2
∂p
此时连续性方程变为
d ∆p d∆p ∆p Dp − µ pε − =0 2 dx dx τ p
2
方程的通解为： 方程的通解为：
∆p = Ae
λ1 x
+ Be
λ2 x
λ1， = 2
其中
L p (ε ) ± L (ε ) + 4 L
2 p
2 p
2L
2 p
λ1 ~ +” “ λ 2 ~ −” “
L p (ε ) = εµ pτ p
d∆n S n (x ) ∝ dx
dn( x ) − dx
d∆n S n ( x ) = − Dn dx
扩散定律
---电子扩散系数 电子扩散系数（ coefficients） Dn---电子扩散系数（ electron diffusion coefficients）
S n ( x ) − S n (x + ∆x )
2
——稳态扩散方程 稳态扩散方程
2 用恒定光照射 型半导体，并被表面均匀吸收 且gp=0。 用恒定光照射n型半导体 并被表面均匀吸收,且 型半导体， 。 假定材料是均匀的，且外场均匀， 假定材料是均匀的，且外场均匀，试写出少数载流子满 足的运动方程，并求解。 足的运动方程，并求解。 解
∂ p ∂p ∆p dε = D p 2 − pµ p − εµ p − + gp Q ∂t ∂x dx ∂x τ p
1 注意到 ∆n(Ln ) = (∆n )0 e
x − Ln
x = Ln
若样品厚为W（ 若样品厚为 （W
∞)
并设非平衡少子被全部引出
则边界条件为： 则边界条件为： ∆n(0)= (∆ n)0
∆n(W)=0
− x Ln
带入方程 ∆n( x ) = Ae
得
+ Be
x Ln
W −x sinh( ) Ln ∆n( x) = (∆n) 0 W sinh( ) Ln
2
∂p
∂ 2 ∆p ∂∆ p ∆ p = Dp − µ pε − ∴ 2 ∂t ∂x ∂x τ p
∆p t=0 t=t1 t=t2 A x
∂∆ p
0
4 稳态下的表面复合
稳定光照射在一块均匀掺杂的n 稳定光照射在一块均匀掺杂的n型半导体中均匀产生非平 衡载流子，产生率为g 衡载流子，产生率为gp。如果在半导体一侧存在表面复合 如图所示），试写出非平衡载流子的表达式。 ），试写出非平衡载流子的表达式 （如图所示），试写出非平衡载流子的表达式。 表面复合
若样品足够厚时
∆n( x) = (∆n )0 e
−
x Ln
d∆n( x ) Dn (∆n )0 e J n (扩 ) = − qS n ( x ) = qDn = −q dx Ln
−
x Ln
Dn = −q ∆n( x ) Ln
x Lp
Dp d∆p( x ) (∆p )0 e J p (扩 ) = qS p (x ) = −qD p =q dx Lp
dS n ( x ) ∆n( x ) ∴ − = dx τn
d ∆n( x ) ∆n( x ) 那么 Dn = 2 dx τn
2
稳态扩 散方程
d ∆n( x ) ∆n(x ) Dn = 2 dx τn
2
三维
Dn∇ ∆n =
球坐标
2
∆n
τn
1 d 2 d∆p ∆n Dn 2 (r )= r dr dr τn
5.5 非平衡载流子的扩散（Diffusion）运动 非平衡载流子的扩散（ ）
（1）扩散运动与扩散电流（diffusion current） ）扩散运动与扩散电流（ ）
考察p 考察p型半导体的非少子扩散运动 沿x方向的浓度梯度
电子的扩散流密度
d∆n dx
→ → S n (x )
截面积的电子数） （单位时间通过单位 截面积的电子数）
∂2 p dε ∂p ∆p Q = D p 2 − pµ p − εµ p − + gp 没有外场： 没有外场： ∂t ∂x dx ∂x τ p
∆p t=0 t=t1 t=t2 0 x
∂p
∂ 2 ∆p ∆p ∴ = Dp − 2 ∂t ∂x τp
∂∆ p
∂ p ∂p ∆p dε 有外场： 有外场：Q = D p 2 − pµ p − εµ p − + gp ∂t ∂x ∂x τ p dx
λ2 x
其中
Lp (ε ) >> Lp
λ2 =
L p (ε ) − L (ε ) + 4 L
2 p
2 p
1 − L（ε） p
2L
2 p
Lp (ε ) << Lp
1 − Lp
( ∆ p )0 e ∆p = x − (∆p) e Lp 0
x − L p (ε )
电场很强
电场很弱
当W<<Ln时， 时
x ∆n( x) ≈ (∆n)（ − ） 0 1 W
相应的 Sn=常数 常数
扩散电流密度 电子的扩散电流密度
d∆n(x ) J n (扩 ) = −qS n ( x ) = qDn dx
空穴的扩散电流密度
d∆p( x ) J p (扩 ) = qS p ( x ) = −qD p dx
光照
∂p
∂ p dε ∂p ∆p = D p 2 − pµ p − εµ p − + gp ∂t ∂x dx ∂x τ p

0
x
∂p =0 ∂t ∂p ∂∆p = ∂x ∂x dε =0 dx
------连续性方程 连续性方程
讨论（ ） 讨论（1）光照恒定 （2）材料掺杂均匀 ） （3）外加电场均匀 ）
（4）光照恒定，且被半导体均匀吸收 ）光照恒定，
∂p =0 ∂t
对于p型半导体： 对于 型半导体： 型半导体
∂∆ p =0 ∂x
最后得 同理
r
Dp
k0T = µp q
Dn
k0T = q µn
5.6 连续性方程 指扩散和漂移运动同时存在时， 指扩散和漂移运动同时存在时，少数载流子所遵守的运动方程 以一维n型为例来讨论： 以一维n型为例来讨论： 在 ，载流子 时， 时，少子 数， 的 数， 时 ： 光 照
ε
∂P ∂P = 空穴 ∂t
： 的扩散和漂移流
−
+
∂p Sp = = − Dp + pµ pε q ∂x Jp
空穴积累率
∂2 p dε ∂p − = D p 2 − pµ p − εµ p ∂x ∂x dx ∂x
∂S p
复合率
∆p
∴
∂p
τp
其它产生率
gp
∂2 p dε ∂p ∆p = D p 2 − pµ p − εµ p − + gp ∂t ∂x dx ∂x τ p
∂n
dε ∂ n ∂n ∆ n = Dn 2 + nµ n + εµ n − + gn dx ∂x τ n ∂t ∂x
2
∂p
dε ∂ p ∂p ∆ p = D p 2 − pµ p − εµ p − + gp dx ∂t ∂x ∂x τ p
2
应用举例 1 用光照射 型半导体，并被表面均匀吸收，且gp=0 。 用光照射n型半导体 并被表面均匀吸收， 型半导体， 假定材料是均匀的，且无外场作用， 假定材料是均匀的，且无外场作用，试写出少数载流子 满足的运动方程。 满足的运动方程。
——空穴的牵引长度 ——空穴的牵引长度
空穴在寿命时间内所漂移的距离 考虑到非平衡载流子是随x 考虑到非平衡载流子是随x衰减的
∆p = Ae λ1 x + Be λ2 x
∴ ∆p = Be
又x
λ2 x
= 0时， ∆p =（∆p） 0
则 B =（∆p） 0
最后得： 最后得：
∆p = ( ∆p ) 0 e
−
=q
Dp Lp
∆p ( x )
（2）总电流密度 ）
v v v d∆n( x ) v J n = J n漂 + J n扩 = qnµ nε + qDn dx
v v v d∆p(x ) v J p = J p漂 + J p扩 = qpµ pε − qD p dx
在光照和外场同时存在的情况下: 在光照和外场同时存在的情况下:
v v v J总 = J n + J p
（3） Einstein Relationship（爱因斯坦关系） ） （爱因斯坦关系）
D
k0T = µ q
平衡条件下： 平衡条件下：
v v J p漂 + J p扩 = 0
J p漂 = −σ ε = −qp0 x）µ p ε （
dp0 ( x ) J p (扩 ) = qS p ( x ) = −qD p dx
0
体内产生的非子为
x
∴
∂p
−
∆p
∂2 p dε ∂p ∆p = D p 2 − pµ p − εµ p − + gp ∂t ∂y dy ∂y τ p
τp
+ gp = 0
∴ ∆p = p − p0 = τ p g p
空穴向表面扩散， 空穴向表面扩散，满足的扩散方程
d ∆p ∆p Dp − + gp = 0 2 dx τp
2
边界条件为
∆p(∞ ) = τ p g p
∂∆p( x ) Dp ∂x
x =0
= s p ∆p(0)
今有一块均匀的n型硅材料，用适当的频率、 例 今有一块均匀的n型硅材料，用适当的频率、稳 定的光照射样品的左半边（如下图），产生电子），产生电子 定的光照射样品的左半边（如下图），产生电子-空 穴对，其产生率为g 求稳态时、低注入水平、 穴对，其产生率为gp，求稳态时、低注入水平、样品 足够长时两边的空穴浓度及分布。 足够长时两边的空穴浓度及分布。