切线长定理和三角形的内切圆知识点1切线长定理1.如图24-2-36,PA,PB分别切☉O于A,B两点,如果∠P=60°,PA=2,那么AB的长为()图24-2-36A.1B.2C.3D.42.如图24-2-37是用一把直尺、含60°角的三角尺和光盘摆放而成的,A为60°角与直尺的交点,B为光盘与直尺的唯一交点.若AB=3,则光盘的直径是()图24-2-37A.6√3B.3√3C.6D.33.如图24-2-38,PA,PB分别切☉O于点A,B,MN切☉O于点C,分别交PA,PB于点M,N.若PA=7.5 cm,则△PMN的周长是()图24-2-38A.7.5 cmB.10 cmC.12.5 cmD.15 cm4.如图24-2-39,PA,PB,CD分别切☉O于点A,B,E,CD分别交PA,PB于C,D两点.若∠P=40°,则∠PAE+∠PBE的度数为()A.50°B.62°C.66°D.70°图24-2-39图24-2-405.[2019·盐城阜宁期中]如图24-2-40,☉O为△ABC的内切圆,AC=10,AB=8,BC=9,D,E分别为BC,AC上的点,且DE为☉O的切线,则△CDE的周长为()A.9B.7C.11D.86.如图24-2-41,PA,PB分别切☉O于点A,B,连接PO与☉O相交于点C,连接AC,BC.求证:AC=BC.图24-2-417.如图24-2-42所示,P为☉O外一点,PA,PB为☉O的切线,A,B为切点,AC为☉O的直径,PO 交☉O于点E.(1)试判断∠APB与∠BAC的数量关系,并说明理由.(2)若☉O的半径为4,P是☉O外一动点,是否存在点P,使四边形PAOB为正方形?若存在,请求出PO的长,并判断点P的个数及其满足的条件;若不存在,请说明理由.图24-2-42知识点2三角形的内切圆与内心8.三角形的内心是 ()A.三边垂直平分线的交点B.三条角平分线的交点C.三条高所在直线的交点D.三条中线的交点9.[2020·随州]如图24-2-43,设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h,r,R,则下列结论不正确的是()图24-2-43A.h=R+rB.R=2rC.r=√34a D.R=√33a10.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著.书中有下列问题“今有勾八步,股十五步,问勾中容圆径几何.”其意思是:“如图24-2-44,今有直角三角形,勾(短直角边)长为8步,股(长直角边)长为15步,问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少.”其结果为()图24-2-44A.3步B.5步C.6步D.8步11.如图24-2-45,☉I是△ABC的内切圆,与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F,∠DEF=50°,求∠A 的度数.图24-2-4512.如图24-2-46,在△ABC中,边AC上有一点D满足CD=2AD,点O是△BDC的内心,E,F分别为☉O与边BD,CD的切点,已知BD=BC.(1)求证:①AE⊥EF;②AE∥DO.(2)若AC=6,☉O的半径为1,求AE的长.图24-2-46能力拓展提升13.联想三角形内心的概念,我们可引出如下概念.定义:到三角形的两边距离相等的点,叫做此三角形的准内心.举例:如图24-2-47①,若PD=PE,则点P为△ABC的准内心.应用:如图②,BF为等边三角形ABC的角平分线,准内心P在BF上,PD⊥AB于点D,PE⊥BC BP.求证:点P是△ABC的内心.于点E,且PF=12图24-2-4714.联想三角形外心的概念,我们可引出如下概念:到三角形的两个顶点距离相等的点,叫做此三角形的准外心.例如:如图24-2-48①,若PA=PB,则点P为△ABC的准外心.AB,连接AP,BP,求∠APB (1)如图②,CD为等边三角形ABC的高,准外心P在高CD上,且PD=12的度数;(2)如图③,若△ABC为直角三角形,∠C=90°,AB=13,BC=5,准外心P在AC边上,试探究PA 的长.图24-2-48典题讲评与答案详析1.B2.A3.D4.D[解析] ∵∠P=40°,∴∠PCD+∠PDC=140°.∵PA,PB,CD分别切☉O于点A,B,E,∴AC=CE,DE=DB,∴∠CAE=∠CEA,∠DEB=∠DBE.∵∠PCD=∠CAE+∠CEA=2∠PAE,∠PDC=∠DEB+∠DBE=2∠PBE,∴∠PCD+∠PDC=2(∠PAE+∠PBE)=140°, ∴∠PAE+∠PBE=70°.5.C6.证明:∵PA,PB分别切☉O于点A,B,∴PA=PB,∠APO=∠BPO.又∵PC=PC,∴△APC≌△BPC,∴AC=BC. 7.解:(1)∠APB=2∠BAC.理由:∵PA,PB为☉O的切线,A,B为切点,∴PA=PB,∠APO=∠BPO,∴∠PAB=∠PBA.∵∠APO+∠BPO+∠PAB+∠PBA=180°,∴∠APO+∠PAB=90°.∵PA是☉O的切线,∴∠PAO=90°,即∠PAB+∠BAC=90°,∴∠APO=∠BAC,∴∠APB=2∠BAC.(2)存在.∵PA,PB为☉O的切线,∴OA⊥PA,OB⊥PB, ∴∠OAP=∠OBP=90°,∴当OA⊥OB时,四边形PAOB为矩形.又∵OA=OB,∴四边形PAOB为正方形,∴PO=√2OA=4√2.这样的点P 有无数个,当点P 在以点O 为圆心,4√2为半径的圆上时,四边形PAOB 为正方形. 8.B9.C [解析] 如图.∵△ABC 是等边三角形,∴△ABC 的内切圆和外接圆是同心圆,设圆心为O.过点A 作AD ⊥BC 于点D ,则AD 过点O ,且D 为△ABC 的内切圆与边BC 的切点,设△ABC 的内切圆与边AC 的切点为E ,连接OE ,则OE ⊥AC. 由题意,得OE=r ,AO=R ,AD=h ,∴h=R+r ,故A 正确; ∵AD ⊥BC ,∴∠DAC=12∠BAC=12×60°=30°.在Rt △AOE 中,AO=2OE ,∴R=2r ,故B 正确; ∵AB=AC=BC=a , ∴AE=12AC=12a.在Rt △AOE 中,由勾股定理,得AE 2+OE 2=AO 2, 即12a 2+r 2=(2r )2,12a 2+12R 2=R 2,∴r=√3a 6,R=√33a ,故C 错误,D 正确.故选C .10.C [解析] 如图,设BC=8,AC=15, 则AB=√82+152=17.∵S △ABC =12AC ·BC=12AB ·r+12AC ·r+12BC ·r=12r (AB+AC+BC ),∴r=AC ·BCAB+AC+BC =8×158+15+17=3.故该直角三角形能容纳的圆形的直径是6步. 11.解:连接ID ,IF ,如图.∵∠DEF=50°,∵∠DIF=2∠DEF=100°.∵☉I 是△ABC 的内切圆,与AB ,CA 分别相切于点D ,F ,∴ID ⊥AB ,IF ⊥AC ,∴∠ADI=∠AFI=90°,∴∠A+∠DIF=180°, ∴∠A=180°-100°=80°.12.解:(1)证明:①如图,连接OB ,OF.∵点O 是△BDC 的内心,∴BO 平分∠DBC. ∵BD=BC ,∴OB ⊥CD.∵CD 与☉O 相切于点F ,∴OF ⊥CD , ∴B ,O ,F 三点共线,∴DF=CF.又∵CD=2AD ,∴AD=DF.∵BD 与☉O 相切,∴由切线长定理可知DE=DF , ∴AD=DE=DF ,∴∠DAE=∠DEA ,∠DEF=∠DFE. ∵∠DAE+∠DEA+∠DEF+∠DFE=180°, ∴∠DEA+∠DEF=90°, ∴∠AEF=90°,∴AE ⊥EF.②∵点O 是△BDC 的内心,∴DO 平分∠BDC ,∴∠EDF=2∠EDO.由①知∠DAE=∠DEA. 又∵∠EDF=∠DAE+∠DEA ,∴2∠EDO=2∠DEA ,∴∠EDO=∠DEA , ∴AE ∥DO.(2)如图,设DO 与EF 相交于点G. 由(1)可知DE=DF ,DO 平分∠EDF ,∴DO ⊥EF ,∴EF=2FG. ∵AD=DF=CF ,AC=6,∴DF=2. ∵OF=1,∴由勾股定理可求得OD=√5. ∵12DF ·OF=12OD ·FG ,即12×2×1=12×√5FG ,∴FG=2√55,∴EF=2FG=4√55. ∵AF=2DF=4,∠AEF=90°, ∴由勾股定理可求得AE=√AF 2-EF 2=√42-(4√55)2=8√55.13.证明:∵△ABC 是等边三角形,∴∠ABC=60°.∵BF 为△ABC 的角平分线, ∴∠PBE=30°,∴PE=12BP.∵BF 是等边三角形ABC 的角平分线, ∴BF ⊥AC.∵点P 是△ABC 的准内心,PD ⊥AB ,PE ⊥BC ,PF=12BP , ∴PE=PD=PF ,∴点P 是△ABC 的内心.14.解:(1)①若PB=PC ,则∠PCB=∠PBC.∵CD 为等边三角形ABC 的高, ∴AD=BD ,∠PCB=30°, ∴∠PBD=∠PBC=∠PCB=30°,∴PD=√33BD=√36AB ,与已知PD=12AB 矛盾,∴PB ≠PC ;②若PA=PC ,同理可推出矛盾,∴PA ≠PC ; ③若PA=PB ,由PD=12AB ,得PD=BD=AD.∵∠ADP=∠BDP=90°,∴∠PAB=∠APD=∠PBA=∠BPD=45°, ∴∠APB=90°.综上可得,∠APB=90°. (2)①若PB=PA ,连接PB. 设PA=x ,则PB=x.∵∠C=90°,AB=13,BC=5, ∴AC=12,∴PC=12-x.在Rt △BCP 中,有x 2=(12-x )2+52,解得x=16924,即PA=16924.②若PA=PC,则PA=6.③若PC=PB,由图知,此种情况不存在.综上可得,PA的长为16924或6.。