根是1x ，2x ，那么21x x ⋅等于（ ）．A ．2B ．0C ．32 D ．32－ 7．抛物线11)(y 2＋－＝x 的顶点坐标是（ ）．A ．（1，1）B ．（－1，1）C ．（1，－1）D ．（－1，－1）8．观察下列“风车”的平面图案：其中是中心对称图形的有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 9．在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝1，那么cot B 等于（ ）． A ．3 B ．2 C ．1 D ．3310．在比例尺是1∶38000的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约7 cm ，它的实际长度约为（ ）．A ．0.266 kmB ．2.66 kmC ．26.6 kmD ．266 km11．用换元法解方程xx x x ＋＝＋＋2221，如果设y x x ＝＋2，那么原方程可变形为（ ）． A ．022＝＋＋y y B ．022＝--y yC ．022＝＋y y -D ．022＝＋-y y12．如图，AB 是⊙O 的直径，P 是AB 延长线上的一点，PC 切⊙O 于点C ，PC ＝3，PB ＝1，则⊙O 的半径等于（ ）．A ．25 B ．3 C ．4 D ．2913．正方形ABCD 的边长是2 cm ，以直线AB 为轴旋转一周，所得到的圆柱的侧面积为（ ）． A ．16π2cm B ．8π2cm C ．4π2cm D ．42cm14．一根1 m 长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，第六次后剩下的绳子的长度为（ ）． A ．m )21(3B ．m )21(5C ．m )21(6D ．m )21(1215．如图，一张矩形报纸ABCD 的长AB ＝a cm ，宽BC ＝b cm ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，将这张报纸沿着直线EF 对折后，矩形AEFD 的长与宽之比等于矩形ABCD 的长与宽之比，则a ∶b 等于（ ）．A ．1:2B ．2:1C ．1:3D ．3:1二、填空题（每小题2分，共10分） 16．4的平方根是________． 17．计算＝＋82________．18．在实数范围内分解因式：＝＋－3322x x ________．19．如图，正六边形DEFGHI 的顶点都在边长为6 cm 的正三角形ABC 的边上，则这个正六边形的边长是________ cm ．20．如图，⊙O 的两条弦AB 、CD 相交于点P ，PD ＝2PB ，PC ＝2 cm ，则P A ＝________ cm ．三、（每小题5分，共25分）21．计算)(22abb a a ab a －－÷． 22．解方程组⎩⎨⎧.122,02＝＋＝－xy x y x23．已知二次函数22－＝ax y 的图象经过点（1，－1）．求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与x 轴的交点的个数．24．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ．求证：（1）△BDE ≌△CDF ；（2）∠A ＝90°时，四边形AEDF 是正方形．25．一定质量的氧气，它的密度ρ（3kg/m ）是它的体积V （3m ）的反比例函数，当V＝10 3m 时，3kg/m 1.43＝ρ． （1）求ρ与V 的函数关系式； （2）求当3m 2＝V 时氧气的密度ρ．四、（每小题5分，共10分） 26．一个长方形足球场的长为x m ，宽为70 m ．如果它的周长大于350 m ，面积小于75602m ，求x 的取值范围，并判断这个球场是否可以用作国际足球比赛．（注：用于国际比赛的足球场的长在100 m 到110 m 之间，宽在64 m 到75 m 之间．）27．公交508路总站设在一居民小区附近．为了了解高峰时段从总站乘车出行的人数，随机抽查了10个班次的乘车人数，结果如下：20 23 26 25 29 28 30 25 21 23（1）计算这10个班次乘车人数的平均数；（2）如果在高峰时段从总站共发车60个班次，根据上面的计算结果，估计在高峰时段从总站乘该路车出行的乘客共有多少人．五、（本题7分）28．如图，∠POQ＝90°，边长为2 cm的正方形ABCD的顶点B在OP上，C在OQ 上，且∠OBC＝30°，分别求点A、D到OP的距离．六、（第29题6分，第30题8分，共14分）29．只利用一把有刻度的直尺，用度量的方法，按下列要求画图：（1）在图（1）中用下面的方法画等腰三角形ABC的对称轴；(1)①量出底边BC的长度，将线段BC二等分，即画出BC的中点D；②画直线AD，即画出等腰三角形ABC的对称轴．（2）在图（2）中画∠AOB的对称轴，并写出画图的方法．(2)30．阅读下面材料：对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖．对于平面图形A，如果存在两个或两个以上的圆，使图形A上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这些圆所覆盖．例如：图（1）中的三角形被一个圆所覆盖，图（2）中的四边形被两个圆所覆盖．回答下列问题：（1） （2）（1）边长为1 cm 的正方形被一个半径为r 的圆所覆盖，r 的最小值是________ cm ； （2）边长为1 cm 的等边三角形被一个半径为r 的圆所覆盖，r 的最小值是________ cm ； （3）长为2 cm ，宽为1 cm 的矩形被两个半径都为r 的圆所覆盖，r 的最小值是________ cm ，这两个圆的圆心距是________ cm ．七、（本题7分）31．某灯具店采购了一批某种型号的节能灯，共用去400元，在搬运过程中不慎打碎了5盏，该店把余下的灯每盏加价4元全部售出，然后用所得的钱又采购了一批这种节能灯，且进价与上次相同，但购买的数量比上次多了9盏．求每盏灯的进价．八、（本题8分） 32．如图，直线434＋＝x y -与x 轴、y 轴分别交于点M 、N ．（1）求M 、N 两点的坐标；（2）如果点P 在坐标轴上，以点P 为圆心，512为半径的圆与直线434＋＝x y -相切，求点P 的坐标．九、（本题9分）33．如图，⊙O 与⊙O ′相交于A 、B 两点，点O 在⊙O ′上，⊙O ′的弦OC 交AB 于点D ．（1）求证：OD OC OA ⋅＝2；（2）如果OC BC AC 3＝＋，⊙O 的半径为r ．求证：r AB 3＝参考答案一、选择题（每小题2分，共30分）1．D 2．A 3．B 4．A 5．C 6．B 7．A 8．B 9．C 10．B 11．D 12．C 13．B 14．C 15．A二、填空题（每小题2分，共10分）16．±2 17．23 18．2)3(－x 19．2 20．4三、（每小题5分，共25分） 21．（本题5分）解：原式abb a a b a a 222)(－－＝÷………………………………………………………2分 ))(()(2b a b a aba b a a －＋－＝⋅…………………………………………………4分 ba b＋＝．………………………………………………………………………5分 22．（本题5分）解：由①，得y ＝x ．③把③代入②,得12222＝＋x x .……………………………………………………………1分 解得 2±＝x .……………………………………………………………………………3分当x ＝2时，y ＝2．当x ＝－2时，y ＝－2． ∴ 原方程组的解是⎩⎨⎧,2,211＝＝y x ⎩⎨⎧--.2,222＝＝y x ………………………………………………5分 23．（本题5分）解：根据题意，得a －2＝－1. ………………………………………………………………………………1分∴ a ＝1．………………………………………………………………………………2分∴ 这个二次函数解析式是22-x y ＝．……………………………………………3分 因为这个二次函数图象的开口向上，顶点坐标是（0，－2），所以该函数图象与x 轴有两个交点．……………………………………………………………………………………5分 24．（本题5分）（1）证明：∵ AB ＝AC ，∴ ∠B ＝∠C ．………………………………………1分 ∵ DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴ ∠BED ＝∠CFD ＝90°．…………………………………………………………2分 ∵ BD ＝CD ，∴ △BED ≌△CFD ．………………………………………………3分 （2）∵ ∠AED ＝∠AFD ＝∠A ＝90°，∴ 四边形AEDF 是矩形．……………………………………………………………4分 ∵ △BED ≌△CFD ，∴ DE ＝DF ．∴ 四边形AEDF 是正方形．…………………………………………………………5分 25．（本题5分）解：（1）设Vk＝ρ．……………………………………………………………………1分 当3m 10=V 时，3kg/m 43.1＝ρ． ∴ 1043.1k＝∴ 3.14=k ．………………………………………………………2分 ∴ ρ与V 的函数关系式是V 3.14＝ρ…………………………………………………3分（2）当3m 2=V 时，15.723.14=＝ρ（3kg/m ）． ∴ 当3m 2=V 时，氧气的密度为3kg/m 7.15．……………………………………5分 四、（每小题5分，共10分） 26．（本题5分） 解：根据题意，得…………………………………………………………………2分解①，得x ＞105．解②，得x ＜108．∴ 105＜x ＜108．………………………………………………………………………4分 ∴ 这个球场可以用作国际足球比赛．………………………………………………5分27．（本题5分）解：（1）)2405340125(10125－－＋＋＋＋＋＋－－+=x ＝25（人）．…………………………………………………………………2分 ∴ 这10个班次乘车人数的平均数是25人．…………………………………………3分 （2）60×25＝1500（人）．………………………………………………………………4分 ∴ 估计在高峰时段从总站乘该路车出行的乘客共有1500人．……………………5分 五、（本题7分）28．解：过点A 、D 分别作AE ⊥OP ，DF ⊥OP ，DG ⊥OQ ，垂足分别为E 、F 、G ． …………………………………………………………………………………………………1分 在正方形ABCD 中，∠ABC ＝∠BCD ＝90°． ∵ ∠OBC ＝30°，∴ ∠ABE ＝60°． 在Rt △AEB 中， 323260sin ＝＝⋅⋅︒=AB AE （cm ）．……………………………………………3分 ∵ 四边形DFOG 是矩形，∴ DF ＝GO ． ∵ ∠OBC ＝30°，∴ ∠BCO ＝60°． ∴ ∠DCG ＝30°．在Rt △DCG 中，323230cos ＝＝⋅⋅︒=CD CG （cm ）……………………………………………5分在Rt △BOC 中，121＝＝BC OC （cm ）．……………………………………………6分 ∴ )13(+＝＋＝＝CG OC GO DF cm ．答：点A 到OP 的距离为3cm ，点D 到OP 的距离为（13＋）cm ．……………7分 六、（第29题6分，第30题8分，共14分） 29．（本题6分）（1）画图正确；…………………………………………………………………………2分 （2）画图正确．…………………………………………………………………………4分 画图方法：①利用有刻度的直尺，在∠AOB 的边OA 、OB 上分别截取OC 、OD ，使OC ＝OD ．②连结CD ，量出CD 的长，将线段CD 二等分，画出线段CD 的中点E ．③画直线OE ．直线OE 即为∠AOB 的对称轴．……………………………………6分 30．（本题7分） （1）22；………………………………………………………………………………2分 （2）33；………………………………………………………………………………4分 （3）22，1．………………………………………………………………………… 8分 七、（本题7分）31．解：设每盏灯的进价为x 元．………………………………………………………1分根据题意，得x x x95)5400(4＝－－．…………………………………………………4分 解这个方程，得101＝x ，7802＝－x ．…………………………………………………6分 经检验，这两个根都是原方程的根，但进价不能为负数，所以只取x ＝10.答：每盏灯的进价为10元．……………………………………………………………7分 八、（本题8分）32．解：（1）当x ＝0时，y ＝4．当y ＝0时，0434＝＋－x ．∴ x ＝3．∴ M （3，0），N （0，4）．……………………………………………………………2分 （2）①当1P 点在y 轴上，并且在N 点的下方时，设⊙1P 与直线434＋＝－x y 相切于点A ，连结A P 1，则A P 1⊥MN ．∴ ︒∠∠901＝＝MON AN P ∵ M N O NA P ∠∠＝1，∴ AN P 1∆∽MON ∆．∴MNN P MO A P 11＝． 在Rt △OMN 中，OM ＝3，ON ＝4，∴ MN ＝5． 又∵ 5121＝A P ，∴ 41＝N P ． ∴ 1P 点坐标是（0，0）．………………………………………………………………3分 ②当2P 点在x 轴上，并且在M 点的左侧时，同理可得2P 点坐标是（0，0）．……4分 ③当3P 点在x 轴上，并且在M 点的右侧时，设⊙3P 与直线434＋＝－x y 相切于点B ，连结B P 3，则B P 3⊥MN ． ∴ OA ∥B P 3．∵ OA ＝B P 3，∴ 33==OM M P ．∴ 63＝OP ．∴ 3P 点坐标是（6，0）．……………………………………………6分 ④当4P 点在y 轴上，并且在点N 上方时，同理可得44＝＝ON N P ．∴ 84＝OP ．∴4P 点坐标是（0，8）．综上，P 点坐标是（0，0），（6，0），（0，8）．………………………………………8分 九、（本题9分） 33．证明：（1）连结OB ．∵ OA ＝OB ，∴ ∠OAB ＝∠OBA ． ∵ ∠OCA ＝∠OBA ，∴ ∠OAB ＝∠OCA ．……………………………………………………………………1分 ∵ ∠AOC ＝∠DOA ，∴ △AOC ∽△DOA ．……………………………………………………………………2分∴OAOC OD OA ＝．∴ OD OC OA ⋅＝2．……………………………………………3分 （2）∵ △AOC ∽△DOA ，∴OA OCDA AC ＝．∴ OADA OC AC ＝．…………………………………………………5分 同理可得OBDB OC BC ＝．……………………………………………………………………6分 ∴ OB DB OA DA OC BC OC AC ＋＝＋，即 OAABOC BC AC ＝＋． ………………… 7分∵ OC BC AC 3＝＋，OA ＝r ，∴ r AB 3＝．…………………………………………………………………………9分。