（1）向前欧拉公式：
«Skip Record If...»«Skip Record If...»n=0,1,2…….（1）
被称作向前欧拉公式或显式欧拉公式。
（2）向后欧拉公式：
«Skip Record If...»（2）
被称作向后欧拉公式或隐式欧拉公式。
（3）梯形公式：：
«Skip Record If...»n=0,1,2,……(3)
解：首先应确定凶案的发生时间，若死亡时间在下午5点5分之前，则张某就不是嫌疑犯，否则不能将张某排除。
设T(t)表示t时刻尸体的温度，并记晚上8:20为t=0，则T(0)=32.6℃，T(1)=31.4℃。假设受害者死亡时体温是正常的，即T=37℃是要确定受害者死亡的时间，也就是求T(t)=37℃的时刻，进而确定张某是否是嫌疑犯。
（3-1）的解«Skip Record If...»存在并且唯一。
常微分方程的解析方法只能用来求解一些特殊类型的方程，实际问题中主要靠数值解法。所谓数值解法，就是寻求解y(x)在一系列离散节点«Skip Record If...»
上的近似值«Skip Record If...»相邻两个节点的距离«Skip Record If...»称为步长，节点为«Skip Record If...»初值问题（3-1）的数值解法都采用进步式，即只要给出用已知信息«Skip Record If...»就能给出计算«Skip Record If...»的递推公式。
被称作梯公式。
（4）改进的欧拉公式:
«Skip Record If...»«Skip Record If...»(4)
被称作改进的欧拉公式。
例1、求解初值问题«Skip Record If...»（3.3）
解（1）向前欧拉公式的方法具体形式为：«Skip Record If...»
取步长h=0.1，计算结果见表3－1。
解首先建立坐标系，兔子在O处，
狼在A处。由于狼要盯着兔子追，所以
狼行走的是一条曲线，且在同一时刻，
曲线上狼的位置与兔子的位置的连线为
曲线上该点处的切线。设狼的行走轨迹
是y=f(x)， 则有«Skip Record If...»，«Skip Record If...»
又因狼的速度是兔子的两倍，所以
在相同时间内狼走的距离为兔子走的距离的两倍。假设在某一时刻，兔子跑到
31一阶微分方程初值问题数值解32猪的最佳销售时机
课题
第三章微分方程模型与一阶常微分方程初值问题数值解
§3.1一阶微分方程初值问题数值解§3.2猪的最佳销售时机
教学内容
1.常微分方程的两个模型
2.一阶常微分方程初值问题数值解法
3.猪的最佳销售时机问题的模型及实验
教学目标
1.了解一阶微分方程的初值问题的两个数值解法：欧拉方法、Runge-kutta(龙格－库塔)方法。
2.会利用变化率分析并建立微分方程模型。
3.会用软件Mathematica和MATLAB求解微分方程模型。
教学重点
1.掌握微分方程数值解法得基本思想.
2.了解欧拉方法、利用改进的欧拉公式解一阶微分方程的初值问题的数值解
教学难点
Runge-kutta(龙格－库塔)方法
双语教学内容、安排
Differential equation;微分方程
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
(0,h)处，而狼在(x,y)处，则有
«Skip Record If...»
整理得到下述模型
«Skip Record If...»
这属于可降阶的二阶微分方程，解得狼的行走轨迹
«Skip Record If...»
因«Skip Record If...»，所以狼追不上兔子。
2、尸体冷却模型
受害者的尸体于晚上7:30被发现，法医于晚上8:20赶到凶案现场，测得尸体温度为32.6℃；一小时后，当尸体即将被抬走时，测得尸体温度为31.4℃，室温在几个小时内始终保持21.1℃。此案最大的嫌疑犯张某声称自己是无罪的，并有证人说：“下午张某一直在办公室上班，5:00时打完电话后就离开了办公室”。从张某到受害者家（凶案现场）步行需5分钟，现在的问题是，张某不在凶案现场的证言能否被采信，使他排除在嫌疑犯之外。
2、欧拉方法的递推公式：
它的基本思想是在«Skip Record If...»小区间«Skip Record If...»上用差商«Skip Record If...»代替导数«Skip Record If...»，而方程右端函数中的在小区间«Skip Record If...»的端点上取值，得到方程的近似表达式，称为欧拉公式。
人体体温受大脑神经中枢调节。人死亡后体温调节的功能消失，尸体的温度受外界环境温度的影响。假设尸体温度的变化率服从牛顿冷却定律，即尸体温度的变化律与他同周围的温度差成正比。即
«Skip Record If...»k是常数，
分离变量积分得：«Skip Record If...»
由T(0)=21.1+a=32.6得a=11.5；由T(1)=21.1+ae-k=31.4得e-k＝115/103，即k=0.11，所以T(t)=21.1+11.5e-0.11t .
当T=37℃时，有t=-2.95小时＝-2小时57分，8小时20分－2小时57分＝5小时23分。即死亡时间大约在下午5:23，因此张某不能被排除在嫌疑犯之外。
二、一阶微分方程初值问题数值解
1、导入课程：微分方程的定解问题中着重考虑的一阶方程的初值问题
«Skip Record If...»
函数«Skip Record If...»满足利普希茨条件：«Skip Record If...»
numerical value solution;数值解
教学手段、措施
板书、结合多媒体教学
作业、后记
P69,2
教学过程及教学设计
备注
§3.1一阶微分方程初值问题数值解
一、两个模型
1、饿狼追兔问题
现有一只兔子，一只狼，兔子位于狼的正西100米处。假设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的巢穴跑，而狼在追兔子，已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度是兔子的两倍。问题是兔子能否安全回到巢穴？