指数函数
概念：一般地，函数y=a^x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R。
注意：⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。
⒉指数函数的定义仅是形式定义。
指数函数的图像与性质：
规律：1. 当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。
2.当a＞1时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y轴；
当0＜a＜1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，图像越靠近y轴。
在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。
3.四字口诀：“大增小减”。
即：当a＞1时，图像在R上是增函
数；当0＜a＜1时，图像在R上是减函数。
4. 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。
比较幂式大小的方法：
1.当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较；
2.当底数中含有字母时要注意分类讨论；
3.当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较；
4.对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较
底数的平移：
在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。
在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。
对数函数
1.对数函数的概念
由于指数函数y=a x 在定义域(-∞，+∞)上是单调函数，所以它存在反函数，
我们把指数函数y=a x (a ＞0，a≠1)的反函数称为对数函数，并记为y=log a x(a ＞0，a≠1).
因为指数函数y=a x 的定义域为(-∞，+∞)，值域为(0，+∞)，所以对数函数y=log a x 的定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞).
2.对数函数的图像与性质
对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线y=x. 据此即可以画出对数函数的图像，并推知它的性质.
为了研究对数函数y=log a x(a ＞0，a≠1)的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数
y=log 2x ，y=log 10x ，y=log 10x,y=log 2
1x,y=log 10
1x 的草图
由草图，再结合指数函数的图像和性质，可以归纳、分析出对数函数y=log a x(a＞0，a≠1)的图像的特征和性质.见下表.
图
象
a＞1 a＜1
性质(1)x＞0
(2)当x=1时，y=0
(3)当x＞1时，y＞0
0＜x＜1时，y＜0
(3)当x＞1时，y＜0
0＜x＜1时，y＞0 (4)在(0，+∞)上是增函数(4)在(0，+∞)上是减函数
补充性质设y1=log a x y2=log b x其中a＞1，b＞1(或0＜a＜1 0＜b＜1) 当x＞1时“底大图低”即若a＞b则y1＞y2
当0＜x＜1时“底大图高”即若a＞b，则y1＞y2
比较对数大小的常用方法有：
(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断.
(2)若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论.
(3)若底数不同、真数相同，则可用换底公式化为同底再进行比较.
(4)若底数、真数都不相同，则常借助1、0、-1等中间量进行比较.
3.指数函数与对数函数对比
幂函数
幂函数的图像与性质
幂函数n y x =随着n 的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握n y x =，当
11
2,1,,,323
n =±±±
的图像和性质，列表如下． 从中可以归纳出以下结论：
① 它们都过点()1,1，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限．
② 11,,1,2,332a =时，幂函数图像过原点且在[)0,+∞上是增函数．
③ 1
,1,22
a =---时，幂函数图像不过原点且在()0,+∞上是减函数．
④
任何两个幂函数最多有三个公共点．
n y
x =
奇函数
偶函数
非奇非偶函数
1n >
01
n <<
0n <
y x =
2y x =
3y x =
12
y x =
1y x -=
定义域 R R R {}|0x x ≥ {}|0x x ≠
奇偶性
奇
奇
奇
非奇非
偶
奇
在第Ⅰ象限的
增减性
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ
象限单
调递增
在第Ⅰ象限单
调递增 在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单
调递减
幂函数y x α
=（x ∈R ，α是常数）的
图像在第一象限的分布规律是：
O
x
y
O
x
y O
x
y O
x
y
O
x y
O
x
y
①所有幂函数y x α
=（x ∈R ，α是常数）的图像都过点)1,1(；
②当21
,
3,2,1=α时函数y x α
=的图像都过原点)0,0(；
③当1=α时，y x α
=的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如2c ）；
④当3,2=α时，y x α
=的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如1c ）
⑤当21
=
α时，y x α
=的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如3c ）
⑥当1-=α时，y x α
=的的图像不过原点)0,0(，且在第一象限是“下滑”曲线（如4c ）
当0>α时，幂函数y x α
=有下列性质： （1）图象都通过点)1,1(),0,0(；
（2）在第一象限内都是增函数；
（3）在第一象限内，1>α时，图象是向下凸的；10<<α时，图象是向上凸的；
（4）在第一象限内，过点)1,1(后，图象向右上方无限伸展。
当0<α时，幂函数y x α
=有下列性质： （1）图象都通过点)1,1(；
（2）在第一象限内都是减函数，图象是向下凸的；
（3）在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近；向右无限地与x 轴无限地接近；
（4）在第一象限内，过点)1,1(后，α越大，图象下落的速度越快。
无论α取任何实数，幂函数y x α
=的图象必然经过第一象限，并且一定不经过第四象限。
对号函数
函数x b
ax y +=（a>0,b>0）叫做对号函数，因其在（0，+∞）
的图象似符号“√”而得名，利用对号函数的图象及均值不等式，当x>0时，a b x
b
ax 2
≥+（当且仅当x
b
ax =即a
b
x =时取等号），由此可得函数x
b
ax y +
=（a>0,b>0,x ∈R +）的性质:
当a b x =时，函数x
b ax y +=（a>0,b>0,x ∈R +）有最小值a b 2，特别地，当a=b=1时函数有最小值2。
函数x b ax y +=（a>0,b>0）在区间（0，
a b ）上是减函数，在区间（a b ，+∞）上是增函数。
因为函数x b ax y +=（a>0,b>0）是奇函数，所以可得函数x
b ax y +=（a>0,b>0,x ∈R -）的性质： 当a b x -=时，函数x b ax y +=（a>0,b>0,x ∈R -）有最大值-a b 2，特别地，当a=b=1时函数有最大值-2。
函数x
b
ax y +=（a>0,b>0）在区
间（-∞，-a b ）上是增函数，在区间（-a b ，0）上是减函。