f f m (1 f )
考虑到实际复合材料中存在着空隙，裂纹，损伤，缺陷，残余应力，界 面结合不完善及纤维微观屈曲等因素，应在式（3-68）中乘上一个修正系 数 K1，即
1 K1 f f m (1 f )
当试件的质量很好，对于玻璃纤维/环氧复合材料，大部分的实验结果表明， 在式（3-69）中取0.95<K1<1.0,可以复合得相当好。
1 1 f f m
m
)


根据复合材料的实际情况，可把连续 纤维单向增强复合材料处于应力下的 一般模型看做如图所示的薄片串，并 联组合而成，即整个模型由中间增强 层Ⅰ和表面基体层Ⅱ组成，由基体薄 片和纤维薄片组成的增强层在横向层 串联状态，纵向并联 式中， ， m 分别为增强层中纤维和 f 基体的体积含量。
f
m 0.36

将预测结果和试验值画在图中。



从图中可见， 1 的预测值和实验值符合得很好，实验值略低于预测值，这 E 是因为纤维不完全平直或平行。 对于 E 2和 G12，模型Ⅱ 预测值偏高。模型Ⅰ预测值偏低。这是因为有一些 纤维横向接触，纤维 f 越大则接触可能越多。 在此基础上，他给出了半经验公式：
E2

E2

Em ( E f 2 Em ) f
f
f f r ，m f 1 可得
Em E f 2 (1 )
f
Em
如果以a表示表面层厚度为单位值时的增强层厚度，则 r a /(a 2) (3-57) f f r f (a 2) a (3-58) f q 关于a的取值，作者通过研究发现可由下述关系式确定 a p( ) 1 f 式中p和q是与组分材料性质有关 硼纤维 / 环氧复合材料（ / E）p 3.2 B 的参数。对于常用的几类复合材 C 料，通过回归分析可知，q=1, 碳纤维 / 环氧复合材料（ / E）p 2.8 P的取值为： 玻璃纤维/ 环氧复合材料（ / E）p 3.0 G
G12
(3 65)

f 仍由式
B/E C/E G/E
p 3.8, q 0.7 p 3.8, q 1.0 p 2.7, q 1.0

(3 66)

泊松比 确定纵向泊松比 1 可采用类似确定 E1 的方法

1 1r m (1 r )
将式（3-33）代入式（3-67），得 1

E1 E1 E1
E2 (1 c) E2 cE2
1 (1 c) 2 c1
G12 (1 c)G12 cG12
E2 2 1 E1




上式中，C为接触系数，表示纤维横向接触程度，且C=0表示横向 完全隔离，即对应串联模型Ⅰ；C=1表示横向完全连通，即对应并 联模型Ⅱ。实际情况0<C<1,在上述实验下，c 0.4 f 0.025 讨论：对玻璃纤维/环氧复合材料，0.3< f <0.5,E2的计算值和实测 值较接近，当 f >0.5,偏离增大，取值偏高，0.4< f <0.6,G12的计 算值和实测值的一致性很好。 对碳纤维/环氧复合材料，E2和G12的计算值和实测值偏差都较大。


因为实际复合材料中，存在着空隙，缺陷，裂缝和界面结合不完 善等情况，这些又与工艺水平，纤维等结晶构造，热膨胀系数和 固化过程等有关。由于理论推导的简化假设与计算模型和实际情 况相差太多。所以理论公式和实际结果很不一致。对于工程设计 中需要预测单向单层板的纵向泊松比是，用下面的公式：
k (
E1 E f1 f Em (1 f )
E f 2 Em E2 Em f E f 2 (1 f )

f
1 f
m m
G
12
G f Gm G f f G f (1 f )

整个复合材料单层板由表面层和增强层以并联形式组合而成。如 以r 表示增强层的体积含量， f 表示整个复合材料单层的纤维体 积含量，则可导出单向纤维增强层复合材料弹性常数的计算式。 纵向弹性模量 E1 E1 E1r Em (1 r ) (3 51) 将式（3-23）带入（3-51） 得 E1 E f f Em (1 f ) r Em (1 r )


预测值与实验值的比较
采用国内外文献上的3类有代表性的单向复合材料的实验结果和这 里所得的数据比较。结果表明： 1.预测值与实验结果吻合性好，偏差基本上都在复合材料离散系数范 围内。 2.若这里所采用的组合模型的表面厚度0，则 r 1, f f ，则此 时变为串联模型。可见，串联模型是组合模型的特例，得到的是弹性 特性的下限，与实验值相差很远。 3.这里的导出式能比较精确地适用于各种纤维增强聚合物基体复合材 料和常用的 V 范围。由于实测数据所采用的3类材料构造不同， 性质相差很大，为了使导出式能与各类材料的实验结果比较接近， 在计算a的经验公式中，用了p,q两个修正系数。所以，采用既有 理论背景又有实验依据的半经验公式，在使用上，可以精确的解 决实际问题。
(3 64)
Gm Gm (G f Gm ) f Gm f G f (1 f )
(3 63)

将式（3-62），式（3-63）代入式（3-61），得
G12 G12r Gmm G12 Gm (1 r )

将式（3-39）代入式（3-64），得 式（3-65）中的增强层纤维体积含量 （3-58）和（3-59）得到，
1
E f1 f r Em (1 f r）
因为 f f r
(3 52)
所以
E1 E f 1 f Em (1 f )
(3 53)

由此可见，采用串，并联组合模型和上述简化假定计算 E1 得到了各种 计算模型和计算方法完全相同的结果。计算 E1 的式（3-53）已经经典 化了，这是目前计算弹性常数中最简单，最精确和最重要的公式。如考 虑到纤维不完全平直，取向也不完全平行，以及空隙等因素的影响，应 在式（3-53）中乘上一个修正系数K，即


面内剪切弹性常数模量 G12 由串并联组合模型给出 的代表性体积单元，在正轴1-2方向作用剪切应 力 ，如图
12

静力关系为 几何关系为 物理关系为
12 r12r m12m (3 61)

12 r12 m12
(3 62)

12 12G12 , r12 r12Gr12 , m12 m12Gm12
组合模型的弹性常数

植村山胁经验公式 组合模型的弹性常数
纵向弹性常数 横向弹性常数 面内剪切弹性常数 泊松比 预测值与实验结果的比较

植村山胁在串联模型和并联模型下，做了如下试验：对于玻璃纤维/环氧 f 0.23 单层复合材料，在 E f 7104 MPa
Em 3103 MPa
E1 K ( E f 1 f Emm )
(3 54)
k的取值在0.9与1.0之间，采用式（3-54）预测的 E1 与实验值符合得相当 好。

横向弹性常数模量 E 由于增强层和表面层在单层的横向为并联连接，因此 2 的预测值应为 （3-55） E2 E2 r Em (1 r ) 将式（3-29）代入式（3-55).考虑到