一、刚体的简单运动知识点总结
1、刚体运动的最简单形式为平行移动与绕定轴转动。
2、刚体平行移动。
·刚体内任一直线段在运动过程中,始终与它的最初位置平行,此种运动称为刚体平行移动,或平移。
·刚体作平移时,刚体内各点的轨迹形状完全相同,各点的轨迹可能就是直线,也可能就是曲线。
·刚体作平移时,在同一瞬时刚体内各点的速度与加速度大小、方向都相同。
3、刚体绕定轴转动。
•刚体运动时,其中有两点保持不动,此运动称为刚体绕定轴转动,或转动。
•刚体的转动方程φ=f(t)表示刚体的位置随时间的变化规律。
•角速度ω表示刚体转动快慢程度与转向,就是代数量, 。
角速度也可以用矢量表示, 。
•角加速度表示角速度对时间的变化率,就是代数量, ,当α与ω同号时,刚体作匀加速转动;当α与ω异号时,刚体作匀减速转动。
角加速度也可以用矢量表示, 。
•绕定轴转动刚体上点的速度、加速度与角速度、角加速度的关系:。
速度、加速度的代数值为。
•传动比。
二. 转动定律转动惯量
转动定律
力矩相同,若转动惯量不同,产生的角加速度不同
与牛顿定律比较:
转动惯量
刚体绕给定轴的转动惯量J 等于刚体中每个质元的质量与该质元到转轴距离的平方的乘积之总与。
定义式质量不连续分布
质量连续分布
物理意义
转动惯量就是描述刚体在转动中的惯性大小的物理量。
它与刚体的形状、质量分布以及转轴的位置有关。
计算转动惯量的三个要素:
(1)总质量; (2)质量分布; (3)转轴的位置 (1) J 与刚体的总质量有关 几种典型的匀质刚体的转动惯量
平行轴定理与转动惯量的可加性 1) 平行轴定理
设刚体相对于通过质心轴线的转动惯量为Ic,相对于与之平行的另一轴的转动惯量为I,则可以证明I 与Ic 之间有下列关系 2c I I md =+ 2)转动惯量的可加性
对同一转轴而言,物体各部分转动惯量之与 等于整个物体的转动惯量。
三 角动量 角动量守恒定律
2
c I I md
=+
1.质点的角动量(Angular Momentum)——描述转动特征的物理量 1)概念
一质量为m 的质点,以速度v
运动,相对于坐标原点O 的位置矢量为r
,定义质点对坐标原点O 的角动量为该质点的位置矢量与动量的矢量积,即
v m r P r L
⨯=⨯= 角动量就是矢量,大小为 L=rmv sin α
式中α为质点动量与质点位置矢量的夹角。
角动量的方向可以用右手螺旋法则来确定。
角动量的单位: kg 、m 2、s -1
2.质点的角动量定理(Theorem of Angular Momentum) (1)质点的转动定律
问题:讨论质点在力矩的作用下,其角动量如何变化。
设质点的质量为m,在合力F
的作用下,运动方程为
()t
v m t v m a m F d d d d
=
== 用位置矢量r
叉乘上式,得
()t
v m r F r d d
⨯=⨯
考虑到
()()v m t r v m t r v m r t
⨯+⨯=⨯d d d d d d 与 0d d =⨯=⨯v v v t
r
得 ()v m r t
F r
⨯=⨯d d
由力矩 F r M
⨯＝
与角动量的定义式()v m r t
L
⨯=d d
得 t
L
M d d ＝
表述:作用于质点的合力对参考点O 的力矩,等于质点对该点O 的角动量随时间的变化率,有些书将其称为质点的转动定律(或角动量定理的微分形式)。
这与牛顿第二定律t P F /
=在形式上就是相似的,其中M 对应着F ,L 对应着P 。
(2)冲量矩与质点的角动量定理
把上式改写为 L t M
=
dt M
为力矩与作用时间的乘积,叫作冲量矩。
对上式积分得
122
1
L L t M t t
-=⎰
式中1L 与2L 分别为质点在时刻t 1与t 2的角动量,⎰2
1
t t t M
为质点在时间间隔t 2- t 1内所
受的冲量矩。
质点的角动量定理:对同一参考点,质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量。
成立条件:惯性系
3.质点的角动量守恒定律(Law of Conservation of Angular Momentum) 若质点所受的合外力矩为零,即M=0,则
＝恒矢量＝v m r L
⨯ 这就就是角动量守恒定律:当质点所受的对参考点的合外力矩为零时,质点对该参考点的角动量为一恒矢量。
说明:
(1)质点的角动量守恒定律的条件就是M =0,这可能有两种情况:
● 合力为零;
● 合力不为零,但合外力矩为零。
四.力矩做功与刚体绕定轴转动的动能定理
力矩的功
设:;转盘上的微小质量元Δm 在力F 作用下以R 为半径绕O 轴转动,在dt 时间内转过角度d θ, 对应位移d r,路程ds,此时F 所做的元功为
则总功为 1 刚体绕定轴转动的转动动能
t
F d r
t t d d d d A F r F s F r θ
=⋅==d d A M θ=2
1
d A M θθθ
=⎰222
2k 111222
i i i i i i E m v m r I ωω
===∑∑
2 动能定理
合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能的增量。
刚体作为一个特殊的质点系,此质点系的动能定理为
21
e k k A E E =-2
1
2 2 2 111d θωω22
θM I I =
-⎰ θ
刚体定轴转动的动能定理
由于刚体的大小、形状不变,其上任何两质点间没有相对位移。
即: i 0
A =。