江苏省南通市2020 年中考数学试题一、选择题（本大题共10 小题，每小题 3 分，共30 分．在每小题所给出的的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）1．计算：（﹣5）+3的结果是（）A．﹣8 B．﹣2 C． 2 D．82．把多项式m2﹣9m分解因式，结果正确的是（）A．m（m﹣9）B．（m+3）（m﹣3）C．m（m+3）（m﹣3）D．（m﹣3）23．在下面几何体中，其俯视图是三角形的是（）4．2016年国庆节期间，沈阳共接待游客约657.9万人次，657.9 万用科学记数法表示为（）A．0.6579 × 103 B． 6.579 ×102 C．6.579 ×106 D．65.79 ×1055．某校调查了20 名男生某一周参加篮球运动的次数，调查结果如表所示，那么这20 名男生该周参加篮球运动次数的平均数是（）A．3 次B．3.5 次C．4 次D．4.5 次6．在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点B在x 轴正半轴上，∠AOB＝60°，OA＝8．点 A 的坐标是（）A ．（ 4，8）B ．（ 4，4 ）C ．（ 4 ，4）D ．（ 8，4）C ．△ BCD ≌△ CDE D ． AB ⊥ BD8．分式方程＝ 的解是（ ）A ．x ＝﹣2B ．x ＝﹣3C ．x ＝2D ．x ＝39．已知点 A （﹣2，y1）、B （﹣ 4，y2）都在反比例函数 y ＝ （k <0）的图象上，则 y1.y2 的大小关系为（ ）A ．y1>y2B ．y1< y2C ．y1＝ y2D ．无法确定10．二次函数 y ＝ ax2+bx+c 的图象如图所示， 下列结论： ① a+c > b ；②4ac <b2；③2a+b >0．其11．计算：22 （ 3 1）012． 5G 信号的传播速度为 300000000m/s ，将 300000000 用科学记数法表示为13．分解因式： x 3 x．14．如图，△ABC 中，AB=BC ，∠ABC=90°，F 为AB 延长线上一点，点 E 在BC 上，且 AE=CF ， 若∠ BAE=25°，则∠ ACF= 度．则下列结论正确的是（∠ BCE ＝ 36° B ．△ BCF 是直角三角形3 分，共 24 分．不需写出解答过程）A．BD.CE 相交于点 F ，15．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一．书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：共有几个人？”设共有x 个人共同出钱买鸡，根据题意，可列一元一次方程为．16．已知圆锥的底面半径为2cm，侧面积为10π cm2，则该圆锥的母线长为cm ．17．如图，过点C（3,4 ）的直线y 2x b 交x 轴于点A，∠ ABC=90°，AB=CB，曲线ky （x 0）过点B，将点A沿y 轴正方向平移a个单位长度恰好落在该曲线上，则a的值x 为．3 18．如图，ABCD中，∠ DAB=60°，AB=6，BC=2，P 为边CD上的一动点，则PB PD2 的最小值等于．三、解答题（本大题共10 小题，共96 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）4x 119．（本小题满分8 分）解不等式：4x 1 x 1 ，并在数轴上表示解集．320．（本小题满分8分）先化简，再求值：m 4m 4 m22，其中m 2 2．2m m21．（本小题满分8 分）如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点 A 和B．连接AC并延长到点D，使CD=CA．连接球、 1 个黄球的概率．23．（本小题满分8 分）列方程解应用题：中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为传承优秀传统文化，某校购进《西游记》和《三国演义》若干套，其中每套《西游记》的价格比每套《三国演义》的价格多40 元，用3200 元购买《三国演义》的套数是用2400 元购买《西游记》套数的 2 倍，求每套《三国演义》的价格．24．25．24．（本小题满分10 分）8年级某老师对一、二班学生阅读水平进行测试，并将成绩进行了统计，绘制了如下图表（得分为整数，满分为10 分，成绩大于或等于6分为合格，成绩大于或等于9 分为优秀）．根据图表信息，回答问题：（1）用方差推断，班的成绩波动较大；用优秀率和合格率推断，班的阅读水平更好些；（2）甲同学用平均分推断，一班阅读水平更好些；乙同学用中位数或众数推断，二班阅读水平更好些．你认为谁的推断比较科学合理，更客观些．为什么？25．（本小题满分9 分）如图，在Rt△ABC中，∠ ACB=90°，∠ A=30°，BC=1，以边AC上一点O 为圆心，OA为半径的⊙ O经过点B．（1）求⊙ O 的半径；（2）点P为A⌒B中点，作PQ⊥AC，垂足为Q，求OQ的长；（3）在（2）的条件下，连接PC，求tan ∠PCA的值．26．（本小题满分 10 分）已知：二次函数 y x 2 4x 3a （2 a 为常数）． （1）请写出该二次函数图像的三条性质；（2）在同一直角坐标系中， 若该二次函数的图像在 x 4 的部分与一次函数 y 2x 1的图 像有两个交点，求 a 的取值范围．27、（ 13 分）如图，矩形 ABCD 中， AB=2,AD=4,E,FF 分别在 AD,BC 上，点 A 与点 C 关于 EF 所在的直线对称， P 是边 DC 上的一动点，（ 1）连接 AF ， CE ，求证四边形 AFCE 是菱形；DP（2）当 PEF 的周长最小时，求 DP 的值；3）连接 BP 交 EF 于点 M ，当 EMP 45 时，求 CP 的长。

28、（ 13分）定义：若实数 x ，y 满足 x 2 2y t ，y 2 2x t ，且 x y ，则称点 M （x，CPy）为“现点”。

例如，点（0,2 ）和（-2,0 ）是“线点”。

已知：在直角坐标系xOy 中，点P（m，n），（1）P（1 3,1）和P（2 -3,1）两点中，点是“线点”；（2）若点P 是“线点”，用含t 的代数式表示mn，并求t 的取值范围；（3）若点Q（n，m）是“线点”，直线PQ分别交x轴、y 轴于点A，B，当POQ AOB 30 时，直接写出t 的值。

数学参考答案1．计算：（﹣5）+3的结果是（）A．﹣8 B．﹣2 C． 2 D．8【分析】根据有理数的加法法则，求出（﹣5）+3 的结果是多少即可．【解答】解：（﹣5）+3 的结果是﹣2．故选：B．【点评】此题主要考查了有理数的加法的运算方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确有理数的加法法则．2．把多项式 m2﹣ 9m 分解因式，结果正确的是（ C ． m （ m+3）（ m ﹣3） D ．（ m ﹣3）2 【分析】直接找出公因式 m ，提取分解因式即可．【解答】解： m2﹣ 9m ＝m （ m ﹣9）． 故选： A ．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．3．在下面几何体中，其俯视图是三角形的是（）分析】根据俯视图是从上边看得到的图形，可得答案． 【解答】解： A. 圆柱的俯视图是圆，故 A 不符合题意；B. 圆锥的俯视图是圆，故 B 不符合题意；C. 正方体的俯视图是正方形，故 C 不符合题意；D. 三棱柱的俯视图是三角形，故 D 符合题意；故选： D ．【点评】本题考查了简单几何体的三视图，熟记常见几何体的三视图是解题关键．4．2016年国庆节期间，沈阳共接待游客约 657.9万人次，657.9 万用科学记数法表示为 （ ） A ．0.6579 × 103 B ． 6.579 ×102 C ．6.579 ×106 D ．65.79 ×105【分析】利用科学记数法的表示形式为 a ×10n 的形式，其中 1≤|a| <10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值> 1时， n 是正数；当原数的绝对值< 1时， n 是负数． 【解答】解： 657.9 万用科学记数法表示为： 6.579 × 106． 故选： C ．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a ×10n 的形式，其中 1≤|a| <10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值．5．某校调查了 20 名男生某一周参加篮球运动的次数，调查结果如表所示，那么这 生该周参加篮球运动次数的平均数是（ ）A ．m （ m ﹣ 9）B ．（ m+3）（ m ﹣ 3）20 名男A．3 次B．3.5 次C．4 次D．4.5 次【分析】加权平均数：若n 个数x1，x2，x3 ，⋯，xn 的权分别是w1，w2，w3，⋯，wn，则（x1w1+x2w2+⋯+xnwn）÷（w1+w2+⋯+wn）叫做这n 个数的加权平均数，依此列式计算即可求解．【解答】解：（2×2+3×2+4×10+5×6）÷ 20＝（4+6+40+30）÷ 20＝80÷20＝4（次）．答：这20名男生该周参加篮球运动次数的平均数是 4 次．【点评】本题考查的是加权平均数的求法．本题易出现的错误是求2，3，4，5 这四个数的平均数，对平均数的理解不正确．6．在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点B在x 轴正半轴上，∠AOB＝60°，OA＝8．点 A 的坐标是（）A．（4，8）B．（4，4 ）C．（ 4 ，4）D．（8，4）【分析】根据直角三角形的性质得出点 A 的横坐标为4，再用勾股定理得出点A的纵坐标为 4 ，从而得出答案．【解答】解：∵点A在第一象限，点B在x 轴正半轴上，∠ AOB＝60°，OA＝8，∴点 A 的横坐标为4，由勾股定理得点 A 的纵坐标为＝ 4 ，点 A 坐标（4， 4 ），故选：B．【点评】本题考查了坐标与图象的特征，掌握直角三角形的性质以及勾股定理是解题的关键．7．如图，正五边形ABCDE的对角线BD.CE相交于点F，则下列结论正确的是（）A．∠ BCE＝36° B．△ BCF是直角三角形C．△ BCD≌△ CDE D．AB⊥ BD【分析】在正五边形ABCDE中，易知BC＝CD＝DE，∠ BCD＝∠ CDE＝108°，由此可证△ BCD ≌△ CDE解决问题．【解答】解：在正五边形ABCDE中，易知BC＝CD＝DE，∠ BCD＝∠ CDE＝108°，在△ BCD和△ CDE中，，∴△ BCD≌△ CDE，故选：C．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、正五边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，记住正五边形的有关性质，属于中考常考题型．8．分式方程＝的解是（）A．x＝﹣2 B．x＝﹣3 C．x＝2 D．x＝3【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：x＝3x﹣6，解得：x＝3，经检验x ＝3 是分式方程的解，故选：D．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．9．已知点A（﹣2，y1）、B（﹣4，y2）都在反比例函数y＝（k<0）的图象上，则y1.y2 的大小关系为（）A．y1>y2 B．y1< y2 C．y1＝y2 D．无法确定【分析】直接利用反比例函数的增减性分析得出答案．【解答】解：∵点A(﹣2，y1)、B(﹣4，y2 )都在反比例函数y＝ ( k< 0)的图象上，∴每个象限内，y 随x 的增大而增大，∵﹣2>﹣4∴y1>y2，故选：A．【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确把握反比例函数的性质是解题关键．10．二次函数y＝ax2+bx+c 的图象如图所示，下列结论：① a+c> b；②4ac<b2；③2a+b>0．其A．①② B ．①③ C．②③ D．②【分析】分别根据x＝﹣ 1 时y<0 和抛物线与x 轴的交点、抛物线的对称轴在x＝1 右侧列式即可得．【解答】解：由图象知，当x＝﹣1 时，y＝a﹣b+c< 0．即a+c< b，故①错误；∵抛物线与x 轴有 2 个交点，∴b2 ﹣4ac> 0，即4ac< b2，故②正确；∵抛物线的对称轴x＝﹣ >1，且a< 0，∴﹣b< 2a，即2a+b> 0，故③正确；故选：C．【点评】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用是解题关键．11． 3 解析：本题考查了实数的计算，22( 3 1)0 4 1 3．8812．3 108解析：本题考查了科学计数法，300000000=3 100000000= 3 108．13．x(x 1)(x 1) 解析：本题考查了分解因式，遵循先提取公因式，再利用平方差公式的顺序，x3 x x(x2 1) x(x 1)(x 1)．21．解析：本题考查了全等的应用，本题只需证明△形对边相等来完成证明．14．70 解析：本题考查了全等的判定，先利用 HL 证明△ ABE ≌△ CBF ，可证∠ BCF=∠BAE=25°，即可求出∠ ACF=45° +25°=70°．15． 9x 11 6x 16 解析：本题考查了一元一次方程的应用，总钱数=9×人数— 11；总钱数 =6×人数 +16．16．5 解析：本题考查了圆锥侧面积公式，根据S 侧 π Rr ，可知 10π π R 2，可求得 R=5．17．4 解析：本题考查了反比例函数与几何图形的综合，可考虑分别过点B 、点C 作 y 轴和 x 轴的平行线， 两条平行线相交于点 M ，与 x 轴的交点为 N ．将 C （ 3,4 ） 代入 y 2x b 可得 b=— 2，然后求得 A 点坐标为（ 1,0 ），利用全等 的判定可证明△ ABN ≌△ BCM ，可得 AN=BM=，3CM=BN=，1可求出 B （4,1 ），4即可求出 k=4， A 点向上平移 4个单位后得到的点（ 1,4）在 y 上，x即 a=4．18． 3 3 解析：本题考查了平行四边形的性质和线段之和最短问题，过点 P 作 PQ ⊥ AD于点Q ，由于∠ PDQ=60°，因此 PQ 23PD ，当 B 、P 、Q 三点共线时，即点B 到 AD 的垂33线段上即为 PB 23 PD 的最小值， PB 3 PD 的最小值为AB cos6019．解析：本题考查了一元一次不等式的解法，按照去父母、去括号、 合并同类项的步骤做即可．解：两边同乘以 3，得 4x 1 3x 3 ．移项，得 4x 3x 31．合并同类项，得 x 4 ．把解集在数轴上表示为：20．解析：本题考查分式的化简求值，按照先将分子、父母因式分解， 然后约分化简，最后代入求值的步骤来做．解：原式m 2 4m 4? m 2m2(m 2) ? mm22m m 2 2m ． 2把 m 2 2 代入上式，原式m 2 2m m(m2) ( 2 2) 2 2 2 2 ．ABC 与△ DEC 全等，即可通过全等三角CA CD,证明：在△ ABC 和△ DEC 中， ACB DCE , ∴△ ABC ≌△ DEC ．∴ AB=DE ．CB CE,22．解析：本题考查了概率的求法，可先画出树状图列出所有可能性．解：根据题意画出树状图：31白 1 黄的有 3 种．所以 P （1白1黄 ） 3 1 ．6223．解析：本题考查了分式方程的应用问题，题目中包含两个相等关系， =《三国演义》单价 +40元”，“ 3200元购买《三国演义》的套数 =用 2400元购买《西游记》 套数的 2 倍”，利用第一个相等关系设出未知数，第二个相等关系列出方程．解：设每套《三国演义》的价格为 x 元，则每套《西游记》的价格为 x 40 元． 由题意，得 3200 2? 2400 ．方程两边乘 x （x 40） ，得320（0 x 40） 4800x ．x x 40解得 x 80 ．经检验， x 80是原方程的解， 且符合题意． 所以，原分式方程的解为 x80． 答：每套《三国演义》的价格为 80 元．24．解析：本题考查了数据的收集整理与描述，在解决第 2 个问题的时候一定要注意．解：（ 1）二 一（2）乙同学的推断比较科学合理．理由：虽然二班成绩的平均分比一班低，但从条形图中 可以看出， 二班有 3名学生的成绩是 1 分，它在该组数据中是一个极端值， 平均数受极端值 影响较大，而中位数或众数不易受极端值的影响，所以，乙同学的推断更客观些． （答案不 唯一，理由只要有理有据，参照给分） 25．解析：本题考查了圆、勾股定理、垂径定理等知识． （1）若连接 OB ．则△ BCO 是一个含 30°角的直角三角形，△ AOB 是底角为 30°的等腰三角 形，可得∠ OBC=30°，再根据特殊角的三角函数值求得 OB ；（ 2）可先证明△ POQ 与△ABC相似，所以 Rt △ AOC 是一个含 30°角的直角三角形，且斜边长为半径长，也可用同角三角 函数值相同来求；（ 3）可在 Rt △PCQ 中解决，分别计算出两条直角边，即可求出 tan ∠PCA的值．解：（ 1）连接 OB ，∵ OA=OB ，∴∠ ABO=∠A=30°． ∵∠ ACB=90°，∠ A=30°，∴∠ ABC=60°∴∠ OBC=30°．BC 1 2 3在 Rt △ OBC 中， cos OBC ，即 cos30 ．解得 OB ．OB OB 3由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有 6 种，这些结果出现的可能性相等．其中《西游记》单价即⊙ O 的半径为 2 3 ．3P 为A ⌒B 的中点，∴ OP ⊥AB ．∴∠ QPO=∠ A=30°．来研究；（ 2）逐一将限制条件转化为不等式，有两个极限位置，一是直线经过抛物线上横 坐标为 4 的点，而是抛物线与直线有一个交点．解：（ 1）①图像开口向上；②图像的对称轴为直线 x 2；③当 x 2时， y 随 x 的增大而 增大；④当 x 2 时， y 随 x 的增大而减小；⑤当 x 2 时，函数有最小值．2）∵二次函数的图像与一次函数 y 2x 1的图像有两个交点，∴ x 2 4x 3a22x 1， 即x 2 6x 3a 3 0 ．36 4(3a3) 12 a 24 0 ， 解得 a 2 ．∵二次函数的图像在 x 4的 部分与一次函 数 y2x 1的图像有两个交点， ∴二次函数 2 x 6x 3a3的图 像与 x 轴 x 4的 部分有两个交点． 结合图像，可知x 4时， x 2 6x3a 3 0．∴当 x 4 时， 2 x 6x 3a 3 3a 5 0 ，得 a 5．3． ∴当二次函数的图像在 x 4 的部分与一次函数 y 2x 1的图像有两个交点时，a 的取值范围为 5 a 2 ．327．解析：本题考查了几何综合题．AE=AF ，即可证得四条边都相等； （ 2）△PEF 中， EFPE+PF 的最小值，我们作 E 关于 CD 的对称点为 E'，此时 E'F 最小；（ 3）利用 45°构造等腰直角三角形， 设 BP 交 AC 于点 Q ，作 BN ⊥ AC 于点N ．这 时△ BQN 为等腰直角三角形，△ ABN 与△ ABC 相似，先在 Rt △ABN 中求出 BN 和 AN 的长，然2）连接 OP ．∵点在 Rt △ OPQ 中， cos QPOPQ，sin QPOOQ OP即cos30PQ，2 3 ，3sin30OQ． 2 3 ．3∴ PQ 2 3? 3321，OQ 2 3 ?1323）在 Rt △ OBC 中， OC 3 ，∴ CQ3233 ．∴ tanPQ 3PCACQ 226．解析：本题考查了二次函数的性质，（ 1）可从开口方向、对称轴、开口大小这些角度1）利用垂直平分线的性质证明 AE=CE ， AF=CF ，然后 再利用对称的性质和平行的性质，证得 长是定值，因此本题考查的实际上是35后求出 AQ 、CQ 的长，再根据△ BAQ 与△ PCQ 相似，求出 解：（ 1）连接 AC ，交 EF 于点 O ． 由对称可知： OA=OC ， AC ⊥ EF ．∴ AF=CF ． ∵四边形 ABCD 是矩形，∴ AD ∥ BC ． ∴∠ OAE=∠OCF ，∠ OEA=∠ OFC ． ∴△ OAE ≌△ OCF ．∴ AE=CF ． ∴四边形 AFCE 是平行四边形． ∴平行四边形 AFCE 是菱形．（2）∵△ PEF 的周长 =PE+PF+EF ，又 EF 长为定值， ∴△ PEF 的周长最小时， 即 PE+PF 最小．作E 关于直线 CD 的对称点 E'，连接 FE'交 DC 于点 P'，则 PE PFPC 的长． PE' PF E'F ，因此，当点P与点P' 彼此重合时，△ PEF的周长最小．消去t，可得，（x y）（x y 2） 0，由于x y ，可得x y 2 0，即当一个点的横纵坐标之和为— 2 的时候，这个点就是线点．利用这一结论很容易判断P2是线点；（2）利用完全平方公式的变形，可用含t的代数式表示mn ，然后再利用完全平方公式的非负性求出t 的取值范围；（3）如果Q（n,m）是“线点”那么m n 2，即Q是直线y x 2上一点，又由于P、Q的横纵坐标互换了位置，因此∠ POB=15°（点P在第四象限）或∠ POA=15° （点P在第二象限），这就可以求出P点坐标，代入之前的定义即可求出t 的值．解：（1）P2 ；（2）∵ P（m,n）是“线点”，∴ m2 2n t ，n2 2m t ．2 2 2 2∵AB=2，AD=4，∴ AC 2 5 ．∴ OC 5由△ COF∽△ CBA，得O B C C C C F A．∴ CF 52∴ DE BF 453 22由画图可知：DE' DE 3．由△DE' P∽△CFP得DPCP323CF 5 52DE'3）设BP交AC于点Q，作BN⊥ AC于点N．∵∠ EMP=45°，∴ OM=O，Q NQ=B．N由AB?BC AC ?BN ，得2 4 2 5BN．∴ NQ BN 4 5 ．5在Rt △ ABN中，22AN AB2 BN 2222 455∴ AQ AN NQ 65 5．CQ AC AQAB AQ 由AB∥CP，得△ ABQ∽△ CPQ，得．即CP CQ PC 655．解得45 PC28．解析：本题考查的是利用完全平方公式进行的新定义；1）由“ x22y t ，y2 2x t ”∴ m2 n2（2 n m），m2 n2（2 n m）2t ．∵ m n，∴ m n 2．2∴（m n）2 2mn （2 n m）2t．∴ 4 2mn 4 2t．∴ mn t 4．∵ m n，∴（m n）2 0 ．即（m n）2 4mn 0 ．∴ t 3 0．解得t 3．∴ t 的取值范围为t 3 ．（3）t10或6．335。