最值问题专题探究
提取数学模型
如图，EF∥MN，要在直线MN、EF上各 找一点C、D使得CD⊥MN，且使AC+CD+DB的 长度和最短
M
F
●B
C
D
A●
N
E
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提取数学模型
如图，EF∥MN，要在直线MN、EF上各找 一点C、D使得CD⊥MN，且使AC+CD+DB的长度 和最短
M
C
●
A N
C
AO B
Xx
（1）求 m 的值及抛物线的函数表达式；
（3）若 P 是抛物线对称轴上使△ACP 的周长取得最小值的点，
X=1
求 P 点坐标
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中考中的基本模型
解解： （ ：（11））得得mm== ， ，抛 抛物 物线 线解 解析 析式 式为 为 yy==
xx22++ xx++ ；；
y
C（0，15 ）
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思考题
（12 年雅安）在直角坐标系中，已知抛物线 y=ax2 +bx+c
与 x 轴 交于点 A(1，0)和点 B，顶点为 P. （2）若点 P 的坐标为（－1，k）,k＜0，点 Q 是 y 轴上一 个动点，当 k 为何值时，QB＋QP 取得最小值为 5。
y
B O Ax
P
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2012 年中考题展示
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最短路径 问题
最短路径问题
如图，A（2，－3），B（4，－1）， 案例一二：若P（p，0）是x轴上的一个动点，则当
p=____时， △PAP+APBB的的周和长最最短短。。
解：B 点关于x轴的对称点B（1 4，1）
令直线yAB1 kx b, 则
y
解
4k 2k
， PO分别10是 Q 、R 上的动OA点、，O则B
周长△的P最QR小值为
。 10 2
最值问题题探究
M。● 。●
●
基本图形都 为轴对称图形
●
。●
。● N
基本模型在生活中的应用
小组讨论：（北师大八下P95第13题）
甲、乙两个村庄分别位于一条河流的两 旁，现准备合作修建一座天桥。
问：桥建在何处才能使由甲到乙的路线 最短？（注意，桥必须与河流垂直。）
4
P
m 与 x 轴交于点 A( 3 ，0)， A O
为对称轴的抛物线 y ax2 bx c
B x
对称方法
△ACP 的周长取得最小值 最值问题专题探究
X=1
所以P（1，3）
中考中的基本模型
（12 年南宁）已知点 A（3，4），点 B 为直线 x=-1 上的动 点． （3）如图，当点 B 的坐标为（-1，1）时，在 x 轴上另取 两点 E，F，且 EF=1．线段 EF 在 x 轴上平移，线段 EF 平 移至何处时，四边形 ABEF 的周长最小？求出此时点 E 的 坐标．
y
B O Ax
P
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归纳、总结
解决求最短路径问题运用了什么（知识）？ 两点之间线段最短
在解决问题的过程中运用了什么（方法）？ 对称、平移
这过程中体现了什么样的数学（思想）？ 实现转化，体现化归的数学思想
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没有归纳，就不会提高 没有思考，就没有进步
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祝同学们 中考成功
小值是____5___；
。P
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基本模型的应用
2、如图，⊙O 的半径为 2，点 A、B、C 在⊙O 上， OA OB ， AOC 60°， P 是 OB 上一动点， 求 PA PC 的最小值___2___3______；
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Q
●
。
A’
基本模型的应用
3、如图，AOB 45° ， P 是 AOB 内一点，
X=-1
所以点 E 的坐标为（ 2 ，0）． 5
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思考题
（12 年雅安）在直角坐标系中，已知抛物线 y=ax2 +bx+c
与 x 轴 交于点 A(1，0)和点 B，顶点为 P. （2）若点 P 的坐标为（－1，k）,k＜0，点 Q 是 y 轴上一 个动点，当 k 为何值时，QB＋QP 取得最小值为 5。
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F
D
●
A1 E
B
●
平移、对称
中考中的基本模型
（2012 年成都）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次
y
函数 y 5 x m 的图象与 x 轴交于点 A( 3，0)，与 y 轴 4
交于点 C．以直线 x=1 为对称轴的抛物线 y ax2 bx c （ a ≠0)经过 A，C 两点，并与 x 轴的正半轴交于点 B．
y A
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B(-
1,1)
DO E F
x
X=-1
基本模型在中考
已知：EF=1
y
A A（3,4
’
）
B(-1,1) O
EF B’
X=-1
x
平移、对称
所以点 E 的坐标为（ 2 ，0）． 5
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基本模型在中考
y
已知：EF=1
A（3,4 ）
B(-1,1)
C
● E OF
C ’
x
平移、对称

b b

1 3
得k

2,
b

7
o
● B1 P●
x ●B

y AB1

2x
7,令y

0得x

7 2
●A
则P( 7 , 0)， p 7
2
2
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问题回归到教材
源于：七（下）教材P228如图，要在街 道旁 边修建一个奶站,向居民区A,B提供 牛奶,奶站应建 在什么地方,才能使从A,B 到它的距离和最短?
街道
B● A●
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基本问题类型
A
1
P
e
要求：DE e
、
B
求PA+PB的最小值
模型特3、点A：三定一动
解决方法C：对称、D平移
2
C
P
e
目到间的一线：条段将直最两线短条上求P线，最段运小E的用值B和两转点化之e
、
B
A
求AD+DE+EB的最小值
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基本模型的应用
1、如图，正方形的边长为2，E为AB的中点， P是BD上一动点．连结AP、EP ，则AP+EP的最