变化率与导数的概念
上课时间： 上课教师： 上课重点： 上课规划： 一 变化率问题 （一）平均变化率
函数平均变化率的定义：一般地，函数)(x f y =,)(,2121x x x x ≠是其定义域内
不同的两点，那么函数的变化率可用式子1
212)
()(x x x f x f --表示，我们把这个式
子称为函数)(x f y =
从1x 到2x 的平均变化率。

习惯上用12x x x -=∆，可把x ∆看
作相对于1x 的一个“增量”，可用x x ∆+1代替2x ：类似地，)()(12x f x f y -=∆，
于是平均变化率可以表示为
x
y ∆∆=
x
x f x x f ∆-∆+)
()(00。

平均变化率的几何意义是过函数曲线上的两点的割线的斜率，若函数
)(x f y =
图像上有两点A ))(,(11x f x ，B ))(,(22x f x ，则
AB
k x x x f x f =--1
212)
()(，平均
变化率就是曲线陡峭程度的“数量化”。

例题1：求函数652+=x y 在区间【2,2+x ∆】内的平均变化率
1.求余弦函数x y cos =在区间⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡
2,
3
ππ
上的平均变化率
2.作自由落体运动的物体的运动方程为2
21gt
s =，计算t 从3s 到3.1s ，
3.01s ，3.001s 各时间段内的平均速度。

3.已知某质点按规律t t s 222+=作直线运动（位移s 的单位为m), 求：（1）该质点在前s 3内运动的平均速度： （2）质点在s 2到s 3这段时间内运动的平均速度
（二）瞬时速度（设物体运动的路程与时间的关系是)(t s s =，当t ∆趋近于0
时，函数)(t s 在0
t 到t
t ∆+0之间的平均变化率
x
t s t t s ∆-∆+)
()(00趋近于一个常
数，我们把这个常数称为0t 时刻的瞬时速度，瞬时速度一般用
x
t s t t s t ∆-∆+→∆)
()(lim
000
表示。

例题：作自由落体运动的物体的运动方程为2
2
1gt s =
)/.89(2
s m g 取，
求物体在s t 3=这样时刻的速度。

补充：求物体在s t 5.2=时刻的速度。

1.以初速度)0(0
0>v v 作竖直上抛运动的物体，t 秒时的高度为2
021)(gt
v t s -
=，
求物体在时刻0t 时的瞬时速度。

枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度25/105s m a ⨯=，枪弹从枪口射出时所用的时间为s 3106.1-⨯。

求签单射出时的瞬时速度。

二 导数的概念
函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量
y
∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值x
y ∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间
的平均变化率，即x
y ∆∆=
x
x f x x f ∆-∆+)
()(00。

如果当0→∆x 时，x
y ∆∆有极限，我
们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f ’（x 0）或y ’|0
x x =。

即f （x 0）=0
lim
→∆x x
y ∆∆=0
lim →∆x x
x f x x f ∆-∆+)
()(00。

简记：一差二比三极限 例题：求函数2
x
y =在1=x 处的导数
1.利用导数的定义求下列函数的导数 （1）b ax x y ++=2
在
x=0处的导数
（2）x
y 1=在x=1处的导数
2.设函数2)(3+=ax x f ，若3)1('=-f ，则=a （ ）
3.利用导数的定义求函数1)(2+=x x f 在
x=0处的导数
常见题型 导数与极限 f （x 0
）=
lim
→∆x x
y ∆∆=
lim
→∆x x
x f x x f ∆-∆+)
()(00=
lim
→∆x x
h x f x h x f ∆-∆+)
()(00
=0
lim →∆x )()()
()(00g h x
g h x g x f x h x f ≠∆-∆+-∆+（重点知识）（与x ∆的系数没有关系）
1、设
)(x f 在 x x
=处可导，且0
lim
→∆x x
x f x x f ∆-∆+)
()3(00=1，则)(' x f 等于（ ）
A.1
B.0
C.3
D.3
1
2、设()f x 在0
x 可导，则(
)()
00
3lim x f x
x f x x x
∆→+∆--∆∆等于（ ）
A ．()0
2f x ' B ．()0
f x ' C ．()0
3f x ' D ．()0
4f x '
3、若0
(2)()lim 13x f x x f x x
∆→+∆-=∆，则0
()f x '等于（ ）
A ．23
B ．32
C ．3
D ．2
4、设()f x 在x 处可导，a b ，为非零常数，则0
()()
lim
x f x a x f x b x x
∆→+∆--∆=∆（ ）．
A ．()f x '
B ．()()a b f x '+
C ．()()a b f x '-
D ．()f x ' 5、设
(3)4f '=，则0
(3)(3)
lim
2h f h f h
→--=
（ ）
A ．1-
B ．2-
C ．3-
D ．1 6、已知1()f x x
=，则0
(2)(2)
lim x f x f x
∆→+∆-
∆的值是（ ）
A ．14
- B ．2 C ．14
D ．2-
7、若()1'0=x f ，则x
x f x x f x ∆-∆-→∆2)
()(lim 000
= 8、若12)
()5(lim
000=∆-∆+→∆x
x f x x f x ,则()=
0'x f
9.、若0
()lim
1
x f x x
→=，则0
(2)lim
x f x x
→=
________．
10、若1
(1)lim 1
1
x f x x →-=-，则1
(22)lim
1
x f x x →-=
-_______．
11、若()2f a '=，则当h 无限趋近于0时，
()()
2f a h f a h
--
=______．
12、已知函数2
()8f x x
x
=+，则0
(12)(1)
lim x f x f x
∆→-∆-∆的值为 ．
总结:关键是构造()0'x f 的极限式，与题中的条件的构造形式相一致 f （x 0
）=
lim
→∆x x
y ∆∆=
lim
→∆x x
x f x x f ∆-∆+)
()(00=
lim
→∆x x
h x f x h x f ∆-∆+)
()(00
=0
lim
→∆x )()()
()(00g h x
g h x g x f x h x f ≠∆-∆+-∆+（重点知识）（与x ∆的系数没有关系）。