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(完整版)高中数学必修2圆与方程典型例题(可编辑修改word版)

标准方程(x - a )2+ (y - b )2= r 2 ,圆心(a , b ),半径为 r 11 11 11 11 0 0 第二节:圆与圆的方程典型例题一、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径。

二、圆的方程(1) ;点 M (x , y ) 与圆(x - a )2 + ( y - b )2 = r 2的位置关系:当(x - a )2 + ( y - b )2 > r 2 ,点在圆外当(x - a )2 + ( y - b )2 = r 2 ,点在圆上当(x - a )2 + ( y - b )2 < r 2 ,点在圆内(2) 一般方程 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0当 D 2 + E 2 - 4F > 0 时,方程表示圆,此时圆心为⎛- DE ⎫ ,半径为r =当 D 2 + E 2 - 4F = 0 时,表示一个点; 当 D 2 + E 2 - 4F < 0 时,方程不表示任何图形。

,- ⎪ ⎝ 2 2 ⎭2(3) 求圆方程的方法:一般都采用待定系数法:先设后求。

确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程,需求出 a ,b ,r ;若利用一般方程,需要求出 D ,E ,F ;另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。

例 1 已知方程 x 2 + y 2 - 2(m - 1)x - 2(2m + 3) y + 5m 2 + 10m + 6 = 0 .(1) 此方程表示的图形是否一定是一个圆?请说明理由;(2) 若方程表示的图形是是一个圆,当 m 变化时,它的圆心和半径有什么规律?请说明理由.答案:(1)方程表示的图形是一个圆;(2)圆心在直线 y =2x +5 上,半径为 2. 练习:1.方程 x 2 + y 2 + 2x - 4 y - 6 = 0 表示的图形是()A.以(1,- 2) 为圆心, 为半径的圆B.以(1,2) 为圆心, 为半径的圆C.以(-1,- 2) 为圆心, 为半径的圆D.以(-1,2) 为圆心, 为半径的圆2.过点 A (1,-1),B (-1,1)且圆心在直线 x +y -2=0 上的圆的方程是( ).A .(x -3)2+(y +1)2=4B .(x +3)2+(y -1)2=4C .(x -1)2+(y -1)2=4D .(x +1)2+(y +1)2=4 3.点(1,1) 在圆(x - a )2 + ( y + a )2 = 4 的内部,则 a 的取值范围是( )A. -1 < a < 1 B. 0 < a < 1C. a < -1 或 a > 1D. a = ±1 4.若 x 2 + y 2 + (-1)x + 2y + = 0 表示圆,则的取值范围是5. 若圆 C 的圆心坐标为(2,-3),且圆 C 经过点 M (5,-7),则圆 C 的半径为 .6. 圆心在直线 y =x 上且与 x 轴相切于点(1,0)的圆的方程为 .7. 以点 C (-2,3)为圆心且与 y 轴相切的圆的方程是.1D 2 +E 2 - 4FMQ 2 -1 MO 2 -1 2 b)= r 2, 8. 求过原点,在 x 轴,y 轴上截距分别为 a ,b 的圆的方程(ab ≠0).9. 求经过 A (4,2),B (-1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距之和是 2 的圆的方程. 10. 求经过点(8,3),并且和直线 x =6 与 x =10 都相切的圆的方程.三、直线与圆的位置关系:直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况:(1)设直线l : Ax + By + C = 0 ,圆C : (x - a )2 + (y - b )2 = r 2 ,圆心C (a , b )到 l 的距离为 d =,则有 d > r ⇔ l 与C 相离; d = r ⇔ l 与C 相切; d < r ⇔ l 与C 相交A 2 +B 2(2)过圆外一点的切线:①k 不存在,验证是否成立②k 存在,设点斜式方程,用圆心到该直线距离=半径,求解 k ,得到方程【一定两解】(3)过圆上一点的切线方程:圆(x-a)2+(y-b)2=r 2,圆上一点为(x 0,y 0),则过此点的切线方程为(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-例2 已知圆 M : x 2 + ( y - 2)2 = 1,Q 是 x 轴上的动点,QA 、QB 分别切圆 M 于 A ,B 两点(1) 若点 Q 的坐标为(1,0),求切线 QA 、QB 的方程;(答:切线 QA 、QB 的方程分别为3x + 4 y - 3 = 0 和 x = 1)(2) 求四边形QAMB 的面积的最小值; (答∴ S MAQB = MA ⋅ Q A = QA = = ≥ =)(3) 若 AB=,求直线 MQ 的方程.(答:直线 MQ 的方程为2x + 5 y - 2 = 0 或 2x - 5 y + 2 = 0 )练习:1. 以点(-3,4)为圆心,且与 x 轴相切的圆的方程是( ). A .(x -3)2+(y +4)2=16 B .(x +3)2+(y -4)2=16 C .(x -3)2+(y +4)2=9 D .(x +3)2+(y -4)2=19 2.若直线 x +y +m =0 与圆 x 2+y 2=m 相切,则 m 为( ). A .0 或 2B .2C .D .无解3.直线l 过点(- 2,0), l 与圆 x 2 + y 2 = 2x 有两个交点时,斜率k 的取值范围是()A (- 2 2,2 2)B (- 2,2)C (-2 , 2) D (- 1 1)4 48 84.设圆 x 2+y 2-4x -5=0 的弦 AB 的中点为 P (3,1),则直线 AB 的方程是. 5. 圆(x -1)2+(y +2)2=20 在 x 轴上截得的弦长是 。

6. P 为圆 x 2 + y 2 = 1上的动点,则点 P 到直线3x - 4 y - 10 = 0 的距离的最小值为7.圆 x 2+y 2-2x -2y +1=0 上的动点 Q 到直线 3x +4y +8=0 距离的最小值为.MQ 2 - MA 2 34 2 35 5 Aa+ Bb + C8.圆心为C(3,-5),并且与直线x-7y+2=0 相切的圆的方程为.9.求圆心在原点,且圆周被直线3x+4y+15=0 分成1∶2 两部分的圆的方程.1 12.(本小题 15 分)已知圆 C : ( x -1)2+ y 2 = 9 内有一点 P (2,2),过点 P 作直线 l 交圆 C 于 A 、B 两点. (1) 当 l 经过圆心 C 时,求直线 l 的方程;(2) 当弦 AB 被点 P 平分时,写出直线 l 的方程; (3) 当直线 l 的倾斜角为 45º 时,求弦 AB 的长.13(本小题 15 分)已知动点 M 到点 A (2,0)的距离是它到点 B (8,0)的距离的一半, 求:(1)动点 M 的轨迹方程;(2)若 N 为线段 AM 的中点,试求点 N 的轨迹.四、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差),与圆心距(d )之间的大小比较来确定。

设圆C : (x - a )2 + (y - b )2= r 2 , C : (x - a )2 + (y - b )2 = R 21 1 12 2 2两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差),与圆心距(d )之间的大小比较来确定。

当 d = R + r 时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条;当R - r < d < R + r 时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线; 当 时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线;当 时,两圆内含; 当 d = 0 时,为同心圆。

注意:已知圆上两点,圆心必在中垂线上;已知两圆相切,两圆心与切点共线 圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点例 4 已知圆C : (x + 2)2 + y 2 = 4 ,相互垂直的两条直线l 、l (Ⅰ)若l 1 、l 2 都和圆C 相切,求直线l 1 、l 2 的方程;都过点 A (a , 0) .(Ⅱ)当 a = 2 时,若圆心为 M (1, m ) 的圆和圆C 外切且与直线l 1 、l 2 都相切,求圆 M 的方程; (Ⅲ)当 a = -1 时,求l 1 、l 2 被圆C 所截得弦长之和的最大值.答 案 : ( 1 ) l 1 、 l 2 的 方 程 分 别 为 l 1 : y = x - 2 + 2 与 l 2 : y = -x - 2 + 2 或l 1 : y = x + 2 + 2 与l 2 : y = -x + 2 2 + 2(2)圆 M 的方程为(x - 1)2 + ( y ± 7 )2 = 4(3)即l 1 、l 2 被圆C 所截得弦长之和的最大值为21.两个圆 C 1:x 2+y 2+2x +2y -2=0 与 C 2:x 2+y 2-4x -2y +1=0 的位置关系为( ). A .内切 B .相交 C .外切 D .相离2. 圆 x 2+y 2-2x -5=0 与圆 x 2+y 2+2x -4y -4=0 的交点为 A ,B ,则线段 AB 的垂直平分线的方程是 ( ). A .x +y -1=0 B .2x -y +1=0 C .x -2y +1=0 D .x -y +1=03. 圆 x 2+y 2-2x =0 和圆 x 2+y 2+4y =0 的公切线有且仅有( ). A .4 条 B .3 条 C .2 条 D .1 条14.两圆 x 2+y 2=1 和(x +4)2+(y -a )2=25 相切,试确定常数 a 的值.6. 两圆 x 2 + y 2 = 9 和 x 2 + y 2 - 8x + 6 y + 9 = 0 的位置关系是( )A 相离B 相交C 内切D 外切7. 圆: x 2 + y 2 - 4x + 6 y = 0 和圆: x 2 + y 2 - 6x = 0 交于 A , B 两点,则 AB 的垂直平分线的方程是2 2 2 142 d = R - r d < R - r0 0 8.两圆 x 2 + y 2 = 1和(x + 4)2 + ( y - a )2 = 25 相切,则实数 a 的值为五、求圆的轨迹方程1、点 P (x , y ) 是圆x 2 + y 2 = 4 上的动点,点 M 为OP (O 为原点)中点,求动点 M的轨迹方程。

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