C B
A
《利用勾股定理解决最短路径问题》教学设计
教材分析 本节课是最短路径问题的延续和拓广，不但要寻找最短路径，还要计算其长度。
在初中阶段，求解两点之间的距离问题多借助勾股定理进行计
算，在中考中占有一定地位．而勾股定理是直角三角形非常重要的性质，
有极其广泛的应用。
勾股定理指出了直角三角形三边之间的数量关系，是几何图形和数量关系之间的一座桥梁． 学情分析
学生在初一上学期学习线段相关知识时已掌握“同一平面内，两点之间，线段最短”，初二上学期学习轴对称一章时，又接触了最短路径问题，
因此对最短路径问题有一定的理解。
分类讨论一直都是学生觉得比较难
掌握的思想方法，分类不清、分类不全是学生经常犯的错误． 教 学 目 标
知识
目标
能运用勾股定理求最短路径问题
能力
目标
学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念；在将实
际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透
数学建模的思想．
情感
目标
通过有趣的问题提高学习数学的兴趣；在解决实际问题的过程中，体验
数学学习的实用性，体现人人都学有用的数学，增强自信心，体现成功
感．
教学重点 探索、发现立体图形展开成平面图形各种途径，利用勾股定理求最短路径问题．
教学难点
利用数学中的建模思想构造直角三角形，寻找不同路径，利用勾股定理，解决实际问题．
教学过程
教学环节 教学内容
教学活动 学生活动 设计意图
复习巩固
1．如图，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，AC =4，BC =2，则AB = ．
2．如图，小华的家在A 处，书店在B 处，星期日小明到书店去买书，他想尽快的赶到书店，请你帮助他选择一条最近的路线（ ） A ．A C D B →→→ B ．A C F B →→→C ．A C E F B →→→→ D ．A C M B →→→ 引导学生复习利用勾股定理计算三角形的边长．
引导学生回顾同一平面内，两点之间线段最短的知识．
学生回顾勾股定理和两点之间线段最短的知识．
帮助学生
温故知新
探究问题类型一：圆柱体中的最短路径
1．如图，一只蚂蚁沿着图示
的路线从圆柱高AA1的端点A
到达A1，若圆柱底面半径为
6
，高为5，则蚂蚁爬行的最
短距离是．
2．如图，圆柱高8cm，底面
半径2cm，BC是上底面的
直径．一只蚂蚁从点A出发，.
沿着圆柱的侧面爬行到点B，
则蚂蚁爬行的最短路程
是．（π的值取3）
变式一：将“侧面”改为“表面”，求
蚂蚁爬行的最短路程．
变式二：再将“高为8cm”改为“2cm”，
求蚂蚁爬行的最短路程．
解决圆柱体中的最短路径问题的步骤：
类型二：正方形中的最短路径
如图，边长为1的正方体
中，一只蚂蚁从顶点A
出发沿着正方体的外表
面爬到顶点B的最短距
离是．
变式：如图，边长为1的
正方体中，一只蚂蚁从棱
的中点A出发沿着正方
体的外表面爬到顶点B
的最短距离是．
提问：怎
样确定平
面上两点
间的最短
距离？立
体图形上
的最短距
离问题如
何解决？
引导学生
寻找关键
点．
引导学生
根据不同
的条件选
择不同的
路径．
引导学生
思考最短
距离怎么
体现．怎
样计算最
短距离？
引导小结
结圆柱体
中计算最
短距离要
注意的问
题．
提问：正
方体由几
个面组
成？这些
面有什么
关系？正
方体怎么
展开？至
少需要展
开几个
面？
学生审
题，思考
并作答
指明圆柱
体、正方
体上的数
量和展开
图上的数
量之间一
一对应关
系，以及
如何利用
勾股定理
进行计算
由有趣的
实际问题
引入，激
发学生学
习兴趣．
启发学生
把立体图
形展开成
平面图
形，并用
平面图形
的知识来
解决立体
图形中最
短距离问
题．注重
路径的多
样性，渗
透分类讨
论思想．
使学生体
会数学上
的转化思
想．
通过先寻
找“关键
点”，再
找到不同
路径，最
终在直角
三角形内
利用勾股
计算最短
距离这一
过程，使
学生再次
领悟任何
一个几何
图形都是
由基本元
素“点”，
“线”，
“面”构
成，回归
几何的本
真！
类型三：长方体中的最短路径
如图，长方体长、
宽、高分别为5cm、
3cm、4cm．一只蚂蚁
从顶点A出发沿表面
爬到顶点B．求蚂蚁经过的最短路程．
小结：解决路径最短问题的依据是
．也就是将曲面或多面体展成一个
面，然后连接需求最短路径的两点，构造三角形，用勾股定理的数学模型去解决．
解决最短路径问题四部曲
1 ．展（立体展平面）
2 ．找（找各种路径）
3 ．算（算各种路径的长度）
4 ．比（比较各种路径的长度）
类型四（拓展提高）：与物体表面和内部相关的最短路径
如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时已知蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿
4cm与蜂蜜相对的
点A处，则蚂蚁到达
蜂蜜的最短距离
是．引导学生
思考长方
体与正方
体有何区
别？为什
么长方体
有六种展
开方式？
（长，宽，
高的组
合），为
什么排除
后只有三
种？（重
复）
引导学生
小结解决
立体图形
上的两点
之间最短
路径问题
的步骤
引导学生
将此问题
与利用轴
寻找最短
路径的问
题相结
合．
在教师引
导下，学
生对六种
展开方式
分析排
除，最终
归纳出三
种方式计
算比较得
出最短距
离．
总结归纳
做题的步
骤
将曲线化
直线，将
此问题转
化为利用
轴对称解
决最短路
径问题．
在圆柱体
的基础上
提升难
度，变为
正方体，
再变为长
方体，引
导学生由
浅入深，
认识到要
解决立体
图形上的
最短路径
问题一定
要将其展
开．渗透
分类讨论
思想．
在初二上
学期寻找
最短路径
的问题上
提升到求
最短路径
长，体现
勾股定理
是计算线
段长的有
力手段．
巩固练习1．如图是一个三级台阶，它的每一级的
长、宽、高分别为20cm、3cm、2cm．A
和B是这个台阶上两个相对的端点，点A
处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的
食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的
最短路程为cm．课后完成
通过配套
练习加深
学生对本
节课所学
知识的印
象和理解
A B
C D
.128
30
2．如图，在一个长为2m ，宽为1m 的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和场地宽AD 平行
且棱长大于AD ，木块从正面看是边长为0.2m 的正方形，一只蚂蚁从点A 处到达C 处需要走的最短路径是 m ． 3．一盛满水的圆柱形容器，它的高等于8cm ．底面半径等于3cm ，在圆柱下底面上的A 点有一条小鱼，它想从点A 游到点B ，小鱼游过的最短路程是多少？ 若是蚂蚁想从点A 爬到点B ，最短路程是多少？（π的
值取3）若把圆柱的高改为2cm 呢？ 4．如图所示，有一棱长为3cm 的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ，则它从下底面
点A 沿表面爬行至侧面的
B 点，最少要用 秒？ 5．如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别12cm ，8cm ，30cm ．
（1）在AB 中点C 处有一
滴蜜糖，一只小虫从D 处爬到C 处去吃，最短路程
是多少？
（2）此长方体盒子（有盖）能放入木棒的最大长度是
多少?
6．有一个如图示的长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长AD =80 cm ，高AB =60 cm ， 水深为AE =40 cm ，在水面上紧贴内壁G 处有一鱼饵，G 在水面线EF 上，且EG =60cm ；一小虫想从鱼缸外的A 点沿壁爬进鱼缸内G 处吃鱼饵．求小动物爬行的最短路线长？。