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湛江一中2019届高三理科数学周二测试卷
命题：何敏华 做题：李小林 审题：柯梅清
一、单选题（共12题，每题5分，满分60分）
1．如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不．正确的是( ) A ． 该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体 B ． 该几何体有12条棱、6个顶点
C ． 该几何体有8个面，并且各面均为三角形
D ． 该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形
2．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A ． 若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m⊥n B ． 若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β C ． 若m⊥n，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥β D ． 若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m∥n
3．“九章算术”是我国古代数学名著，在“九章算术”中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该“阳马”的表面积为（ ） A ．21+
B ．221+
C ．22+
D ．222+
4．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥P ABC -为鳖臑， PA ⊥平面,3,4,5ABC PA AB AC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ） A ． 17π B ． 25π C ． 34π D ． 50π
5．已知三棱锥S ﹣ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SA⊥平面ABC ，AB⊥BC 且AB=BC=1，2，则球O 的表面积是（ ） A ． 4π B ．
34π C ． 3π D ． 4
3
π 6．三棱锥S-ABC 中，SA BC ⊥
,SC AB ⊥则S 在底面ABC 的投影一定在三角形ABC 的
（ ） A ． 内心 B ． 外心 C ． 垂心 D ． 重心
……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………A ．
623 B ． 27 C ．
6
7
D ．4 8．下列各图是正方体或正四面体，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，这四个点中不．共面．．的一个图是（ ）
A. B. C. D. 9．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积为
A ．
B ．
C ．
D ．
10．如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=900，点D 1和F 1分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC=CA=CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．下面是某几何体的视图，则该几何体的体积为（ ） A ．37 B ．38 C ．39 D ．3
10
……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线………… A ．
451π B ．2
41π
C ． π41
D ．π31
二、填空题（共4题，每题5分，满分20分）
13．设m,n 是两条不重合的直线，βα，是两个不同的平面，有下列四个命题： ①若m βαβα//,，⊂⊂n ，则m//n ；②若n m n m //,,βα⊥⊥则βα//； ③若,,,n m n m ⊥⊥⊥
βα则βα⊥； ④若α⊂n n m ,//,则α//m .
则正确的命题(序号)为____________.
14．已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB=3，AC=4，AB ⊥AC ，AA 1=2，则该三棱柱内切球的表面积与外接球的表面积的和为______ ．
15．如图，已知三棱锥O-ABC ，OA=OB=OC=1，︒=∠=∠60BOC AOB ，︒=∠90COA ，M 、N 分别是棱OA 、BC 的中点，则直线MN 与AC 所成的角的余弦值为__________．
16．一个正方体纸盒展开后如图所示， 在原正方体纸盒中有如下结论 ①AB ⊥EF ；
②AB 与CM 所成的角为60°； ③EF 与MN 是异面直线； ④MN ∥CD ．
以上四个命题中，正确命题的序号是 _________
三．解答题（共3题，每题12分，满分36分）
17．在直角坐标系xOy 中，已知直线⎩⎨⎧===α
αsin cos 1t y t x l （t 为参数），
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=+==)4sin()4cos(2παπαt y t x l （t 为参数），其中)4
3,
0(π
α∈，以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为．
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(1)写出l 1，l 2的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；
(2)设l 1，l 2分别与曲线C 交于点A ，B(非坐标原点)，求|AB|的值．
18．如图，已知四棱锥P-ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PCD ⊥平面ABCD ，E 为PB 上任意一点，O 为菱形ABCD 对角线的交点。

（1）证明：平面EAC ⊥平面PBD ；
（2）若︒=∠60BAD ，当四棱锥的体积被平面EAC 分成3：1两部分时，若二面角B-AE-C 的大小为︒45，求PD:AD 的值。

19．已知函数x x x f -=ln )( （1）判断函数f(x)的单调性； （2）函数m x
x x f x g -+
+=21
)()(有两个零点x 1，x 2且x 1<x 2.求证：x 1+x 2>1
参考答案
1．D 2．B 3.C 4.C 5.A 6.C 7.A 8.D 9.C 10.C 11.B 12.C
7．A
由三视图可得，该几何体是如图所示的三棱柱挖去一个
三棱锥，故所求几何体的体积为.
9．C
由三视图可知，其对应的几何体是半个圆锥，圆锥的底面半径为，圆锥的高，其母线长，则该几何体的表面积为：
.
11．B
根据题中所给的几何体的三视图，可知其可以由正方体切割而成，最后切割的结果为底面
是完整的，其余两个顶点分别是正对内侧的两条竖直方向的棱中点和端点，在求其体积时，过底面的对角线竖直方向切开，切为一个四棱锥和一个三棱锥，最后求得体积
，故选B.
12．C
根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O﹣ABCD，正方体的棱长为2，A，D为棱的中点，其中.
根据几何体可以判断：球心应该在过A，D的平行于底面的中截面上，
设球心到截面BCO的距离为x，则到AD的距离为：4﹣x，
∴R2=x2+（）2，R2=22+（4﹣x）2，解得出：，
该多面体外接球的表面积为：4πR2=，
13．（2）（3）
14．14．将三棱柱扩充为长方体，对角线长为，∴外接球的半径为，
外接球的表面积为29π，△ABC的内切圆的半径为，∴该三棱柱内切球的表面积4π，
∴三棱柱内切球的表面积与外接球的表面积的和为29π+4π=33π，
故答案为：33π．
15．
16．①③把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，如图：
则，与异面，，
只有①③正确.故答案为：①③.
17．【解析】
，的极坐标方程为，．
曲线C的极坐标方程方程为即得，
利用，
得曲线C的直角坐标方程为．
因为，，
所以
，
所以的值为．
18．
（1）过点作于点G，由于平面面，所以面
面，故；同理，过点作于，则
面，面,且
所以面ABCD。

所以，又，
故面，所以面面面。

（2）若四棱锥的体积被面分成3：1两部分，则的体积是整个四棱锥体积的，设三棱锥的高为，则（为菱形的面积），所以，故此时为的中点，此时，并且，故面面，故面，，过点作于点，则面，连接，则，故即为二面角
的平面角，即
设，则，
在中，，故，
可解得，故
解法二：如图建立坐标系，设则，设
则
面的法向量为，设面面的法向量为，则
，取，则
19．
（1）因为函数的定义域为，，令，得，令，得.所以函数的单调递增区间为，函数的单调递减区间为.
（2）根据题意，，因为，是函数的两个零点，所以，.两式相减，可得，
即，故，那么，.令，其中，则.构造函数，
则.因为，所以恒成立，故，
即，可知，故.。