……
-x
x
f(-x) = -f(x)
f(x)=x
实际上，对于R内任意的一个x,都有f(-x)=-x=-f(x), 这时我们称函数y=x为奇函数。
填写表（4），你发现了什么？
x
y 3 2 1
-3 -2 -1 0 1 2 3 1
1 2
1 1 1 f ( x) -1 0 x 3 2
表（4）
1 3
1
x2
3
x
f(-x) = f(x)
y=x2
实际上，对于R内任意的一个x,都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x), 这时我们称函数y=x2为偶函数。
填写表（2），你发现了什么？
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y 6 5 4 3 2 1 -3 -2 -1 0 1 2 3x
y=|x| 3 2 1 0 1 2 3
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x， 都有f(－x)= － f(x)，那么f(x)就叫做奇函数。
奇函数的图像特征
如果一个函数是奇 函数，则它的图象 关于原点对称。 反过来， 如果一个函数的图 象关于原点对称， 则这个函数为奇函 数。
y=x3
O
定义域关于原点对称
• 例：见学案
练：判断下列函数是否为奇函数？（口答）
(1) f ( x) x , x [1,1]
3
(2) f ( x) x , x [1,1)
3
特别提醒
• 奇函数是关于原点对称的中心对称图 形。 • 若f(x)是奇函数，且0在定义域内，则 有f(0)=0 证明：因为 f(－x)= － f(x)
所以f(-x)+f(x)=0；令x=0代入 2f(0)=0,所以， f(0)=0
不是。
因为定义域不关于原点对 称，比如2在定义域内可 是-2却不在。
练习：判断下列函数是否为偶函数？（口答）
(1) f ( x) x , x [1,1]
2
(2) f ( x) x , x [1,1)
2
(3) f ( x) x , x [2,1) (1,2]
2
（4）f(x)=2x+1
x
x
y=x2
y=|x|
结论：这两个函数的图象都关于y轴对称。
填写表（1），你发现了什么？
x
y 6 5 4 3 2
-3 -2 -1 0
1 2 3
y=x2 9 4 1 0 1 4 9
表（1）
f(-1)= 1 =f(1) f(-2)= 4 =f(2) f(-3)= 9 =f(3)
……
-3
1
-2 -x -1 0
3
）
答案：c
• 下列说法中，不正确的是（ ） A. 图像关于原点成中心对称的函数一定是奇 函数 B. 奇函数的图像一定经过原点 C. 偶函数的图像若不经过原点，则它与轴交 点的个数一定是偶数 D. 图像关于轴成轴对称的函数一定是偶函数
答案：B
知识小结
本节课主要学习了以下内容： 1．函数的奇偶性的概念； 2．根据定义判断函数的奇偶性的主要步 骤．
3
2 1 -2 -1 0 1 2 3 x
-1
-2 -3
f(x)=x
1 f ( x) x
结论：两个函数图象都关于原点对称。
填写表（3），你发现了什么？
y
x
-3 -2 -1
表（3）
0 1 2 3
2 3
-2
3 2 1 -1 0 -1 -2 -3 1 2 3 x
f(x)=x
-3 -2 -1 0 1
f(-1)= -1=-f(1) -f(2) f(-3)= -3 =-f(3)
-2 -1 0
-1 -2 -3
1
2
3 x
f(-1)= -1 =-f(1)
1 f(-3)= =-f(3) 3 ……
1 2
f(-x) = -f(x) 实际上，对于非零实数集内任意的一个x,都有 f(-x)= -1/x =-f(x),这时我们称函数y=1/x为奇函数。
1 f ( x) x
奇函数定义：
偶函数的图像特征
如果一个函数是偶 函数,则它的图象 关于y轴对称。
y=x2
反过来， 如果一个函数的图 象关于y轴对称， 则这个函数为偶函 数。
性质：偶函数的定义域关于原点对称
问题： f
解：
y 6 5 4 3 2 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 x
( x) x x1,2
2 ,
是偶函数吗？
2
2
根据函数奇偶性分类
奇函数 偶函数 函数可划分为四类: 既奇又偶函数 非奇非偶函数
用定义判断函数奇偶性的步骤：
(1)、先求定义域，看是否关于原 点对称； (2)、再判断f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)是 否恒成立。
例2：见学案
提升训练
函数 f ( x) x 的大致图象可能是（
总结：
1、如果一个函数f(x)是奇函数或 偶函数，那么我们就说函数f(x) 具有奇偶性； 2、函数的奇偶性是函数的整体 性质。
例：判断下列函数的奇偶性
f ( x) x 1 2 f ( x) x , x [1,3]
2
f ( x) x x x
5 3
f ( x) x 1 1 x
• 重点和难点
重点：函数奇偶性的概念
难点：函数奇偶性的判断
教学过程
情景引入 互动探究 知识运用 小结作业
对称相关概念
• .轴对称图形：如果一个图形沿着一条直 线对折后两部分完全重合，这样的图形叫 做轴对称图形 。
• 中心对称图形：在同一平面内，如果把一
个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形 能和原图形完全重合，那么这个图形就叫 做中心对称图形
攸县第二中学
函数的奇偶性
讲课人：唐琴琴
• 教学目标
知识与技能：从形数两个方面进行引导，领会 奇偶性的定义和判断。 过程与方法：师生共同探讨，联系生活实际理
解定义。
情感、态度与价值观：通过观察图形，培养学
生用图、想图、以及归纳的抽象思维能力。通过 合作探讨，培养学生合作精神，通过联系实际， 培养学生善于观察生活能力。
特别提醒
1、“任意”两字体现偶函数为函数的 整体性质，不能仅有特殊值满足，就 定义为偶函数。 2、对于任意一个x,都有f(-x) = f(x), 则x 和-x定要都在定义域内，也就是定义 域关于原点对称。 3、图像关于y轴对称
Hale Waihona Puke 自由探讨，类比推导奇函数y 3 2 1 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 1 2 3 x y
引入课题
“对称”是大自然和生活中的一种美，这 种“对称美”在数学中也有大量的反映，函数的
奇偶性和对称性有什么关系呢？
函数的奇偶性体现对称美！
让我们看看下列各函数有什么共性？如何体现 对称美？
• 互动探究（见证对称美）
y
6 5 4 3 2 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1
y
6 5 4 3 2 1 0 1 2 3
表（2）
f(-1)= 1 =f(1) f(-2)= 2 =f(2) f(-3)= 3 =f(3)
……
f(-x) = f(x)
y=|x|
实际上，对于R内任意的一个x,都有f(-x)=|-x|=|x|=f(x), 这时我们称函数y=|x|为偶函数。
偶函数定义
从以上的讨论，你能够得到什么？
一般地，如果对于函数 f ( x) 的定义域内 的任意一个 x ，都有 f ( x) f ( x), 那么称函 数 y f ( x) 是偶函数