0 x1
x2
1 0
0 μ
x1 x2
dt
xTQxdt
0
ATP PA Q
2 p12 1
p11
2ξp12
p22
0
2 p12 4ξp22 μ
0 1 p11
1
2ξ
p12
p12 p22
p11 p12
p12 0
p22
1
1 2ξ
1
0
0 μ
P
p11 p12
考虑误差信号： &e& 2ξe& e u&& 2ξu& &e& 2ξe& e 0, e(0 ) 1, e&(0 ) 0
定义状态变量：
x1 e, x2 e&
状态方程
x&
0 1
1 2ξ
x
7.2 线性二次型最优控制问题
性能指标为：
J
(e2 μe&2 )dt
0
0
( x12
μx22 )dt
p12 p22
ξ
1 μ 4ξ 1
2
1
2
1 μ
4ξ
7.2 线性二次型最优控制问题
7.1最优控制的一般概念
常用的性能指标： (1) 最短时间问题
J
tf t0
dt
tf
t0
(2) 最小燃料消耗问题 (3) 最小能量问题 (4) 线性调节器问题 (5) 线性伺服器问题
x&(t) f [x(t),u(t),t], x(t0) x0
J tf u(t) dt t0
J 1 tf xTQxdt
J x*Qxdt x*Px x*()Px() x*(0)Px(0)
0
0
7.2 线性二次型最优控制问题
例：如图所示系统，确定阻尼比，使得系
统在单位阶跃作用下，性能指标为极小。
解：假设系统初始是静止的。
W (s)
Y (s) U (s)
s2
1 2ξs
1
&y& 2ξy& y u
&e& 2ξe& e u&& 2ξu&
tf t0
xT (t)Q(t)x(t)
uT (t)R(t)u(t)dt
达到最小值。
7.1最优控制的一般概念
常见的二次性性能指标最优控制分两类，即线性调节器和线性伺服 器，它们已在实际中得到了广泛的应用。由于二次型性能指标最优 控制的突出特点是其线性的控制规律及其反馈控制作用可以做到与 系统状态的变化比例。
第7章 最优控制系统
本章主要内容
最优控制的一般概念 线性二次型最优控制问题 基于Matlab求解线性二次型最优控制问题
7.1最优控制的一般概念
7.1.1 最优控制问题
最优控制是一门工程背景很强的学科分支，其研究问题都是从具体工程 实践中归纳和提炼出来的。例如美国的阿波罗登月计划实现了人类历史 的首次载人登月飞行，任务要求登月舱在月球表面实现软着陆，即登月 舱到达月球表面的速度为零，并在登月过程中选择登月舱发动机推力的 最优控制律，使燃料消耗最小。由于登月舱发动机的最大推力是有限的， 因而这是一个控制有闭集约束的最小燃耗控制问题。
1 线性调节器问题；
终端时间有限的最优控制；
2 线性伺服器问题；
终端时间无限的最优控制；
7.1最优控制的一般概念
7.1. 4 最优控制的研究方法
当系统数学模型、约束条件及性能指标确定后，求解最优控制问题 的主要方法有以下几种：
解析法
数值计算法 梯度型法
7.2 线性二次型最优控制问题
考虑系统： x&(t) A(t)x(t) B(t)u(t), x(t0) x0
7.1最优控制的一般概念
最优控制一般包含以下四个问题：
(1) 系统的数学模型 x&(t) f [x(t),u(t),t], x(t0) x0
(2) 边界条件和目标集 x&(t) f [x(t),u(t),t], x(t0) x0
(3) 边界条件
(4) 性能指标
x&(t) f [x(t),u(t),t], x(t0) x0
7.1最优控制的一般概念
7.1.2 最优控制的性能指标
最优控制就是使系统的某种性能指标达到最佳，也就是说，利用控 制作用可使系统选择一条达到目标的最佳途径(即最优轨线)。至于 哪一条轨线为最优，对于不同的系统可能有不同的要求。例如，在 机床加工问题中可以要求加工成本最低为最优；在导弹飞行控制中 可以要求燃料消耗最小为最优；在截击问题中可以选择时间最短为 最优等。因此最优是以选定的性能指标达到最优为依据的。
7.2 线性二次型最优控制问题
7.2. 1 基于李雅普诺夫第二法的最优控制系统
从经典意义而言，首先设计出控制系统，再判断系统的稳定性；最优控制 与此不同的是先用公式表示出稳定性条件，再在这些约束条件下设计系统。 如果能用李雅普诺夫第二法作为最佳控制器设计的基础，就能保证正常工 作，也就是说，系统输出将能连续地朝所希望的状态转移。因此，设计出 的系统具有固有的稳定特性的结构(注意，如果系统是不可控的，不能采 用二次型最佳控制)。
二次型性能指标
J 0 L(x,u)dx
设线性控制律
k11 k12 L
u(t)
Kx(t)
k21
k22
L
M M O
kr1
kr2
L
k1n
k2n
x
(t
)
M
krn
基于二次型性能指标的最佳控制系统和最佳调节器系统的设计归结为 确定矩阵 的各元素。采用二次型最佳控制方法的一个优点是 除了系统不可控的情况外，所设计的系统将是稳定的。
坐标原点处。
注4：稳定性问题都是相对于某个平衡状态而言的。
7.1最优控制的一般概念
7.1.3 二次型性能指标的最优控制
给定一个 n阶线性控制对象，其状态方程：
x&(t) A(t)x(t) B(t)u(t), x(t0) x0
寻找最优控制，使得性能指标：
J
1 2
xT (t f
)Sx(t f
)
7.2 线性二次型最优控制问题
7.2. 2 参数最优的李雅普诺夫第二法解法
考虑系统：
x&(t) A(t)x(t)
系统矩阵A的特征根都具有负实部，即在原点是渐近稳定的。
假设矩阵A包括一个可调函数，要求性能指标达到极小。
J x*Qxdt 0
利用李氏第二法求解，假设：
则：
x*Qx d (x*Px) dt
2 t0
J 1
2
tf t0
(x
xd
)T Q( x
xd
)dt
5.1李雅普诺夫关于稳定性的定义
例2
非线性系统：
x&1 x&2
x1 ：
0
0
0
xe1 0 , xe2 1 , xe3 1
注2：对于非线性系统，通常有一个或多个平衡状态。
注3：由于任意一个已知的平衡状态，都可以通过坐标变换将其移到