= 2 ，求 x 2 + ， x 4 + 2 = x - ⎪ + 2 x ⋅ ； ③ 将 x - = 2 ， x ⋅ = 1 代入求解即可；
1 ⎛
2 = x + ⎪ - 2 x 2 ⋅ 的值及 x 2 ⋅
完全平方公式的综合应用（习题）
➢ 例题示范
例 1：已知 x -
【思路分析】
1 1 1 x x x 4
的值．
① 观察题目特征（已知两数之差和两数之积 x ⋅
判断此类题目为“知二求二”问题；
1 x
= 1 ，所求为两数的平方和），
② “x ”即为公式中的 a ，“ 1 x
”即为公式中的 b ，根据他们之间的关系可得：
x 2 +
1 ⎛ 1 ⎫2
1 x
2 ⎝ x ⎭ x
1 1
x x
④ 同理， x 4 + x 4 ⎝
x 2 ⎭ x 2
1 ⎫
2 1
，将所求的 x 2 + 1 1 x 2 x 2
= 1 代入
即可求解．
【过程书写】
例 2：若 x 2 - 2 x + y 2 + 6 y + 10 = 0 ，则 x=_______，y=________． 【思路分析】
此题考查完全平方公式的结构，“首平方，尾平方，二倍乘积放中央”．
观察等式左边， x 2 - 2 x 以及 y 2 +6 y 均符合完全平方式结构，只需补全即可，根 据“由两边定中间，由中间凑两边”可配成完全平方式，得到 ( x - 1)2 + ( y + 3)2 = 0 ．
根据平方的非负性可知： ( x - 1)2 = 0 且 ( y + 3)2 = 0 ，从而得到 x = 1 ， y = -3 ．
➢ 巩固练习
1. 若 (a - 2b )2 = 5 ， ab = 1 ，则 a 2 + 4b 2 = ____， (a + 2b )2 = ____．
2. 已知 x + y = 3 ， xy = 2 ，求 x 2 + y 2 ， x 4 + y 4 的值．
1
， a 4 +
3. 已知 a 2 - 3a + 1 = 0 ，求 a 2 + 1 1 a 2 a 4
的值.
4. （1）若 x 2 + mxy + 9y 2 是完全平方式，则 m =________．
（2）若 9x 2 - kxy + 16y 2 是完全平方式，则 k=_______．
5. 多项式 4x 2 + 4 加上一个单项式后，能使它成为一个整式的平方，则可以加上
的单项式共有_______个，分别是__________
______________________________．
6. 若 a 2 + 4b 2 - 6a - 4b + 10 = 0 ，则 b -a = ______．
7. 当 a 为何值时， a 2 - 8a + 14 取得最小值，最小值为多少？
8. 求 x 2 + 4 y 2 - 4 x + 4 y + 8 的最值．
思考小结
1. 两个整数 a ，b （a ≠ b ）的“平均数的平方”与他们“平方数的平均数”相等
吗？若不相等，相差多少？
2. 阅读理解题：
2
x=
2∴ x-⎪=4
∴x2+
1⎫2
x2=
x-⎪+2x⋅
若x满足(210-x)(x-200)=-204，试求(210-x)2+(x-200)2的值．解：设210-x=a，x-200=b，
则ab=-204，且a+b=(210-x)+(x-200)=10，
由(a+b)2=a2+2ab+b2得，
a2+b2=(a+b)2-2ab=102-2⨯(-204)=508，
即(210-x)2+(x-200)2的值为508．
根据以上材料，请解答下题：
若x满足(2015-x)2+(2013-x)2=4032，
则(2015-x)(2013-x)=______．
【参考答案】
例题示范
例1．解：∵x-
1
⎛1⎫2
⎝x⎭
1⎛
= 4+2
= 6⎝x⎭
1
x
3
∴ x + 1 ⎫2 ⎪ = 36 x 4 ⎝ x 2 ⎭ - 2 x 2 ⋅ ⎛ ⎪
⎛ 2 ⎝ x 2 ⎭
∴ x 4 + 1 = x 2 + 1 ⎫2
1 x 2
= 36 - 2 = 34
例 2：1 -3 ➢ 巩固练习 1. 9 13 2. 5 17 3. 7 47 4. ±6 ±24
5. 5 -4x 2 -48x -8x x 4
6. 8
7. a = 4 时取得最小值，最小值为-2 8. 最小值为 3 ➢ 思考小结
1. 不相等，相差
2. 2 014
(a - b )2
4
4。