《图论及其应用》大作业指导老师郝荣霞知行1503 徐鹏宇 152912002.1.9证明：若G是森林且恰有2k个奇点，则在G中有k条边不重的路P1,P2......P K,使得E(G)=E(P1) E(P2) ...... E(P K)。

证明：对奇点数k使用数学归纳法。

①当k=1时，G是森林，且有且只有2个奇点⇒G只能为一颗树，且G的所有奇度顶点为两个1度顶点⇒G是一条路⇒满足题设②假设当k=t时，结论成立。

接下来考虑k=t + 1时的情况。

在G中一个分支中取两个叶子点u与v，令P是连接该两个顶点的唯一路。

由于P上除u，v以外的点均被P经过两次，即G-P后除u，v以外的点奇偶性不变。

⇒则G–P是有2t个奇度顶点的森林⇒由归纳假设知，G–P可以分解为t条边不重合的路之并，即E(G-P)=E(P1) E(P2) ...... E(P t)。

⇒则G可分解为t+1条边不重合的路之并，即E(G)=E(P1) E(P2) ...... E(P t) E(P)。

⇒即证。

2.4.4证明：若e 是K n 的边，则τ（K n -e ）=（n-2）n n-3证明：由定理2.9：τ（K n ）=n n-2由于τ（K n -e ）=τ（K n ）-τ（含有e 的生成树棵树）现在需要求含有e 的生成树棵树，τ（含有e 的生成树棵树）=)1(21n 1-n 2-n n n ）（=2n n-3τ（K n -e ）=τ（K n ）-τ（含有e 的生成树棵树）=（n-2）n n-33.2.4证明：不是块的连通图至少有两个块，其中每个恰有一个割点。

证明：设G 为不是块的连通图，由于G 连通且不是块⇒G 有割点①当G 只有1个割点v 时，延割点分开，G1，G2内无割点，且连通，由块的定义知⇒G1,G2是块，且分别含一个割点v 。

②当G 含有2个及2个以上割点时，取相距距离最远的两个割点u 和v ，此时分G 为三部分G1,G2,G3。

由于u ，v 是相距最远的两割点⇒G1和G3不含割点。

又由于G 连通，G1,G3为G 的一部分⇒故G1,G3连通。

⇒G1，G3内无割点，且连通。

⇒G1，G3是块，且分别含割点u ，v 。

⇒即证G1 G2v G1 G3G2 v u5.2.2（a ）证明：偶图G 有完美对集当且仅当对所有S ⊆V 有S S N ≥)(。

（b ）举例说明：舍弃G 是偶图这个条件之后，上述语句就不再成立。

（a ）证明：①必要性⇒偶图G 有完美对集M ⇒∀S ⊆G 由于M G ≥⇒S S N S N M G =≥)()( ⇒即证。

②充分性⇐偶图G 对所有S ⊆G 有S S N ≥)(。

将G 分为偶图的两部分X 和Y 。

取S X =。

⇒X X N ≥)(，又)(X N Y ≥。

⇒X X N Y ≥≥)(。

同样，取S Y =。

同理， ⇒Y Y N X ≥≥)(。

⇒)()(X N Y N Y X ===由定理5.2，偶图G 对所有S ⊆X 有S S N ≥)(，则G 为含有饱和X 每个顶点的对集。

又因为X ，Y 的对称性。

⇒偶图G 有完美对集。

（b ）证明：例：当G 为3K 时，3K 满足对所有S ⊆V 有S S N ≥)(，但3K 没有完美对集。

即上述语句不再成立。

5.3.3证明一棵树G 有完美对集当且仅当1)(=-νοG 对于所有V ∈ν成立。

证明：①必要性⇒一棵树G 有完美对集M ，由定理5.4，由于G 是完美对集，则1)(=≤-ννοG 。

且由于G 是完美对集，则）（G ν为偶数⇒）（νν-G 为奇数。

⇒1)(≥-νοG⇒1)(=-νοG ，即证。

②充分性⇐由于对所有的V ∈ν有1)(=-νοG ，即存在ν-G 中唯一的奇分支C 0(v),令C 0(v)与v 的关联边为e （v ）=uv 。

此时v 与e （v ）存在一一对应关系，且e （u ）=uv 。

由于v 选择的任意性，于是}）v （{e =M 。

M 为G 的一个完美匹配。

6.1.6证明：若G是偶图，且0>δ，则G有一个δ边着色，使得所有δ种颜色都在每个顶点上表现。

证明：（反证法）假设G是偶图，且0δ，但是无法使得所有δ种颜色都在每个顶点上>表现。

即G存在一个最优δ边着色，满足d（v））≥δ（v上表现的不同颜色数目）>（vc由于引理6.1.2（G存在一个最优δ边着色，对于G中的一个顶点u 和颜色i，j，使得i不在u上表现，而j在u上至少表现两次，则G 中包含u的那个分支是奇圈。

）⇒G中包含奇圈⇒G不是偶图，导出矛盾。

⇒原命题成立。

7.1.1（a ）证明：G 是偶图当且仅当对G 的每个子图H 均有)(21H v H ≥）（α（b ）证明：G 是偶图当且仅当对G 的每个适合0>）（H δ的子图H 均有)('H H βα=）（ 证明：①必要性⇒由于G 是偶图，G 含有二分类（X ，Y ）。

由于H 是G 的子图，H 也为含有二分类（X ，Y ）的偶图。

令H X S =,H Y T =,即得，)(21}v max{v H v T S H ≥≥）（），（）（α。

⇒必要性得证。

②充分性⇐（反证法）假设G 非偶图，则G 必含有奇圈H ，由于奇圈的性质)(211)-v (21H v H H <=）（）（α 与题设)(21H v H ≥）（α矛盾，⇒充分性得证。

(b)证明：①必要性⇒由于G 是偶图，G 含有二分类（X ，Y ）。

由于H 是G 的子图，H 也为含有二分类（X ，Y ）的偶图。

故对于子图H ，0>）（H δ。

此时满足定理7.3的条件⇒)('H H βα=）（ ⇒必要性得证。

②充分性⇐（反证法）假设G 非偶图，则G 必含有奇圈H ，由于奇圈的性质，有)('H H βα<）（，与题设)('H H βα=）（不符。

即假设为否。

⇒充分性得证。

第八题（外找：图论的应用）在平面上有n 个点S ＝{x1，x2,……,xn}，其中任两个点之间的距离至少是1，证明在这n 个点中距离为1的点对数不超过3n 。

证明：首先，将本题叙述转化为图的形式：将平面上S 中两点之间距离 d （u ，v ）恰好等于1的点对相连。

得到图G （V,E ），其中E ，每条边连接的都是距离为1的点。

分析任一个顶点V ∈u ,设在图G 中与u 相连的点数为v1，v2，v3.......vk 。

由于题意：S 中任两个点之间的距离至少是1，所以，以u 为圆心画半径为1的圆，圆上最多有6个点。

即6k ≤。

⇒每个S 中顶点的度数6≤∆）（G 由握手定理（定理1.1）6n 2)u (d v ≤=∑∈εV⇒即3n ≤ε即证明这n 个点中距离为1的点对数不超过3n 。

第九题（外找：补图）若图G是不连通的，则G的补图G是连通的。

证明：设G=（V，E）不连通，其连通分支为G1，G2，…Gs，其相应的节点集为V1，V2，…Vs，任取G中的两个节点u，v∈V ，①若u，v分属于G中不同的连通分支，则(u,v)∈G，因此u，v在G中连通。

②若u，v分属于G中同一个连通分支，则从另一连通分支中任取一结点w，则(u,w)∈G，(v,w)∈G，于是在G中存在一条道路uwv，使得u，v连通。

综上所述，对于G中任意2个结点，u，v总有路相连，故G是连通的。

G1 G2v’ w第十题（外找：欧拉公式的应用）设G是有11个或更多结点的图，证明G或G（补图）是非平面图。

证明：（反证法）设G和G都是平面图，设G和G的顶点数分别为n和n，边数分别为m和m，则n=n，m+m=（1/2）n(n-1)（补图的性质）由欧拉定理可知，m≤3n-6，m≤3n-6（推论9.5.2）（1/2）n(n-1)= m+m≤3n-6+3n-6=6n-12即 n2-13n+24≤0从而得出n<11，与n≥11相矛盾，故G和G不可能同时为平面图，即n≥11时，G或G（补图）是非平面图。

证明在n阶连通图中至少有n-1条边。

证明：①先证明d(v)均≥2的情形若对∀v∈V(G),有d(v)≥2,则由定理1.1：2m=∑d(v)≥2n⇒ m≥n>n-1,即证。

②现证有一度顶点情况。

若G中有1度顶点，对顶点数n作数学归纳。

当n=2时，G显然至少有一条边，结论成立。

设当n=k时，结论成立，当n=k+1时，设d(v)=1，则G-v是k阶连通图，因此至少有k-1条边，所以G至少有k条边。

⇒即证。

△和δ是简单图G 的最大度和最小度，则δ≤2m / n ≤△。

证明：∆≤≤∴≥∆⇒∆==≤⇒≥=∑∑∈∈nm nm nv d m nm n v d m Vv Vv 22)(22)(2δδδ证明：若δ≥2，则G包含圈。

证明：只就连通图证明即可。

设V(G)=｛v1,v2,…,vn｝,对于G中的路v1v2…vk,若vk与v1邻接，则构成一个圈。

若vi1，vi2，…vin是一条路，由于δ≥ 2，因此，对vin，存在点vik与之邻接，则vik⋯vin，vik构成一个圈。

（a ）证明图是可平面图的充要条件是它的每一块均是可平面的。

（b ）推导极小非可平面图（即任意真子图均为可平面图）是一个单块。

证明：（a ）①必要性⇒由定义可得。

②充分性⇐使用数学归纳法。

假设G 连通，对块数n 使用归纳法。

当n=1时，结论成立。

假设n<k 时结论成立。

现证当2k n =≥的情形：设v 是G 的割点，且G -v=G1+G2，显然G1,G2的块数均小于k 。

由归纳法设G1,G2均是可平面图，再有定理9.3⇒得到G 的一个平面嵌入。

⇒充分性得证。

（b ）若G 是极小非可平面图，G 应是单图。

又若G 不是单块，于是G 中存在割点，将G 分解为G1,G2,G3... 由（a ）知，这些块中必有非可平面块，这与G 是极小非可平面图矛盾。

即证明G 是一个单块。

9.2.4设G 是平面图，证明：G**≅G 的充要条件是G 是连通的 证明：①必要性⇒由于G 是平面图，G 中的点和边将G 所在的平面划分成内点不相交的闭区域。

这些面中的任意两面均可通过有公共边的面相连，故连通。

从而G ** 连通，又因为G **≅G ，所以G 连通。

⇒必要性得证。

②充分性⇐由对偶图的定义，G 和G *嵌入在同一平面上，当G 连通时G *的无界面f 仅含G 的唯一顶点v ，除v 外，G 中的其他顶点u 均与G *中相应的边一一对应。

于是G 中顶点和G *中顶点一一对应，且邻接关系不变。

故G **≅G⇒充分性得证。

*G。