XXXX教育学科教师辅导讲义讲义编号Ⅱ、函数()y f ax=(0)a>的图像可以将函数()y f x=的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(1)a>或压缩（01a<<）为原来的1a倍得到。
f(x)y=f(x)a x⨯→y=f(ax)★例题讲解：例1．作出下列函数的图象(1)y=|x-2|(x＋1)； (2)y=10|lgx|．分析：显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还应想到对已知解析式进行等价变形．解：(1)当x≥2时，即x-2≥0时，当x＜2时，即x-2＜0时，这是分段函数，每段函数图象可根据二次函数图象作出(见图6)(2)当x≥1时，lgx≥0，y=10|lgx|=10lgx=x；当0＜x＜1时，lgx＜0，所以这是分段函数，每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出．(见图7)说明：作不熟悉的函数图象，可以变形成基本函数再作图，但要注意变形过程是否等价，要特别注意x ，y 的变化范围．因此必须熟记基本函数的图象．例如：一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数，及三角函数的图象． 例2. 函数2sin(2)14y x π=--的图象经过怎样的变换才能得到sin y x =的图象？答案：2sin(2)14y x π=--向上平移1个单位得2sin(2)4y x π=-的图象，再向左平移8π个单位得2sin 2y x =的图象，横坐标扩大到原来的2倍得2sin y x =的图象，最后将纵坐标缩小到原来的12即得sin y x =的图象）。
课堂练习：1．一次函数y=kx+2k+1(x ∈[1，2])的图象在x 轴上方，则k 的取值范围是_____________.2．利用函数图象判定方程12+x =x+a 有两个不同的实数解时，实数a 的满足的条件.★课后作业, -x101 -1-11-1-111-11-1＝x（Ａ．312y x =- (02)x ≤≤ Ｂ．33122y x =-- (02)x ≤≤ Ｃ．312y x =-- (02)x ≤≤ Ｄ．11y x =-- (02)x ≤≤6．已知函数))((R x x f y ∈=满足)1()1(-=+x f x f ，且当[]1,1-∈x 时，2)(x x f =，则)(x f y =与x y 5log =的图象的交点个数为 （ ）A 、2B 、3C 、4D 、5 7．函数||log 33x y =的图象是（ ）8．曲线y=x 2－3x 关于x 轴的对称图形所对应的函数是 （ ） A ．x=y 2－3y B ．y=x 2+3y C ．y=－x 2－3x D ．y=－x 2+3x9．将y=2x 的图象 （ ） A ．先向左平移1个单位 B ．先向右平移1个单位C ．先向上平移1个单位D ．先向下平移1个单位 再作关于直线y=x 对称的图象，可得到函数y=log 2(x+1)的图象.10．设函数y=f(x)定义在实数集上，则函数y=f(x －1)与y=f(1－x)的图象关于 （ ） A ．直线y=0对称 B ．直线x=0对称C ．直线y=1对称D ．直线x=1对称答案：1.B 2 .D 3.C 4.B 5.B 6.C 7.A 8.D9.D 10.D 6．由)1()1(-=+x f x f 知函数)(x f y =的周期为2，作出其图象如右，当x=5时，f(x)=1,log 5x=1; 当x>5时，f(x)=1∈[0，1]，log 5x>1, )(x f y =与x y 5log =的图象不再有交点，故选C二．函数与方程★知识梳理yxO1-1 15构造函数)31(352<<-+-=x x x y 和a y =，作出它们的图像，易知平行于x 轴的直线与抛物线的交点情况可得：①当31≤<a 或413=a 时，原方程有一解；②当4133<<a 时，原方程有两解；③当1≤a 或413>a 时，原方程无解点评：图象法求函数零点，考查学生的数形结合思想。
本题是通过构造函数用数形结合法求方程lg x +x =3解所在的区间。
数形结合，要在结合方面下功夫。
不仅要通过图象直观估计，而且还要计算0x 的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断。
题型3：由函数的零点特征确定参数的取值范围[例4] (2007·广东)已知a 是实数,函数()a x ax x f --+=3222,如果函数()x f y =在区间[]1,1-上有零点，求a 的取值范围。
[解题思路]要求参数a 的取值范围，就要从函数()x f y =在区间[]1,1-上有零点寻找关于参数a 的不等式（组），但由于涉及到a 作为2x 的系数，故要对a 进行讨论[解析] 若0a = , ()23f x x =- ,显然在[]1,1-上没有零点, 所以 0a ≠.令()248382440a a a a ∆=++=++=, 解得372a -±=①当372a --=时, ()y f x =恰有一个零点在[]1,1-上;②当()()()()05111<--=⋅-a a f f ，即15a <<时，()y f x =在[]1,1-上也恰有一个零点.③当()y f x =在[]1,1-上有两个零点时, 则()()208244011121010a a a a f f >⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪≥⎪⎪-≥⎩或()()208244011121010a a a a f f <⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪≤⎪⎪-≤⎩③二次方程f （x ）=0在区间（p ，q ）内有两根⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>⋅>⋅<-<>-=⇔.0)(,0)(,2,042p f a q f a q a b p ac b Δ④二次方程f （x ）=0在区间（p ，q ）内只有一根⇔f （p ）·f（q ）＜0，或f （p ）=0，另一根在（p ，q ）内或f （q ）=0，另一根在（p ，q ）内.⑤方程f （x ）=0的两根中一根大于p ，另一根小于q （p ＜q ）⎩⎨⎧>⋅<⋅⇔.0)(,0)(q f a p f a[新题导练]1．已知二次函数f(x)=4x2－2(p －2)x －2p2－p+1,若在区间［－1，1］内至少存在一个实数c,使f(c)>0,则实数p 的取值范围是_________.[解析] (－3，23） 只需f(1)=－2p2－3p+9>0或f(－1)=－2p2+p+1>0即－3＜p ＜23或－21＜p ＜1.∴p ∈(－3, 23).2．若方程x2+(k-2)x+2k-1=0的两根中,一根在0和1之间,另一根在1和2之间,求实数k 的取值范围.[解析] 1223k <<；令12)2()(2-+-+=k x k x x f ，则依题意得 ⎪⎩⎪⎨⎧><>0)2(0)1(0)0(f f f ，即⎪⎩⎪⎨⎧>-+-+<-+-+>-01242401221012k k k k k ，解得1223k << 3.(2007·韶关)若关于x 的方程4x +2x a+a+1=0有实数根，求实数a 的取值范围.[解析]令t=2x ，Θ t>0∴关于x 的方程4x +2x a+a+1=0有实数根等价于方程t 2+at+a+1=0(t>0)有正实数根,令f(t)= t 2+at+a+1，且442--=∆a a 故方程t2+at+a+1=0(t>0)有正实数根等价于（1）方程有一个正根一个负根：由f(0)<0,得a<-1（2）方程有两个相等的正数根：由222020-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧>-=∆a a（3）方程有两个不相等的正数根或有一个零根一个正根时：由22210)0(020-<≤-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥>->∆a f a求（1）（2）（3）的并集，得实数a 的取值范围：]222,(--∞[备选例题] （佛山市三水中学09届）下图是函数xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21和23x y =图象的一部分,其中()212101,x x x x x <<<-=时,两函数值相等. (1)给出如下两个命题:①当1x x <时,2321xx<⎪⎭⎫ ⎝⎛;②当2x x >时,2321xx <⎪⎭⎫ ⎝⎛.判断命题①②的真假并说明理由.(2)求证:()1,02∈x[解析](1) 命题①是假命题,反例:10-=x ,则1x x <,但是 ()300103,102421210=-⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-,2321x x <⎪⎭⎫ ⎝⎛不成立.命题②是真命题,因为x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21在[)+∞,2x 上是减函数,函数23x y =在[)+∞,2x 上是增函数,所以当2x x >时,2223321212x x x x <=⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛.(2)构造函数x x x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=213)(2,则025)1(,01)0(>=<-=f f ,所一)(x f 在区间()1,0有零点.有因为xx x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=213)(2在区间()1,0是增函数,所以)(x f 在区间()1,0有唯一个零点,即2x ,所以()1,02∈x .★课后作业：1.（深圳九校09届联考）下图是函数()f x 的图像，它与x 轴有4个不同的公共点.给出下列四个区间，不能用二分法求出函数()f x 在区间（ ）上 的零点A ．--[ 2.1,1]；B ．[1.9,2.3]8.[解析](1)条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图，得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧->-<∈-<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<+=>=-<+=65,21,21056)2(,024)1(,02)1(,012)0(m m R m m m f m f f m f ∴2165-<<-m . (2)据抛物线与x 轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<≥∆>>10,0,0)1(,0)0(m f f ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<--≤+≥->->⇒.01,2121,21,21m m m m m 或(这里0<－m<1是因为对称轴x=－m 应在区间(0，1)内通过)。