典型例题一例1圆9)3()3(22=-+-yx上到直线01143=-+yx的距离为1的点有几个？分析：借助图形直观求解．或先求出直线1l、2l的方程，从代数计算中寻找解答．解法一：圆9)3()3(22=-+-yx的圆心为)3,3(1O，半径3=r．设圆心1O到直线01143=-+yx的距离为d，则324311343322<=+-⨯+⨯=d．如图，在圆心1O同侧，与直线01143=-+yx平行且距离为1的直线1l与圆有两个交点，这两个交点符合题意．又123=-=-dr．∴与直线01143=-+yx平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意．∴符合题意的点共有3个．解法二：符合题意的点是平行于直线01143=-+yx，且与之距离为1的直线和圆的交点．设所求直线为043=++myx，则1431122=++=md，∴511±=+m，即6-=m，或16-=m，也即6431=-+yxl：，或016432=-+yxl：．设圆9)3()3(221=-+-yxO：的圆心到直线1l、2l的距离为1d、2d，则34363433221=+-⨯+⨯=d，143163433222=+-⨯+⨯=d．∴1l与1O相切，与圆1O有一个公共点；2l与圆1O相交，与圆1O有两个公共点．即符合题意的点共3个．说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ，则324311343322<=+-⨯+⨯=d ．∴圆1O 到01143=-+y x 距离为1的点有两个．显然，上述误解中的d 是圆心到直线01143=-+y x 的距离，r d <，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1．到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点．求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断．典型例题三例3 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为222)(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点．∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-22224)3(16)1(ra r a解之得：1-=a ，202=r ．所以所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为13124-=--=AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ．又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C∴半径204)11(22=++==AC r ．故所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为r PC d >=++==254)12(22．∴点P 在圆外．说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直例4分析：22=r C ．例5 分析：解：即根据d 整理得0432=-k k解得340≤≤k ．典型例题六例6 已知圆422=+y x O ：，求过点()42，P 与圆O 相切的切线． 解：根据d ∴解得 所以 即 线为2=x 说明：意漏解）典型例题七例7 自点()33，-A 发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，反射光线所在的直线与圆074422=+--+y x y x C ：相切（1）求光线l 和反射光线所在的直线方程．（2）光线自A 到切点所经过的路程． 分析、略解：观察动画演示，分析思路．根据对称关系，首先求出点A的对称点A 的坐标为()33--，，其次设过A '的圆C 的切线方程为()33-+=x k y根据r d =，即求出圆C 的切线的斜率为34=k 或43=k 进一步求出反射光线所在的直线的方程为0334=+-y x 或0343=--y x最后根据入射光与反射光关于x 轴对称，求出入射光所在直线方程为0334=++y x 或0343=-+y x光路的距离为M A '，可由勾股定理求得7222=-'='CM C A MA ．说明：本题亦可把圆对称到x 轴下方，再求解．典型例题八例8 如图所示，已知圆422=+y x O ：与y 轴的正方向交于A 点，点B 在直线运动，过B 做圆O 的切线，切点为C ，求ABC ∆垂心H 的轨迹．分析：按常规求轨迹的方法，设),(y x H ，找y x ,的关系非常难．由于H 点随B ，C 点运动而运动，可考虑H ，B ，C 三点坐标之间的关系．G OBNMyAx图3CA ’解：设),(y x H ，),(''y x C ，连结AH ，CH ， 则BC AH ⊥，AB CH ⊥，BC 是切线BC OC ⊥， 所以AH OC //，OA CH //，OC OA =， 所以四边形AOCH 是菱形．所以2==OA CH ，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.,2''x x y y又),(''y x C 满足42'2'=+y x ，所以)0(4)2(22≠=-+x y x 即是所求轨迹方程．说明：做例9 分析：解：圆C ． (1)当11022±=a ．∴所求圆方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ．(2)当)4,(2-a C 时，2227)14()2(=--+-a ，或2221)14()2(=--+-a (无解)，故622±=a ．∴所求圆的方程为2224)4()622(=++--y x ，或2224)4()622(=+++-y x ．说明：对本题，易发生以下误解：由题意，所求圆与直线0=y 相切且半径为4，则圆心坐标为)4,(a C ，且方程形如2224)4()(=-+-y a x ．又圆042422=---+y x y x ，即2223)1()2(=-+-y x ，其圆心为)1,2(A ，半径为3．若两圆相切，则34+=CA ．故2227)14()2(=-+-a ，解之得1022±=a ．所以欲求圆的方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ．例10 O 为原点，且OP 分析，可得2121+y y x x x y ，由直线OQ k ⋅的⋅OP k k 另一方面，),(11y x 、),(22y x 是方程组⎩⎨⎧=+-++=-+0603222m y x y x y x 的实数解，即1x 、2x 是方程02741052=-++m x x ②的两个根．∴221-=+x x ，527421-=m x x ． ③ 又P 、Q 在直线032=-+y x 上，∴])(39[41)3(21)3(2121212121x x x x x x y y ++-=-⋅-=． 将③代入，得51221+=m y y ． ④将③、④代入①，解得3=m ，代入方程②，检验0>∆成立， ∴3=m ．解法二：由直线方程可得y x 23+=，代入圆的方程0622=+-++m y x y x ，有0)2(9)6)(2(31222=++-+++y x my x y x y x ，整理，得0)274()3(4)12(22=-+-++y m xy m x m ．的m xy分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A ，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．解：∵圆和直线02=-y x 与02=+y x 相切， ∴圆心C 在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线02=-y x 和02=+y x 的距离相等．∴5252y x y x +=-．∴两直线交角的平分线方程是03=+y x 或03=-y x ． 又∵圆过点)5,0(A ，∴圆心C 只能在直线03=-y x 上． 设圆心)3,(t t C∵C 到直线02=+y x 的距离等于AC ，∴1:3，在解法一：设圆心为),(b a P ，半径为r ． 则P 到x 轴、y 轴的距离分别为b 和a ．由题设知：圆截x 轴所得劣弧所对的圆心角为︒90，故圆截x 轴所得弦长为r 2． ∴222b r =又圆截y 轴所得弦长为2． ∴122+=a r ．又∵),(b a P 到直线02=-y x 的距离为52b a d -=∴2225b a d -=ab b a 4422-+= )(242222b a b a +-+≥∴⎩⎨⎧又r d =∴a ∴a 将1222-=b a 代入上式得：01554222=++±d bd b ．上述方程有实根，故0)15(82≥-=∆d ，∴55≥d ．将55=d 代入方程得1±=b ． 又1222+=a b ∴1±=a ． 由12=-b a 知a 、b 同号．故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x ． 说明：本题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢？典型例题十三例13 两圆0111221=++++F y E x D y x C ：与0222222=++++F y E x D y x C ：相交于A 、B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程．分析：首先求A 、B 两点的坐标，再用两点式求直线AB 的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁．为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧．解：设两圆1C 、2C 的任一交点坐标为),(00y x ，则有：0101012020=++++F y E x D y x ① 0202022020=++++F y E x D y x ②①－②得：0)()(21021021=-+-+-F F y E E x D D ．∵A 、B 的坐标满足方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ． ∴方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D 是过A 、B 两点的直线方程． 又过A 、B 两点的直线是唯一的．∴两圆1C 、2C 的公共弦AB 所在直线的方程为0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ． 说明：上述解法中，巧妙地避开了求A 、B 两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标．从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识．它的应用很广泛．典型例题十四例14 已知对于圆()1122=-+y x 上任意一点()y x P ，，不等式0≥++m y x 恒成立，求实数m 的取值范围．解：运用圆的参数方程，设P 的坐标为()θθsin 1cos +，， [)πθ20，∈即θcos =x ，θsin 1+=y ， ∵0≥++m y x 恒成立 ∴()y x m +-≥恒成立即()θθsin 1cos ++-≥m 恒成立∴只需m 大于等于()θθsin 1cos ++-的最大值．令2⎫⎛=πuu ∴m例15 =PA θθsin 16cos 12425--+=)43arctan ()sin(2029=+-=ϕϕθ．因为R ∈θ，所以R ∈+ϕθ，因此当1)sin(-=+ϕθ时，72029=+=最大值PA ． 当1)sin(=+ϕθ时，32029=-=最小值PA ．解法二：将圆⎩⎨⎧==θθsin 2,cos 2y x 代入普通方程得422=+y x ．如图所示可得，A P 1、A P 2分别是圆上的点到)4,3(A 的距离的最小值和最大值．易知：31=A P ，72=A P．说明：(1)在圆的参数方程⎩⎨⎧+=+=θθsin ,cos r b y r a x (θ为参数)中，),(b a A 为圆心，)0(>r r 为半径，参数θ的几何意义是：圆的半径从x 轴正向绕圆心按逆时针方向旋转到P 所得圆心角的大小．若原点为圆心，常常用)sin ,cos (θθr r 来表示半径为r 的圆上的任一点．(2)圆的参数方程也是解决某些代数问题的一个重要工具．典型例题十六例16 已知圆的方程为222r y x =+，圆内有定点),(b a P ，圆周上有两个动点A 、B ，使PB PA ⊥，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程．分析：利用几何法求解，或利用转移法求解，或利用参数法求解．解法一：如图，在矩形APBQ 中，连结AB ，PQ 交于M ，显然AB OM ⊥，PQ AB =，在直角三角形AOM 中，若设),(y x Q ，则)2,2(by a x M ++． 由222OA AMOM =+，即22222])()[(41)2()2(r b y a x b y a x =-+-++++， 也即)(222222b a r y x +-=+，这便是Q 的轨迹方程．解法二：设),(y x Q 、),(11y x A 、),(22y x B ，则22121r y x =+，22222r y x =+．又22AB PQ =，即)(22)()()()(2121222122122y y x x r y y x x b y a x +-=-+-=-+-．①又AB 与PQ 的中点重合，故21x x a x +=+，21y y b y +=+，即(a x +由于a x +b y +又由)2． 说明：而解法二与解法三，从本质上是一样的，都可以称为参数方法．解法二涉及到了1x 、2x 、1y 、2y 四个参数，故需列出五个方程；而解法三中，由于借助了圆222r y x =+的参数方程，只涉及到两个参数α、β，故只需列出三个方程便可．上述三种解法的共同之处是，利用了图形的几何特征，借助数形结合的思想方法求解．典型例题十七例17 设点),(y x P 是圆122=+y x 是任一点，求12+-=x y u 的取值范围． 分析一：利用圆上任一点的参数坐标代替x 、y ，转化为三角问题来解决． 解法一：设圆122=+y x 上任一点)sin ,(cos θθP 则有θcos =x ，θsin =y )2,0[πθ∈ ∴1cos 2sin +-=θθu ，∴2sin cos -=+θθu u∴)2(sin cos +-=-u u θθ．)0,0(解得：43-≤u ． 另外，直线)1(2+=-x u y 与圆122=+y x 的公共点还可以这样来处理：由⎩⎨⎧=++=-1)1(222y x x u y 消去y 后得：0)34()42()1(2222=++++++u u x u u x u ， 此方程有实根，故0)34)(1(4)42(2222≥+++-+=∆u u u u u ， 解之得：43-≤u ．说明：这里将圆上的点用它的参数式表示出来，从而将求变量u 的范围问题转化成三角函数的有关知识来求解．或者是利用其几何意义转化成斜率来求解，使问题变得简捷方便．典型例题十八例18 已知对于圆1)1(22=-+y x 上任一点),(y x P ，不等式0≥++m y x 恒成立，求实数m 的取值范围．分析一：为了使不等式0≥++m y x 恒成立，即使m y x -≥+恒成立，只须使y x +min )(由⎩⎨⎧2x x 得：2∵≥∆∴(4-即2u ∴min u 又+x ∴x +(∴≥m 分析二：设圆上一点)sin 1,(cos θθ+P [因为这时P 点坐标满足方程1)1(22=-+y x ]问题转化为利用三解问题来解．解法二：设圆1)1(22=-+y x 上任一点)sin 1,(cos θθ+P )2,0[πθ∈ ∴θcos =x ，θsin 1+=y ∵0≥++m y x 恒成立 ∴0sin 1cos ≥+++m θθ 即)sin cos 1(θθ++-≥m 恒成立．∴只须m 不小于)sin cos 1(θθ++-的最大值． 设1)4sin(21)cos (sin -+-=-+-=πθθθu∴12max -=u 即12-≥m ．说明：在这种解法中，运用了圆上的点的参数设法．一般地，把圆222)()(rb y a x =-+-上的点设为)sin ,cos (θθr b r a ++()2,0[πθ∈)．采用这种设法一方面可减少参数的个数，另一方面可以灵活地运用三角公式．从代数观点来看，这种做法的实质就是三角代换．例19 22y +的(2)y x 2-分析： 解：则=d =所以max d min (法2)圆上点到原点距离的最大值1d 等于圆心到原点的距离'1d 加上半径1，圆上点到原点距离的最小值2d 等于圆心到原点的距离'1d 减去半径1．所以6143221=++=d ．4143222=-+=d ．所以36max =d ．16min =d ．(2) (法1)由1)2(22=++yx得圆的参数方程：⎩⎨⎧=+-=,sin,cos2θθyxθ是参数．则3cos2sin12--=--θθxy．令t=--3cos2sinθθ，得tt32cossin-=-θθ，tt32)sin(12-=-+φθ1)sin(1322≤-=+-⇒φθtt433433+≤≤-⇒t．所以433max+=t，433min-=t．即12--xy的最大值为433+，最小值为433-．此时)cos(52sin2cos22φθθθ++-=-+-=-yx．所以yx2-的最大值为52+-，最小值为52--．(法2)设kxy=--12，则02=+--kykx．由于),(yxP是圆上点，当直线与圆有交点时，如图所示，两条切线的斜率分别是最大、最小值．由11222=++--=kkkd，得433±=k．所以12--xy的最大值为433+，最小值为433-．令tyx=-2，同理两条切线在x轴上的截距分别是最大、最小值．由152=--=md，得52±-=m．所以yx2-的最大值为52+-，最小值为52--．典型例题二十例20 有一种大型商品，A 、B 两地都有出售，且价格相同．某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距离A 地的运费是B 地的运费的3倍．已知A 、B 两地距离为10公里，顾客选择A 地或B 地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低．求A 、B 两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点．分析：该题不论是问题的背景或生活实际的贴近程度上都具有深刻的实际意义和较强的应用意识，启示我们在学习中要注意联系实际，要重视数学在生产、生活以及相关学科的应用．解题时要明确题意，掌握建立数学模型的方法．A B AB O 角坐标系．∵10=AB ，∴)0,5(-A ，)0,5(B ．设某地P 的坐标为),(y x ，且P 地居民选择A 地购买商品便宜，并设A 地的运费为a 3元/公里，B 地的运费为a 元/公里．因为P 地居民购货总费用满足条件：价格＋A 地运费≤价格＋B 地的运费即：2222)5()5(3y x a y x a +-≤++． ∵0>a ，∴2222)5()5(3y x y x +-≤++化简整理得：222)415()425(≤++y x ∴以点)0,425(-为圆心415为半径的圆是两地购货的分界线．圆内的居民从A 地购货便宜，圆外的居民从B 地购货便宜，圆上的居民从A 、B 两地购货的总费用相等．因此可随意从A 、B 两地之一购货．说明：实际应用题要明确题意，建议数学模型．。