处有平行于翼缘横截面边长的
切应力t1，而且它是随u按线性
规律变化的。
12
思考题: 试通过分析说明，图a中
所示上、下翼缘左半部分 和右半部分横截面上与腹 板横截面上的切应力指向 是正确的，即它们构成了 “切应力流”。
13
例题 4-13
由56a号工字钢制成的简支梁如图a所示，试求
梁的横截面上的最大切应力tmax和同一横截面上腹 板上a点处(图b)的切应力t a 。不计梁的自重。
如图a所示：认为离中性轴z为
任意距离y的水平直线kk'上各
点处的切应力均汇交于k点和
k'点处切线的交点O '，且这些
切应力沿y方向的分量ty相等。
因此可先利用公式
I z I y 2 I z
得出：
Iz 12Ipπr03
22
从而有
t m aIF x zS 2 S z *π F S r0 3 2 r0 2 2r0 F S π2F A S
式中， A=2pr0 为整个环形截面的面积。
23
(4) 圆截面梁 圆截面梁在竖直平面内弯曲
时，其横截面上切应力的特征
Sz*πr02π r02 π r02 21
整个环形截面对于中性 轴z的惯性矩Iz可利用整个截 面对于圆心O的极惯性矩得 到，如下：
I p A2 d A 2 π r 0 r 0 2 2 π r 0 3
及 I p A2 d A A y 2 z 2d A A y 2 d A A z 2 d A
14
例题 4-13
解: 1. 求tmax
梁的剪力图如图c所示，由图可见FS,max=75kN。 由型钢表查得56a号工字钢截面的尺寸如图b所示， Iz=65 586 cm4和Iz/S * z,max=47.73cm。d=12.5mm
15
例题 4-13
tmaxFS,m IzaS dx z*,maxS F z*IS ,m z,maad xx4.7 7 317 02 m 51130N .2 51 03m
2.t沿宽度均布。
t
t
y
FNⅠ
F NII
3
z
y
A*
y
y A*
dF S
FNⅠ
y
A*
F NII
FNI A*sⅠdA
A*
M y1 Iz
dA
M Iz
A* y1dA
M Iz
S
* z
s FN Ⅱ A*( Ⅱ )dAA*(MIdzM )y1dAM IzdMA *y1dAM IzdMSz*
FNIIFNItbdx 即M ： IzdMSz*M Iz Sz*tbdx
17
例题 4-13
腹板上切应力沿高度的变化规律如图所示。
tmax
18
3. 薄壁环形截面梁 薄壁环形截面梁在竖直平面
内弯曲时，其横截面上切应力 的特征如图a所示：
(1) 由于d <<r0，故认为切应
力t 的大小和方向沿壁厚 无变
化； (2) 由于梁的内、外壁上无切
应力，故根据切应力互等定理 知，横截面上切应力的方向与 圆周相切；
1.2 6160P a1.2 6MPa
16
例题 4-13
2. 求ta
其中：
ta
FS,maxSz*a Izd
Sz*a16m 6 m 21mm 562m 0 m 21m 2 m 940130m3m
于是有：
t a 6 7 5 1 1 5 3 N 8 5 m 0 0 9 41 8 . 1 4 5 2 6 1 6 m 0 0 3 3 m 0 8 .6 1 6 P 0 8 .a 6 M
19
(3) 根据与y轴的对称关系 可知：
(a) 横截面上与y轴相交的 各点处切应力为零；
(b) y轴两侧各点处的切应 力其大小及指向均与y轴对 称。
20
薄壁环形截面梁横截面上的最大切应力tmax 在中性轴z上，半个环形截面的面积A*=pr0，其 形心离中性轴的距离(图b)为2 r 0 ，故求tmax时有
t
S
* z
dM
Izb dx
结论：
t
F
S
S
* z
I zb
4
§5.7 梁的切应力
3.切应力分布规律
t
FS
S
* z
FS
h2 (
y2)
Izb
2I z 4
6FS bh3
h2 4
y
2
S* z
A*yC*
b
h
y
y
h 2
y
2
2
b 2
h2 4
y2
Iz
bh 3 12
b
F
S
h y
t
y
z
t max
t
tmax
10
F* N2
自由边 A*
t 1 t 1
F * dx N1
u
但是，如果从长为dx的梁段 中用铅垂的纵截面在翼缘上截取如 图所示包含翼缘自由边在内的分离 体就会发现，由于横力弯曲情况下 梁的相邻横截面上的弯矩不相等， 故所示分离体前后两个同样大小的 部分横截面上弯曲正应力构成的合 力FN*1 FN*2
在中性轴处：
tmax
FSSz*,max Izd
FS Izd
b
2
hd2h2
2
8
对于轧制的工字钢，上式中的 I z就是型钢表 中给出的比值 ，此I 值x 已把工字钢截S 面z* ,max的翼缘厚 度变化和圆角等考虑S 在x 内。
9
(3) 翼缘上的切应力
翼缘横截面上平行于 剪力FS的切应力在其上、 下边缘处为零(因为翼缘的 上、下表面无切应力)，可 见翼缘横截面上其它各处 平行于FS的切应力不可能 大，故不予考虑。分析表 明，工字形截面梁的腹板 承担了整个横截面上剪力 FS的90%以上。
§5.7 梁的切应力
2.公式推导 (1) 取微段dx
m
n
M
tt
FS
FS
b
h
z
y y
M+dM
FS
s1 m d x n
s2
M
F x
1
§7-3 弯曲剪应力和强度校核
一.矩形截面截面梁的剪应力
b
s My
Iz
m
n
h
Oz y
zM
tt
M+dM
FS
FS
y
y
s1 m d x n
s2
2
在hb的情况下
假设1.t的方向FS都 平与 行ຫໍສະໝຸດ 3 2FS bh5
2. 工字形截面梁 (1) 腹板上的切应力
t
F
S
S
* z
I zd
其中
S
* z
b
h 2
2
h 2
y d
h 2
y
y
2
b 2
h
d 2
h 2
2
y
2
6
可见腹板上的切应力在与中性轴z垂直的方向 按二次抛物线规律变化。
7
(2) 在腹板与翼缘交界处：
tminIFzS db2h
和 不相等，因而铅垂的纵截
面上必有由切dF 应S 力F t1N * ′构 2成F N 的* 1 合力。
11
F* N2
自由边 A*
t 1 t 1
F * dx N1
u
根据 dF S t可1 得dx 出
t1
FS Sz*
Iz
FS
Iz
u
h 2
2
FS uh
2Iz
从而由切应力互等定理可
知，翼缘横截面上距自由边为u