十字相乘法进行因式分解
1．二次三项式
多项式 ax 2 bx
c ，称为字母 x 的二次三项式，其中 ax 2 称为二次项， bx 为一次项， c
为常数项．例如， x 2 2x 3 和 x 2 5x
6 都是关于 x 的二次三项式．
在多项式 x 2 6xy
8 y 2 中，如果把 y 看作常数，就是关于 x 的二次三项式；如果把 x
看作常数，就是关于 y 的二次三项式．
在多项式 2
2 b 2
7 ab 3 中，把 ab 看作一个整体，即 2( ab) 2
7( ab) 3，就是关于 ab
a
的二次三项式．同样，多项式 ( x
y)2
7( x y) 12 ，把 x ＋y 看作一个整体，就是关于 x
＋y 的二次三项式．
2．十字相乘法的依据和具体内容 利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用
(ax ＋ b)(cx ＋ d)竖式乘法法则．它的一般规律是：
（1）对于二次项系数为 1 的二次三项式 x 2
px q ，如果能把常数项 q 分解成两个因数 a ，
b 的积，并且 a ＋b 为一次项系数 p ，那么它就可以运用公式
x 2 (a b) x ab ( x a)( x b)
分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项” ．公式中的 x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一
次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．
（2）对于二次项系数不是 1 的二次三项式 ax 2 bx c (a ， b ，c 都是整数且 a ≠0)来说，如 果存在四个整数 a 1, a 2 , c 1, c 2 ，使 a 1 a 2 a ， c 1 c 2 c ，且 a 1c 2 a 2 c 1
b ，
3．因式分解一般要遵循的步骤
多项式因式分解的一般步骤： 先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进
行．以上步骤可用口诀概括如下： “首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，
分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”．
【典型热点考题】
例 1把下列各式分解因式：
（1）x2 2 x 15 ；（2） x25xy 6 y2．
解：
例 2把下列各式分解因式：
（1）2x25x 3；（2） 3x 28x 3 ．
解：
点拨：二次项系数不等于 1 的二次三项式应用十字相乘法分解时，二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大，往往要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积累经验，才能提高速度和准确性．
例 3把下列各式分解因式：
（1）x410 x29 ；（2）7(x y)35( x y) 22( x y) ；
（3）( a28a) 222(a28a)120 ．
十字相乘法专项练习题
(1) a 2－7a+6 ；(2)8x 2+6x －35；(3)18x 2－21x+5 ；(4) 20 －9y－ 20y 2；(5)2x 2+3x+1 ；(6)2y 2+y－6；
(7)6x 2－13x+6 ；(8)3a 2－ 7a－ 6；(9)6x 2－11x+3 ；(10)4m 2 +8m+3 ；(11)10x 2－ 21x+2 ；(12)8m 2－22m+15 ；
(13)4n 2 +4n－15 ；(14)6a 2+a－35 ；(15)5x 2－8x－ 13 ；(16)4x 2+15x+9 ；(17)15x 2+x－2；(18)6y 2+19y+10 ；
(19) 2(a+b) 2 +(a+b)(a －b)－ 6(a －b)2；(20)7(x － 1)2 +4(x －1) －20；
把下列各式分解因式：
（1）x47x2 6 ；（2）x45x236 ；
（3）4x465 x2 y216 y 4；（4）a67a3b38b6；
（5）6a45a34a 2；（6）4a637a4 b29a2b4．15．把下列各式分解因式：
（1）
( x 2
3)
2
4x
2；（）
2
(x 2)
2
9
；）
(3x
2
2x 1)
2
(2x
2
3x 3)
2
；
2 x ( 3
（4）( x2x)217( x2x) 60 ；（5）( x22x)27( x22x)8 ；
（6）( 2a b)214(2a b)48 ．
(1) 2x215 x 7(2)3a28a 4(3)5x27x 6(4)6y 211y 10 (5) 5a2b223ab 10(6)3a2b217abxy 10x2 y2(7)x27 xy12 y2
(8) x47x218(9)4m28mn 3n2(10)5x515x3 y20 xy2
六、解下列方程
（ 1）x2x 2 0(2) x25x 6 0(3) 3a24a 4 0(4) 2b27b 150。