18数学分析-1复习题参考答案一、选择题 1.函数1()ln(2)f x x =-的连续区间是 （ B ）A. (2,)+∞ ;B. (2,3)(3,)⋃+∞;C. (,2)-∞ ;D. (3,)+∞.2.若函数xx x f =)(，则=→)(lim 0x f x （ D ）.A.0 ;B.1- ;C.1 ;D.不存在. 3.下列变量中，是无穷小量的为（ C ）. A.1ln(0)x x +→; B.cos (0)x x →;C.ln (1)x x → ;D.22(2)4x x x -→-. 4. 1lim(1)1nn n →∞+=+（ B ）. 12.1...-A B eC eD e5.1lim(1)1→∞+=-nn n （ B ）. 12.1...-A B eC eD e6.下列两个函数是同一函数的是 （ C ）A. ()3,()f x x x ϕ=+=41()ln ,()ln 4f x x x x ϕ== ;C. 22()sin cos ,()1f x x x x ϕ=+= ; D. 2(1)(),()11x f x x x x ϕ-==-- . 7.2239lim 712x x x x →-=-+ ( C ) A.0 ; B.25- ; C.6- ; D. 76.8．0sin 2lim →=x xx（ D ）A. 0 ;B. 1 ;C. 3 ; D . 2 .9.=→xx x 1sin lim 2（ C ）. 11A B C D ∞-10. 函数3412++-=x xy 的定义域是( B ) A. 2±≠x ; B. 2±≠x 且3-≥x ; C.3-≥x ; D. 以上均不正确.),1.();,.();1,.();1,1.()(|2|||.11+∞+∞-∞-∞-->D C B A D x x x 的集合是所有用区间表示满足不等式12.当0→x 时,下列（ B ）为无穷小量A ．x e ;B ．x sin ;C ．sin x x ;D ．xx 1sin )1(2+13.=→xxx 3sin 5sin lim 0 ( D )A .0 ; B. 1 ; C. 不存在; D. 35.14.设函数x x x f -+=33)(，则)(x f 在),(+∞-∞内为( A ) A. 偶函数; B.奇函数; C. 非奇非偶函数 ; D.以上均不对. 15. 函数()1ln f x x=+的定义域是( D ) ().2,2A - ; [)(].0,11,2B ⋃ ; ()().2,11,2C -⋃ ; ()().0,11,2D ⋃.16.函数1sin y x=是定义域内的( C ).A 周期函数 ; .B 单调函数 ; .C 有界函数; .D 无界函数. 17.已知；()sin 2cos f x x x =+，则(0)f =（ A ） A.2 ; B. 0 ; C. 1; D.-1 ..210.;210.;110.;110.)()2lg(1.181122-=+=-=+=++=----x x x x y D y C y B y A D x y 的反函数是函数..;;.;..)(}.80|{},55|{.19B B A D B A C B A B B B A A A x x B x x A ⊃⊃⊂⊂≤≤=≤≤-= 则有设二、填空题1.已知函数(1)(1)f x x x -=-，则函数f ()x = x 2+x 。

2. 当k= 1 时，2,0(),x e x f x x k x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩在0=x 处连续.._,.3基本初等函数三角函数统称为数函数，三角函数和反幂函数，指数函数，对常数函数4. =→x xx 3sin 5sin lim极限 35 . xx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→321lim .5极限= 32e .的间断点是函数321)(.62--+=x x x x f x=-1,x=3 . 的定义域为则函数的定义域为若函数)ln 1(],2,1[)(.7x f x f y -= ]1,[1-e .8.22lim 51x x x →+∞=+ 51. 9. 若lim 1n n x →+∞=，则2lim2n nn x x +→+∞+= 1 .10. 极限+∞→xx xx 2)1(lim 2e ． 2 011. ()0 _____ 0x e x f x x a a x x ⎧⎪+<===⎨+≥⎪⎩，设在处连续，则，a=312. =→xxx tan lim 0___1____.13. 设函数221,32x y x x -=-+则1x =是 可去 间断点. 14.⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→211lim xx x 三.解答题1.)(lim 633)(3223x f x x x x x x f x -→-+--+=的连续区间，并求极限求函数. 除分母为0的区间是连续区间,……2.已知函数22,0(),0x x f x x a x ⎧+≥=⎨+<⎩在实数集R 上连续，求值。

a解：)2(lim )(lim 20+=++→→x x f x x =2,a a x x f x x =+=--→→)(lim )(lim 0处连续，则在点要使函数0)(=x x f)(lim 0x f x +→=2)0()(lim -0==→f x f x ,2=∴a3⎪⎭⎫⎝⎛---→4421lim :.22x x x 求极限..4121lim 42lim 442lim :22222=+=--=⎪⎭⎫⎝⎛--+=→→→x x x x x x x x 原式解 4.求极限xx x 11lim-+→. 解:21111lim )11()11)11(lim 11lim000=++=++++-+=-+→→→x x x x x x x x x x ).()(),1(,23)(.52x f x x f xf x x x f -+∆+-=求若.32)23(]2)(3)[()()(;233121311:22222x x x x x x x x x x x f x x f x x x x f ∆-∆+∆=+--++∆-+∆=-+∆+-=+⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛解 ??}{,}{,}{.6为什么的极限是否存在问的极限存在的极限不存在设n n n n y x y x +.,}{,)(,}{,}{.:这与题设是矛盾的存在的极限即的存在以推出根据极限的四则运算可的极限存在则由的极限存在因为若一定不存在答n n n n n n n x y y x y y x -++ )1(lim .72n n n -++∞→用迫敛定理求极限.0)1(lim :,01lim 0lim ),(,11110:222=-+∴==<++=-+<+∞→+∞→+∞→n n n nn n n n n n n 由迫敛定理得且放大分子有理化后解8.下面函数能否复合为函数)]([x g f y =. 若能,写出其解析式﹑定义域和值域.解:.)(,)(2x x x g u u u f y -====9.求极限 x x x 2sin 24lim 0-+→.解：x x x 2sin 24lim-+→0x →=01128x →==),1sin lim,(0最后用代入法利用分子有理化后=→xxx10.下列函数是否相等,为什么? 222(1)()();(2)sin (31),sin (31);1(3)(),() 1.1f x g x y x u t x x f x g x x x ===+=+-==+- 解: (1)相等.因为两函数的定义域相同,都是实数集R;x =知两函数的对应法则也相同;所以两函数相等.(2)相等.因为两函数的定义域相同,都是实数集R,由已知函数关系式显然可得两函数的对应法则也相同,所以两函数相等.(3)不相等.因为函数()f x 的定义域是{,1}x x x ∈≠R ,而函数()g x 的定义域是实数集R,两函数的定义域不同,所以两函数不相等.11.求函数1sin ,00,0x y x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩的定义域与值域.解: 由已知显然有函数的定义域为(-∞,+∞),又当0x ≠时,1x可以是不为零的任意实数,此时,1sinx可以取遍[-1,1]上所有的值,所以函数的值域为[-1,1]. 12.设1,10()1,02x f x x x -≤<⎧=⎨+≤≤⎩,求(1)f x -.解: 1,1101,01(1).(1)1,012,13x x f x x x x x -≤-<≤<⎧⎧-==⎨⎨-+≤-≤≤≤⎩⎩].41,()(-∞值域为x g ).,0[)(+∞的定义域为u f .]41,0[故能复合它们的交集，Φ≠2)]([xx x g f y -==},10|{≤≤=∈x x D x ]21,0[)(=D f13.设()2,()ln x f x g x x x ==,求(()),(()),(())f g x g f x f f x 和(())g g x . 解:()ln (())22,g x x x f g x ==(())()ln ()2ln 2(ln 2)2,x x x g f x f x f x x ==⋅=⋅()2(())22,(())()ln ()ln ln(ln ).xf x f f xg g x g x g x x x x x ====14.已知水渠的横断面为等腰梯形,斜角ϕ=40°,如图所示.当过水断面ABCD 的面积为定值S 0时,求湿周L (L =AB +BC +CD )与水深h 之间的函数关系式,并指明其定义域.图1-1解:011()(2cot )(cot )22S h AD BC h h BC BC h BC h ϕϕ=+=++=+从而 0cot SBC h hϕ=-.000()22cot sin sin 2cos 2cos 40sin sin 40L AB BC CD AB CD S h hBC h hS S h h h h ϕϕϕϕϕ=++==+=+---=+=+ 由00,cot 0S h BC h hϕ>=->得定义域为40) 15.当0x →时，22x x -与23x x -相比，哪个是高阶无穷小量？解：232200lim lim 022x x x x x x x x x→→--==--, ∴当0x →时，23x x -是比22x x -高阶的无穷小量. 16.求下列函数在指定点处的左、右极限，并说明在该点处函数的极限是否存在？,0,(1)()10,xx f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 在0x =处; 2,2(2)()102x x f x x x +≤⎧⎪=⎨>⎪-⎩ 在2x =处.解：00(1)lim ()lim lim 1,x x x x x f x x x+++→→→=== 000lim ()lim lim 1x x x x x f x x x ---→→→-===-因为 0lim ()lim ()x x f x f x +-→→≠ 所以0lim ()x f x →不存在.(2)22221lim ()lim ,lim ()lim(2)42x x x x f x f x x x ++--→→→→==+∞=+=-因为2lim ()x f x +→不存在，所以2lim ()x f x →不存在. 17. 研究下列函数的连续性，并画出图形：2,1,,01,(1)()(2)()1,1;2,12;x x x x f x f x x x x≤⎧≤≤⎧==⎨⎨>-<<⎩⎩ 解：(1)由初等函数的连续性知，()f x 在（0，1），（1，2）内连续， 又21111lim ()lim(2)1,lim ()lim 1x x x x f x x f x x ++--→→→→=-=== 1lim ()1,x f x →∴= 而(1)1f =，()f x ∴在1x =处连续，又，由2lim ()lim 0(0)x x f x x f ++→→===，知()f x 在0x =处右连续， 综上所述，函数()f x 在[0，2)内连续. 函数图形如下：(2) 由初等函数的连续性知()f x 在(,1),(1,1),(1,)-∞--+∞内连续，又由1111lim ()lim 11,lim ()lim 1,x x x x f x f x x --++→-→-→-→-====-知1lim ()x f x -→-不存在，于是()f x 在1x =-处不连续.又由1111lim ()lim 1,lim ()lim11,x x x x f x x f x --++→→→→==== 及(1)1f =知1lim ()(1)x f x f →=，从而()f x 在x =1处连续，综上所述，函数()f x 在(,1)-∞-及(1,)-+∞内连续，在1x =-处间断.函数图形如下：18.已知一个无盖的圆柱形容器的体积为V ，试将其高表为底半径的函数，并将其表面积表为底半径的函数。